スピン構造

微分幾何学において、向き付け可能リーマン多様体上のスピン構造（スピンこうぞう、）は、付随するの定義を可能にし、微分幾何学におけるスピノルの概念を生じる。

数理物理学、特に場の量子論へ広く応用され、電荷を持たないフェルミオンに関する任意の理論の定義にスピン構造は必須である。純粋数学的にも、微分幾何学や代数的位相幾何学、K-理論などに於いてスピン構造は興味の対象である。スピン構造はに対する基礎付けを成す。

導入幾何学および場の理論において、与えられたリーマン多様体がスピノルを持つことができるか否かは興味のある問題である。この問題を扱うための一つの方法が、がスピン構造を持つと仮定することである。しかし常にそのように仮定してよいわけではなく、スピン構造の存在に対する位相的な障害の可能性がある。スピン構造が存在するための必要十分条件は、の二次スティーフェル–ホイットニー類が消えていることである。さらに言えば、ならば、上のスピン構造の同型類全体の成す集合の上にはが自由かつ推移的に作用する。多様体は向き付けられていると仮定すれば、の一次スティーフェル–ホイットニー類も消えている（多様体の各スティーフェル–ホイットニー類は、の接束のスティーフェル–ホイットニー類として定義される）。

上のスピノルの束は、「のスピン標構に対応する主束が付随する複素ベクトル束」であり、そしてまた、「その構造群がスピン群であるような、スピノルの空間を表現空間とするスピン表現」である。この束を与えられた上のスピン構造に対すると呼ぶ。

多様体上のスピン構造の精確な定義は、ファイバー束の概念を導入して初めて可能である。は、向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造の存在に対する位相的な障害を発見し、はこの結果を、向き付け不能な擬リーマン多様体にまで拡張した。

リーマン多様体上のスピン構造定義向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造とは、向き付けられた直交標構束 → の、二重被覆に関する持ち上げを言う。すなわち、対が主束上のスピン構造であるとは、

が満たされるときに言う。この主束を、上のスピン標構束とも呼ぶ。

同じ一つの向き付けられたリーマン多様体上の、二つのスピン構造が同値であるとは、-同変写像が存在して、かつ任意のに対してとできるときに言う。

もちろん、この場合のは、与えられたリーマン多様体上の向き付けられた正規直交標構 -束の二つの同値な二重被覆である。

この「主束上のスピン構造」としての上のスピン構造の定義は、による。

障害は、向き付けられたリーマン多様体上のスピン構造の存在に対する必要十分条件を発見した。スピン構造を持つことに対する障害となるのは、のある種の元である。スピン構造に対して、その類はの二次のスティーフェル–ホイットニー類である。従って、スピン構造が存在するための必要十分条件は、の二次スティーフェル–ホイットニー類が消えていることである。

ベクトル束のスピン構造をパラコンパクト位相多様体とし、上の向き付けられた -次元ベクトル束はを持つとする（これは、の各点におけるのファイバーが内積空間であることという意味である）。のスピノル束は、の各点に対して一貫した仕方でスピン表現を付随させるための処方箋になる。スピン構造を持つことが可能となることへの位相的障害が存在し、その結果として、与えられた束が如何なるスピノル束も持たないこともありうる。がスピン構造を持つ場合、束はスピンである（スピン束）という。

このことは、主束を考えることによって厳密にすることができる。ベクトル束の全体の成す集合はを成す（これは特殊直交群の作用の下での主束である）。に対するスピン構造とは、の（スピン群の作用の下の）主束への持ち上げである。これはつまり、束写像が存在して、任意のに対してが成り立つということを意味する。ここに、はスピン群をの二重被覆として表わす群準同型である。

が底多様体上の接束である特別の場合には、スピン構造が存在するときをスピン多様体と呼ぶ。同じことだが、多様体がスピンであるとは、の接ファイバーの正規直交基底のなす -主束が、主スピン束の -商であるときに言う。

多様体が胞体分割や三角分割を持つとき、スピン構造は等価的に、1-骨格上の接束を 2-骨格上に拡張したものの自明化 (trivialization) のホモトピー類として考えることができる。次元が 3 より低い場合には、まず自明直線束とのホイットニー和をとる。

障害ベクトル束上のスピン構造が存在するための必要十分条件は、の二次スティーフェル–ホイットニー類が消えていることである。これはの結果である。ここで、が向き付け可能ベクトル束と仮定したことに注意せよ。

分類スピン構造が存在するとき、多様体上の互いに同値でないスピン構造の全体は、（これは、普遍係数定理によりと同型）の元全体と（標準的でない）一対一対応を持つ。より精確に述べれば、スピン構造の同型類全体の成す空間は、上のアフィン空間である。

直観的には、上の各非自明サイクルに対して、スピン構造は SO(N)-束の切断がループを囲むとき被覆面を切り替えるか否かの二者択一に対応する。が消えているとき、これらの選択は二次元 (2-骨格) へ拡張でき、それゆえ（により）自動的に全体の上まで拡張できる。素粒子物理学においてこのことは、各ループを周るフェルミオンに対する周期的または反周期的境界条件の選択に対応する。

素粒子物理学への応用素粒子物理学におけるスピン統計定理は、電荷を帯びていないフェルミオンの波動函数が、の切断の -束へのスピン持ち上げであることを含意する。従って、スピン構造の選択は波動函数を定義するために必要なデータの一部であり、分配函数での選択を渡る和をとることにしばしば必要となる。多くの物理理論では接束であるが、弦理論におけるD-ブレーンの世界体積上のフェルミオンに対してはをとる。

例種数のリーマン面は、同値でないスピン構造を個持つ。の項を参照。が消えるならばはスピン多様体である。たとえば、は任意のに対してスピン多様体である。（実はもスピン多様体となるが、理由が異なる。後述）複素射影平面はスピン多様体でない。より一般に、すべての偶数次元複素射影空間はスピン多様体でない。すべての奇数次元複素射影空間はスピン多様体である。三次元以下のすべてのコンパクトな向き付け可能多様体はスピン多様体である。すべてのカラビ・ヤウ多様体はスピン多様体である。

性質スピン多様体のÂ 種数は整数であり、さらに次元が 4 mod 8 であれば偶数である。一般に、Â 種数は有理数不変量で、任意の多様体に対し定義されるが、一般に整数ではない。これはもともとヒルツェブルフとボレルにより証明されたもので、アティヤ–シンガーの指数定理によって証明することができ、Â 種数は（ディラック作用素は二階作用素の平方根であり、スピン構造が「平方根」であるおかげで存在する）の指数として実現することができる。これは指数定理に対して動機付ける例であった。

スピン-構造スピン構造の類似物として、スピン構造は向き付けられたリーマン多様体上で定義される page 391が、用いる群がスピン群、すなわち完全系列

により定義される群であるところが異なる。これを動機付けるためにを複素スピノル表現と仮定する。の中心は、包含からくる対角元（つまり恒等写像のスカラー倍）から成る。ゆえに、準同型

が存在して、この準同型の核は必ず元を持ち、この元を法とする商をとるとを得る。この群は、ねじれ積

である（に注意せよ）。すなわち群はのによる中心拡大である。

別な方法として、はの正規部分群（これは、束およびのそれぞれに対する被覆変換の対で生成される）に関する商群である。これにより、スピン群はをファイバーに持つ円周上の束とも、円をファイバーに持つ上の束とも見ることができるpage 26。

基本群はに同型である。

多様体が胞体分割や三角分割を持つならば、スピン-構造を等価的に、2-上の複素構造を 3-骨格に拡張したもののホモトピー類と考えることができる。スピン構造のときと同様に、多様体が奇数次元ならば、自明直線束とのホイットニー和を取る。

さらに別の定義は、多様体上のスピン-構造とは、上の複素直線束と上のスピン構造の対であるとするものである。

障害スピン構造が存在するのは、束が向き付け可能かつその束の二次スティーフェル–ホイットニー類が準同型の像に属する（すなわち、三次の整係数スティーフェル–ホイットニー類が消えている）ときである。このとき、束は「スピンである」（スピン-束）という。直観的には、弧の持ち上げが、任意に得られたスピン束の -成分のデカルト平方のチャーン類を与える。ホップとヒルツェブルフの定理により、向き付け可能な四次元閉多様体は、常にスピン構造を持つ。

分類多様体がスピン-構造を全く持つとき、スピン構造全体の成す集合は、アフィン空間を成す。さらに言えば、スピン構造の空間には、が自由かつ推移的に作用する。従って、スピン構造は（自然な方法ではないけれども）の元に対応する。

幾何学的な説明これを以下のように幾何学的に解釈することができる（これはエドワード・ウィッテンによるものである）。スピン-構造は 0 でないとき、この平方根束は非整係数チャーン類を持つ（これはが成り立たないことを意味する）。特に、三種類ある任意の二つの交叉上の遷移函数の積は（主束となるのに必要な条件であるところの）恒等的ににならず、ところどころとなる。

この条件の不成立は、遷移函数の三重積に関して同じ条件の不成立によってとなることが妨げられるのと、ちょうど同じ交叉において起きる。従って、完全 (full) スピン-束の遷移函数の三重積（これは、スピン束の三重積と -成分束の三重積との積である）は、かの何れかであり、それゆえこのスピン-束はコサイクル条件を満たして、正当な束となる。

詳細上記の直観的な幾何学的説明は以下のように具体的にすることができる。短完全列を考える。ここに、二つ目の矢印は各整数を -倍する写像であり、三つ目の矢印は法に関する還元である。これによって誘導されるコホモロジーの長完全列は

なる部分を含む。二つ目の矢印は -倍写像の誘導する準同型であり、三つ目は法に関する制限から誘導される準同型で、四つ目は付随するである。

スピン束の存在に対する障害はのひとつの元である。これは、-束のスピン束への局所持ち上げは常に可能だが、各遷移函数の -持ち上げの選択（それは符号を選ぶことである）が必要があるという事実を反映するものである。三重交叉上でこれら三つの符号の積がであるとき持ち上げは存在しない。これはのの様子を教えるものである。

この障害を打ち消すために、このスピン束と同じ障害を持つ -束とのテンソル積束をとる。これが「束」の語の濫用であることに注意すべきである（スピン束も -束もコサイクル条件を満たさないので、どちらも実際には束でない）。

正当な -束はチャーン類により分類される（これはの元である）。この類を上記の完全系列の一項目の元と同一視すると、次の矢印はこのチャーン類を二倍するから、正当な束は二項目のの偶数である元と対応する。一方、奇数である元はコサイクル条件を満たさない束と対応する。よって、障害は二項目のが矢印の像のに属することが満足されないこと（これは完全性により、次の矢印によるの像により分類される）によって分類される。

スピン束に関する対応する障害を打ち消すには、この像がである必要がある。特に、が矢印の像に属さなければ、障害がに等しい如何なる -束も存在せず、従って障害は打ち消されない。完全性によりが直前の矢印の像に属するのは、次の矢印（これがボックシュタイン準同型であることを思い出そう）の核に属するときに限る。すなわち、障害を打ち消すための条件は

である。ここで、三次の整係数スティーフェル–ホイットニー類は、二次スティーフェル–ホイットニー類のボックシュタイン準同型像である（このことを W の定義として採用することもできる）という事実を用いた。

スティーフェル–ホイットニー類の整係数持ち上げこの議論は、二次のスティーフェル–ホイットニー類は -係数コホモロジーの元ばかりでなく、ひとつ高次の整係数コホモロジーの元をも定義することを示している。実は、これは任意の偶数次スティーフェル–ホイットニー類に対して同じことが言える。そうして得られる奇数次の累に対して、慣習的に大文字のが用いられ、それぞれの次数（これは常に奇数）をラベルとして、整係数スティーフェル–ホイットニー類と呼ぶ。

素粒子物理学への応用場の量子論において、電荷を帯びたスピノルは付随するスピン-束の切断であり、また特に、電荷を帯びないスピノルはスピン-構造を持たない空間の中には存在することができない。ある種の超重力理論においてこのことの例外が生じる（そこでは追加の相互作用が、他の場が三次のスティーフェル–ホイットニー類を打ち消す可能性を暗に含む）。

例四次元以下の任意の向き付けられた滑らかな多様体は、スピン-多様体である。任意の概複素多様体はスピン-多様体である。任意のスピン多様体はスピン-多様体である。

ベクトル構造スピン構造がベクトル束の随伴スピン束への持ち上げであるのに対して、ベクトル構造とは他の束の随伴ベクトル束への持ち上げを言う。

障害たとえば、-束を考えると、群は三つの八次元表現を持っていて、そのうち二つはスピノル的であり、そのひとつはベクトル表現である。これら三つの表現は同型により互いに取り換えることができて、三対性 (triality) と呼ばれる。-ベクトル束を与えたとき、付随するスピン束に関する障害は、二次スティーフェル–ホイットニー類（これは -係数二次コホモロジー群の元）である。三対性により、与えられた -スピン束の随伴ベクトル束の存在に対する障害が、同じコホモロジー群の別の元（これをしばしばと書く）であることがわかる。

素粒子物理学への応用物理学においてベクトル構造が初めて考慮されたのは、論文である。彼らは、（その配置は、その上に -主束を持つ10次元多様体からなる）を考えた。そのような束はベクトル構造を持ち、それゆえすべての三重交叉上の遷移函数の三重積が -商の自明元であるとき -束に持ち上がる。これが起こるのはちょうど -係数特性 2-コサイクルが消えるときである。

続く年、は、I-型超弦理論は（流束の無い場合において）この特性類が自明である場合に限り無矛盾 (consistent) であることを実証した。より一般に、I-型弦理論においてB-場は -係数二次のコホモロジーに属する類でもあり、彼らはこれがと等しくなければならないことを示している。

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