パフィアン

サムネイル|。パフィアンパッフィアンとも。（ぱふぃあん、）は、偶数次の交代行列に対して定義される斉次多項式である。行列式の平方根に相当する。

概要パフィアンという語は、その性質を研究したイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって名づけられA. Cayley, "On the theory of permutants," Cambridge and Dublin Mathematical Journal 7 , pp. 40–51 (1852).、最初にパフィアンを導入したドイツの数学者に因むJ. F. Pfaff, "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, completi integrandi," Abhandlungen der Königlich-Preuß ischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Klasse , pp. 76–136 (1814).。

一般的には行列式の平方根は根号を使って書き表す必要があるが、偶数次の交代行列の場合は行列の要素の多項式で平方根を書き表すことができることが知られており、これがパフィアンに相当する。

表現論や組合せ論において応用されるほか、数理物理においては、可積分系の方程式のソリトン解の表示や可解格子の一種であるダイマー模型の分配関数の計算等に応用されるP. W. Kasteleyn, "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice". Physica 27 (12) pp. 1209–1225 (1961). 。

定義一般的定義次の交代行列に対し、

で定義される次の斉次多項式を次のパフィアンと呼ぶ。ただし、は次の対称群の部分集合で、

を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、

という表示も可能である。ただし

である。

外積代数による導入ベクトル空間の基底を用い、外積代数における2-形式

を定義すると、その乗の外積は

であり、自然な形でパフィアンが現れる。これにより、パフィアンはシンプレクティック幾何や微分形式の積分理論にも自然に現れる。

グラフによる導入あるグラフ上の完全マッチングをとする。このとき、

である伊理（2009）319頁。。なお、はレヴィ＝チヴィタ記号、は重みである。

記法パフィアンを表す記法としては、のほかに、行と列の区別を排した

といった記法がある。また、スコットランドの数学者によって導入された行列式の記法において右上半分だけ表示する、

も用いられる。

性質基本的な性質最も基本的な性質は、交代行列に対して、その行列式との間に成り立つ関係式

である。奇数次の交代行列の行列式は常にになるため、パフィアンもになる。

また、次交代行列 , 次正方行列に対して、

が成り立つ。

また、次正方行列について、 . が成り立つ。

展開公式次交代行列に対し、から行、列を取り除いた次交代行列をと表すと

が成り立つ。ただし、2行目において、は、その成分を取り除くことを意味する。これは行列式における余因子展開に相当する。

例便宜上、の元である置換を順列の形で表すこととする。

2n=2（n=1）の場合のときのの元はだけであり、その符号はであるから、

となる。実際、行列式は、

となる。

2n=4（n=2）の場合の場合は、の元はであり、それぞれの符号はであるから、

となる。実際、行列式は、

となる。

小パフィアン行列式に対して小行列式を考えたように、パフィアンに対しても小パフィアン（subpfaffian）を考えられる伊理（2009）37頁。。とすると、小パフィアンは、

で定義される。なお、ブラケットは添え字の反対称化（交代化）を意味する省略記号である。詳しくは反対称テンソルを参照せよ。

このとき、とすると、交代行列のコレスキー分解により、

である。

脚注

参考文献 Thomas Muir (sir.), A treatise on the theory of determinants, Macmillan and Co. (1882) Thomas Muir (sir.), The theory of determinants in the historical order of development, Macmillan and Co. (1906) Roe Goodman and Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics) Springer (2009) 岡田聡一『古典群の表現論と組合せ論〈上〉（数理物理シリーズ）』培風館 (2006) 広田良吾『直接法によるソリトンの数理』岩波書店(1992) 高崎金久『線形代数と数え上げ』日本評論社。2012年。。伊理正夫『線形代数汎論』朝倉書店。2009年。。

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