群の表現

数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、）とは、抽象的な群の元に対して具体的な線形空間の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像のことである。線型空間の基底を取ることにより、をより具体的な正則行列として表すことができる。

定義

群の表現群の各元に対して線形空間上の線形変換が対応し、

が成り立つとき、をに対応させる写像を群の線形空間上の表現といい、線形空間を群の表現空間という。すなわち群の表現とは「群から線形空間上の正則な線形変換のつくる群への準同型写像」のことである。

に対してのことを単にあるいはと表すことが多い。

表現空間は群上の加群と見ることもできる。このとき表現空間は群環上表現加群と呼ばれ、このことを強調するためにと表すこともある。

表現行列表現空間を明示したいときは組で表現を表す。表現空間の次元を表現の次元という。表現空間に適当な基底を導入すれば、は具体的に次正方行列で書き表せるから、群の表現とは「から正則行列の成す群への準同型写像である」といってもよい。このとき行列をの表現行列と呼ぶ。

つまり群に対応して行列の集合があり、任意の群の元に対してが成り立つとき、これらの行列を群の表現行列という。

同値な表現群の2つの表現空間とが与えられたとき、表現を保つ線形写像、つまり

となる線形写像をという。この条件はすべての元に対して以下の図式が可換になると言ってもいい。

全単射な絡作用素が存在するとき、表現とは同値であるといい、両者は本質的には同じ表現である。特別な表現

恒等表現・忠実表現

対応は一般には単射であるとは限らない。たとえば、すべての元に恒等変換を対応させるものも表現であって、これは恒等表現あるいはと呼ばれる。一方、対応が単射のときはその表現は忠実な表現であるという。

既約表現

で不変な表現空間の部分空間がとのふたつ以外に存在しないとき、表現は既約であるという。既約でない表現を可約という。特に表現空間をいくつかの既約な不変部分空間の直和に分解できる場合、その表現を完全可約であるという。マシュケの定理より複素数体上における有限群の有限次元表現は常に完全可約である。既約表現に対して次の重要な補題が成り立つ：シューアの補題を群の代数的閉体上における有限次元既約表現とすると、すべてのと可換な変換は恒等変換の定数倍に限られる。

また適当な相似変換によってブロック対角型になる（簡約できる）表現を直可約表現、直可約でない表現を直既約表現という。

有限群の同値でない複素数体上の有限次元既約表現の数は、群の共役類の数と等しい。

ユニタリ表現

すべてのがユニタリ変換であるような表現をユニタリ表現と呼ぶ（直交変換はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である）。

誘導表現

有限群の部分群を取り、剰余類分解の完全代表系をひとつ固定する。

体上の表現のとは次で定義される群の表現のことである。

ただしのときはとする。誘導表現は剰余類分解の代表系の取り方に依存しない。

誘導表現の次数は表現の次数の倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群の正則表現を与える。

部分群の表現加群をとしたとき誘導表現から定まる群の表現加群のことを誘導加群といい、, あるいはで表す。代数のテンソル積を使ってと定義しても同型な表現加群が定義できる。

具体例 3次対称群の複素数体上の有限次元な既約表現は同値なものを除くと次で定まる準同型写像の3つである。 1次元の自明表現 (1, 2)(3) ↦ , (1, 2, 3) ↦ 符号表現 (1, 2)(3) ↦ [−1], (1, 2, 3) ↦

(1, 2)(3) ↦ , (1, 2, 3) ↦

基本的な定理 Frobenius相互律有限群の部分群を取る。群の表現に対し、部分群への制限表現をで定める。またこの制限表現から定まる部分群の表現加群のことを制限加群といい、, あるいはで表す。このとき線型空間としての同型

が成り立つ。これをFrobenius相互律 (Frobenius reciprocity) という。

Mackeyの分解定理有限群の部分群を取り、その両側剰余類分解を

とする。このとき加群について加群として次の同型が成り立つ。

ここでは加群で、線形空間としてはと同型であり、の元を（形式的に）と表したとき、その作用はで定める。この加群はの共役加群と呼ばれることがある。

Cliffordの定理有限群の正規部分群を取る。このとき加群に対して

をの惰性群（inertia group）という。

既約加群とその制限の既約部分加群に対して、分岐指数（ramification index）と呼ばれる自然数が存在して、次の加群としての同型が成り立つ。

量子力学における群の表現量子力学におけるハミルトニアンが、ある変換群で不変であるとすると、1つのエネルギー固有値に属するハミルトニアンの固有空間は群のユニタリ表現の表現空間になっている。したがって群の既約なユニタリ表現を知ることで、ハミルトニアンの固有状態を分類することができる。これが原子や分子の状態や素粒子の分類に群論が有力な道具となる理由である。

脚注

参考文献 Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups, Springer (GTM,vol.42), 978-1-4684-9458-7 (1977). Jin-Quan Chen: Group Representation Theory for Physicists, World Scientific (1989)

Walter Ledermann: Introduction to group characters, 2nd Ed., Cambridge University Press, ISBN 0-521-33781-X (1987). ※ 有限群の指標は表現行列の対角和である。

和書：『物理学辞典』培風館、1984年. 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店（1957年). 服部昭：「群とその表現」、共立出版（共立数学講座18）(1967年11月1日). 横田一郎：「群と表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1110-X (1973年5月).　※ 復刊版2001年8月 J.-P.セール(著)、岩堀長慶、横沼健雄(共訳)：「有限群の線型表現」、岩波書店（1974年3月4日）. 島和久：「連続群とその表現」、岩波書店 (1981年4月24日). 永尾汎、津島行男：「有限群の表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1310-2 (1987年8月15日).　※ 復刊版2001年9月 ※ 程度はかなり高い。吉川圭二：「群と表現」、岩波書店、ISBN 4-00-007979-4 (1996年10月18日). 平井武：「線型代数と群の表現 I」、朝倉書店、ISBN 4-254-11496-6 (2001年11月20日). 平井武：「線型代数と群の表現 II」、朝倉書店、ISBN 4-254-11497-4 (2001年11月20日). 岡田聡一：「古典群の表現論と組合せ論　上」、培風館、ISBN 4-563-00663-7 (2006年3月30日). 岡田聡一：「古典群の表現論と組合せ論　下」、培風館、ISBN 4-563-00664-5 (2006年3月30日). 高瀬幸一：「群の表現論序説」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005271-9（2013年5月30日).

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