カルーシュ・クーン・タッカー条件（）あるいはKKT条件とは、非線形計画において最適点での一階導関数が満たすべき条件を指す。ラグランジュの未定乗数法が等式制約のみを扱うのに対して、KKT条件を用いた解法は不等式制約も扱うことができる。KKT条件に対応する連立方程式は、特殊な場合を除くと解析的に閉じた形の式により直接的に解くことはできない（通常は反復法を用いることになる）。すでにKKT条件の連立方程式の数値的な解法は数多く確立されており、それらを用いることが一般的である。KKT条件は線形計画法における主双対内点法などの解法において、重要な役割を持つ。 なお、カルーシュの先行が広く知られるようになる以前の文献等ではクーン・タッカー条件（KT条件）と書かれていた。
対象となる非線形計画問題 次のような非線形計画問題を考える。
このとき、 が変数、 が目的関数、 は不等式制約を表す関数、 は等式制約を表す関数である。不等式制約と等式制約の数はそれぞれ および で表す。
この際、KKT条件が局所値の必要条件となるためには、正規条件と呼ばれるいくつかの条件のうちの1つを満たす必要がある。一例として、 が凸関数で、かつ および がアフィン関数であるなどの条件がある．
（なお、不等式制約条件は無制約のスラック変数を用いることで、 等式制約条件に置きかえて扱うこともできる.）
カルシュ・クーン・タッカーの定理(スレイターの条件も参照):
このアプローチの考え方は、実現可能集合 上のを見つけることにあるため、カルシュ・クーン・タッカーの定理の証明では超平面分離定理が用いられる。
KKT条件に対応する方程式および不等式の系は、解析的に閉形式の解を導き出せるごく少数の特殊な場合を除き、通常は直接解かれることはない。一般に、多くの最適化アルゴリズムは、KKTの方程式および不等式の系を数値的に解くための手法として解釈することができる。
必要条件 目的関数 と制約の関数 が において連続かつ微分可能であるとする。もし が目的関数の極小値を与えるのなら、KKT乗数と呼ばれる で以下を満たすものが存在する。
停留性 For maximizing f(x): For minimizing f(x):
主問題の実行可能条件
双対問題の実行可能条件
スラック変数に関する条件
特に の場合は等式制約のみを持つ問題となるので、KKT条件はラグランジュの未定乗数が満たすべき条件と同値になり、KKT乗数はラグランジュ乗数と呼ばれる。仮に、いくつかの関数が微分不可能である場合、劣微分を用いたKKT条件を同様に定めることができる。
注記：制約条件が「制約想定」と呼ばれる条件を満たしていない場合には、KKT条件から求めた解は必ずしも最適性を満たさないことに注意が必要である． KKT条件が最適性条件となるためには、その制約条件が「Guinard制約想定」と呼ばれる条件を満たしていることが必要十分である(参考：福島,2001年).
十分条件
場合によっては、必要条件が最適性の十分条件となることもある。一般に、必要条件だけでは最適性を保証するには不十分であり、2次十分条件(SOSC)などの追加情報が必要となる。滑らかな関数の場合、SOSCには二階導関数が関与するため、その名称が付けられている。
最大化問題の目的関数 が微分可能な 凹関数 で、不等式制約 が微分可能な 凸関数 で、等式制約 がアフィン関数で、かつスレイターの条件が成立する場合、必要条件は最適性の十分条件となる。 同様に、最小化問題の目的関数 が微分可能な 凸関数 である場合、必要条件は最適性の十分条件でもある。
1985年にマーティンによって、KKT条件が全域最適性を保証するより広範な関数のクラスは、いわゆるの1種であることが示された。
2次導関数の十分条件 (SOSC)
滑らかな非線形最適化問題に対して、2次十分条件(SOSC)は次のように与えられる。
前節で求めた解 は、ラグランジアン
が成立する場合、
ここで、 は、以下の条件を満たすベクトルである。
ここで、厳密な相補性（即ち、 である場合）に対応する有効な不等式制約 のみが適用される。不等式も厳密である場合、解は厳密に制約された局所極小となる。
もし ならば、 が局所極小点であるかどうかを検証するために、ラグランジアンの3次テイラー展開を用いるべきである。の最小化は良い反例となる。も参照のこと。
関連項目 線型計画問題 半正定値計画問題 二次錐計画問題 双対問題
参考文献
福島雅夫，「非線形最適化の基礎」，朝倉書店，（2001年4月20日）．ISBN 978-4-254-28001-2。
「制約想定を必要としない新しい最適性必要条件の導出」(京都大学、2020年11月09日）