Arithmetica Universalis

（, 普遍算術、ふへんさんじゅつ）はアイザック・ニュートンによる数学書。原文はニュートンの講義ノートを基にラテン語で書かれ、ニュートンのケンブリッジ大学のルーカス教授職の後任であるウィリアム・ホイストンによって編集、1707年に初版が出版された。

ジョゼフ・ラフソンによる英訳版は1720年に、として出版された。また、ラテン語第二版はジョン・マチンによって1722年に出版されている。

ニュートン自身はの出版に不満を持っており、彼の名前が記されることを頑なに拒否したため、これらの版のいずれもニュートンの名は著者として記されていない。実際、ホイストンによる初版が出版されたときニュートンは非常に狼狽し、刊行されたものすべてを買い占め、処分することを考えたという。

には代数における記法、算術、幾何学と代数学の関係、方程式の解についてが記されている。ニュートンはデカルトの符号法則を複素数根について適用し、代数方程式の複素数根の個数が符号律から決まることを、証明なしに要請している。150年間、このニュートンの方法に厳密な証明が与えられることはなかった（ジェームス・ジョセフ・シルベスターによる証明は1865年。のことか）。

代数方程式の解について以下に複素数根の個数について該当する記述を引用する1769年の英語版より引用。。

この部分を日本語訳すると以下のようになる言葉づかいはなるべく原文に沿うようにしたが、数式に関しては標準的な記法に則した。。　百十九. 方程式が不可能な根 (複素数根, ) を持たなければ、正の根と負の根の個数はその方程式の各項の符号から分かるだろう。正の根は、符号の列がから、またはからへ変化する数だけあり、残りは負の根である。方程式について、各項に対する符号をというように並べると、符号の変化は一番目から二番目、三番目から四番目、四番目から五番目にあり、すなわち正の根が 3 つあり、従って 4 つ目の根は負である。しかし方程式が不可能な根を持つ場合には、それらの不可能な根が、正でも負でもなく曖昧なものとなり得る限りは、この規則は力を持たない。例えば、方程式は、符号より 1 つの正の根と 2 つの負の根を持つ。ここで、あるいは、として先の方程式に掛けると、方程式の正の根は 1 つ増え、次の方程式が得られる。

この方程式は 2 つの正の根と 2 つの負の根を持たなくてはならないが、符号の変化から判断するには、4 つの正の根を持つことになる。従って、符号の曖昧さから、2 つの不可能な根があって、それらは初めの方程式においては負であり、後の方程式では正である。しかし、この規則から、いくつの根が不可能であるかをまったく知ることができるだろう。

ニュートン算ニュートン算 (Newton's pasturage problem) と呼ばれる算術問題は、に収録されている問題に由来する。問題文は次の通りである1720年の英語版より引用。。

原文 (英語) :

日本語訳 : 　問十一. 頭の牛はの牧草地をの時間のうちに食べ尽くし、頭の牛はの牧草地をの時間のうちに食べ尽くす。また牧草は一様に育つものとする。牛がの牧草地をの時間のうちに食べ尽くすには何頭いればよいか求めよ。この直後には、ニュートンによる問題の解説と例題が書かれている。内容は次の通りである。

解説文原文 (英語) :

日本語訳 : 　頭の牛がの時間のうちにの牧草地を食べ尽くすなら、それぞれの数の比から、牧草が時間の後には少しも成長しないとして、頭の牛は同じくの時間のうちに、頭の牛はの時間のうちに、また頭の牛はの時間のうちに、の牧草地を食べ尽くすだろう。しかし牧草が育つことによって、頭の牛だけがの時間のうちにの牧草地を食べ尽くすことができて、の牧草地の牧草が、時間の間に育つことにより、頭の牛がの時間のうちに食べ尽くせる分だけが育ち、それは頭の牛がの時間のうちに食べ尽くせるだけと同じ量である。更に比の関係から、の時間に割るつまり頭の牛が食べ尽くせるだけの牧草が育つ。この増加分を頭の牛に加えると、がの牧草地をの時間のうちに食べ尽くす牛の頭数である。そして比からの牧草地を同じ時間の間に食べ尽くす牛の数はであることが求まる。例題原文 (英語版) :

日本語訳 : 例題. 頭の牛はとエーカーの牧草地を週間で食べ尽くし、頭の牛はエーカーの牧草地を週間で食べ尽くすとする。エーカーの牧草地を週間で食べ尽くす牛の頭数はいくらか。　答え頭。求める数はの , , , , , , , をそれぞれ , , , , , , , に置き換えることで得られるだろうが、しかし、前述の文字式の解を求めるのとおそらくは同様の手間で、第一原理から解を導くこともできるだろう。頭の牛が週間でとエーカーの牧草地を食べ尽くすなら、牧草が育たないことを仮定すれば、数の比から頭の牛が週間で、頭の牛が週間で、頭の牛が週間で、エーカーの牧草地を食べ尽くすことになる。しかし牧草が育つことにより、頭の牛だけが週間でエーカーの牧草地を食べ尽くすことができ、週間でエーカーの牧草地に育つ牧草は頭の牛が食べ尽くす分、つまり頭の内の頭が週間に食べる分を除いた余りと同じだけあり、また同じことだが、頭の牛が週間で食べる分と同じである。更に週間（週間から初めの週間を除いた余り）に増える牧草の量は、頭の牛が週間に食べるだけと同じであることも推察できる。頭の牛は牧草の育った分だけを食べ、頭の牛が週間以降に育った牧草以外を食べ、これらを合わせると牛の頭数はになる。そして最後に、エーカーの牧草地を頭の牛が週間で食べ尽くすなら、比によって、エーカーの牧草地を頭の牛は同じ時間で食べ尽くすことが分かる。

1769年英語版の目次 [表題] - [節番号(Article Numb.)] Part I Notation (記法) - I. Addition (加法) - XVIII. Subtraction (減法) - XXV. Multiplication (乗法) - XXVIII. Division (除法) - XXXIV. Extraction of Roots (開法) - XLI. Reduction of Fractions (約分) - XLVIII. Invention of Divisors (約数) - XLIX. Reduction of Fractions to a common Denominator (通分) - LIX. Reduction of Radical Quantities (冪根の簡約化) - LX. to their least Terms - LX. to the same Denominator - LXI. to more simple Radicals, by the Extraction of Roots - LXII. Forms of Equations - LXV. Reduction of Final Equations - LXVII. ordering a Single or Final Equation - LXVII. Reduction of Medial Equations - LXXV. Transformation of two or more Equations into one, in order to exterminate the unknown Quantities - LXXV. Extermination of an unknown Quantity by Equality of its Values - LXXVI. Extermination of an unknown Quantity, by substituting its Value for it - LXXVII. Extermination of an unknown Quantity of several Dimensions in each Equation - LXXVIII. Method of taking away any number of Surd Quantities out of Equations - LXXXI. Resolution of Arithmetical Questions - LXXXII. How a Question may be brought to an Equation - LXXXII. 16 Problems Resolution of Geometrical Questions - LXXXIII. How Geometrical Questions may be reduced to Equations - LXXXIII. 61 Problems Part II Nature of the Roots of Equations - CX. Transmutations of Equations - CXXIII. Limits of the Roots of Equations - CXXXII. Reduction of Equations by Surd Divisors - CXL. Appendix Linear Construction of Equations Roots of Numeral Equations by their Limits (by Colin Maclaurin) Method of Series by which you may approximate to Roots of Literal Equations (by Colin Maclaurin) Measures of Ratios (by James Maguire)

脚注

参考文献 Universal arithmetick from Open Library, published 1769 The Arithmetica Universalis from the Grace K. Babson Collection, including links to PDFs of English and Latin versions of the Arithmetica Centre College Library information on Newton's works J. J. Sylvester, On the real and imaginary roots of algebraical equations, 1865, from Goettinger Digitalisierungszentrum (GDZ)

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