数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、）とは、ある可測空間 上のすべての二つのσ-有限な符号付測度 および に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 および が存在することを述べた定理である。
（すなわち、 は に関して絶対連続） （すなわち、 と は特異的）
これら二つの測度は、 および によって一意的に定められる。
改良 ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。
はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる。
但し νcont は絶対連続（absolutely continuous）な部分 νsing は特異連続（singular continuous）な部分 νpp は純点（pure point）の部分（離散測度）
つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。
関連する概念 レヴィ＝伊藤分解
確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。ある X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 に分解される。 はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する； はで、純点の部分に対応する； は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。
関連項目 スペクトル分解 ハーンの分解定理および対応するジョルダンの分解定理
引用
参考文献