数学、より具体的には抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。
多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。
定義 を体 上のベクトル空間とし、 は の 個のとする。 上 -変数の函数 が -重線型または -線型であるとは、各変数 に対して および を満たすときに言う。 を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。
上の -重線型形式全体の成す空間 は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。このベクトル空間は -階共変テンソルの空間 （ は の双対空間で、 はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、その意味で -重線型形式を -階共変テンソルと看做すことができる。
-重線型形式全体の成す空間 は点ごとの積に関しては閉じていないが、 の点ごとの積: は -重線型形式となる（これを と とのテンソル積と呼ぶ）。したがって であり、無限直和 はこの積に関して閉じていて、次数付き多元環として共変テンソル代数との自然な同型 がある。
このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。
例 , すなわち変数が2つだけのときは、 を双線型形式と呼ぶ。 重要なタイプの多重線型形式として、交代多重線型形式 —交代性: 2つの引数が同じときに消える という追加の性質を持つもの—がある。 上の -重線型交代形式の全体 は、 の -次外冪 に同型であり、交代多重線型形式は多重余ベクトル (multi-covector) に対応する。 微分形式は多様体上の共変テンソル場であり、多様体の各点 において における接空間上の交代多重線型形式を与える。
関連項目 双線型写像 斉次多項式 線型写像 多重線型代数 多重線型写像
注
注釈
出典
参考文献
外部リンク