Hom関手（ほむかんしゅ、）とは、対象の間の射の集合が構成する集合の圏への関手である。特に反変Hom関手 は、 の（）とも呼ばれる。
記法 Hom関手を表す記号には以下のようなものがある。なお、 は圏、 は対象である。
：共変Hom関手 ：反変Hom関手
アンダースコア や四角 は「空欄」を表し、ここに の対象が入ると解釈できる。
定義 を局所小圏任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏。とする。 の任意の対象 と に対し、次のように集合の圏 への関手を定義する。
共変関手 ： 対象への作用： の各対象 を集合 へ写す写像。 射への作用： の各射 を、 で定義される写像 へ写す写像。 反変関手 ： 対象への作用： の各対象 を集合 へ写す写像。 射への作用： の各射 を、 で定義される写像 へ写す写像。
Hom関手間の自然変換と双関手 関手の組 と は自然な方法で関係付けられる。
任意の射のペア と に対して、次の図式が可換となる。
2つの経路は を に写す。
上の図式の可換性は、 が から への、第1変数について反変で第2変数について共変であるであることを示している。すなわち、 は双関手である。 は の双対圏である。
米田の補題
上の可換図式を見ると、すべての射 は自然変換を与え、すべての射 は自然変換を与える。米田の補題は、Hom関手の間の任意の自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 から関手圏 への埋め込みとなる充満忠実関手を与える。
内部Hom関手 圏 上の関手が、 ではなく圏 自身に値を持ち、 のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば
と書かれたり、と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
と書かれることもある。例としては:en:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、と呼ばれる。
閉圏の単位対象を とする。このとき、次の同型が成り立つ。閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、
である。ここで はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は と の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 を内部Homと呼ぶ。 がデカルト積 であるとき、対象 を指数対象と呼び、 と書くこともある。
内部Homは、圏のと呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語であるがある。
性質
次の形の関手は前層である：同様に、 の形の関手は余前層である。
関手 がある と自然に同型であるとき、 は表現可能関手であるという。同様に、 に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。
関手 は定義からであり、特に恒等プロファンクタ である。
内部hom関手は極限を保存する。すなわち、 は極限を極限へ写し、同様に は の極限（すなわち の余極限）を の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。
をアーベル圏、 を の対象とすると、 は、 からアーベル群の圏 への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値であるJacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.。
を環、 を左 -加群とする。関手 は、テンソル積関手 の右随伴関手である。
関連項目 Ext関手 関手圏 表現可能関手
脚注
参考文献
外部リンク Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom