力学系理論における標準写像（ひょうじゅんしゃぞう、）とは、面積保存型の2次元写像の一つである。面積保存型写像における非線形現象を理解するための代表的なモデルとして頻繁に用いられ、幅広く調べられてきている。標準写像は1つのパラメータを持つ1径数族であり、保存系における規則的振る舞いからカオス的振る舞いへの遷移を調べるのによく用いられる。標準写像はによって導入され、その名称もチリコフの命名による。
定義 標準写像は、標準的には次のような2変数連立非線形差分方程式で表される。
ここで、 は実変数で、 は を法とする実変数である。実数全体の集合を とし、1次元トーラスを とすると、上式は円筒状空間 に定義される写像である。
上記のような差分方程式は、 を離散的な時間を意味するとしたとき、離散的な時刻 での値 を での値 へ写像する。式中の はパラメータで、差分方程式における非線形性の強さを表す。パラメータの符号を逆にした
という形もある。
式 () や () のように を法とするのではなく を法とした
という差分方程式も、標準写像の定義としてよく用いられる。式 () に対して
と変数変換することで式 () が得られる。この場合の標準写像は、1次元トーラスを とした円筒空間 に定義される。以下では、変数 の標準写像 () で主に説明する。
標準写像を物理現象のモデルと見なしたときは変数 （または ）は負の値も取り得るため 上の変数と考えることが適切だが、数学的には も の変数とし、標準写像を2次元トーラス からそれ自身への写像とすることも多い。実際 を整数分だけずらしても、すなわち を任意の整数として のように変数変換しても、式 () は不変である。したがって、定義域を と考えたときは、 という領域が 方向に並んだ空間と考えることができる。
保測性・シンプレクティック性 標準写像は代表的な保測写像として知られる。任意の点 におけるヤコビ行列の行列式は、以下のように となる。
式 () だと任意の点 で
また、標準写像はシンプレクティック写像でもある。滑らかな関数 に対して を の外微分（全微分）とし、 をウェッジ積とする。式 () を例にすると、
というシンプレクティック写像の条件が成り立つ。
K = 0 のときの振る舞い パラメータが のとき、標準写像は、
のように、 および を の関数として表すことができる。ここで、 はそれぞれの変数の初期値である。
では であることから、写像は 方向の円周に沿って点を写すのみである。このとき、円周上の写像の回転数は （または ）である。 が有理数であれば、円周上の軌道は周期軌道となる。 および を互いに素な 自然数とする。回転数が であれば、円周上の任意の軌道は周期 で元に戻る周期軌道である。一方、 が無理数であれば、円周上の軌道はその円周を稠密に覆う（不変トーラス等と呼ばれる）準周期軌道となる。有理数であるような は測度 なので、標準写像の相空間は後者（不変トーラス）で埋め尽くされている。
K > 0 のときの振る舞い カオスの海とトーラスの島の発生 パラメータが になると、標準写像の軌道の構造は のときから大きく変化する。非線形性の強さを代表するパラメータ を大きくしていくと で存在していた不変トーラスは徐々に破壊され、カオスの海とトーラスの島が現れる。
において標準写像の不動点は （または ）の領域で2つ存在し、それらの不動点を と と表せば、 （または ） （または ） である。ヤコビ行列の固有値を調べることで、不動点 はすべての で鞍点であり、不安定であることが分かる。不動点 は ではリアプノフ安定な楕円型不動点で、 では不安定となる。したがって、 のときに の直線上の任意の点として存在していた不動点は、 になると上記の2点のみを残して消失する。
回転数が有理数である他の不変トーラスも同様の事象が起き、元の不変トーラスが崩壊して鞍点と楕円型不動点へ変わる。発生した鞍点から伸びる安定多様体と不安定多様体の交差によって、これら安定多様体と不安定多様体の周囲にカオス的な振る舞いの軌道の領域が現れる。このような領域は「カオスの海」と呼ばれる。発生した楕円型不動点の周囲には不変閉曲線（不変トーラス）の族が存在し、楕円型不動点はこれらに囲まれている。閉曲線上の点は同じ閉曲線上の点へと移る。 で現れる閉曲線は、標準写像の相空間全体には巻きつかず、楕円型不動点の周囲に局所的な卵形として現れ、楕円型不動点とその閉曲線群の構造は「島」と呼ばれる。
における不変トーラスの崩壊の機序は新たなトーラスの島にも適用できるから、ある島の中にも、回転数が有理数で崩壊した不変曲線とそれによってできた小さなカオスの海と小さな島があり、この構造が自己相似的に無限に続く。島の任意の不変曲線の間には、高次の鞍点と鞍点と楕円型不動点が存在する。すなわち、 回反復合成による楕円型不動点の周りには、 回反復の鞍点と楕円型不動点が存在し、それらの楕円型不動点の周りには 回反復の鞍点と楕円型不動点が存在し、という構造がどこまでも続く。
広域的カオスの海の発生 一方、 における不変トーラスの中でも、回転数が無理数のトーラスは摂動を受けても全てではないが残存する。このように充分に小さい摂動であれば残存する不変トーラスは、KAMトーラスや（2次元の場合は）KAM曲線と呼ばれる。標準写像の場合、 から残存するKAMトーラスは から まで（または から まで）に及び、相空間 を上下に分割する。（前節の島型の不変トーラスもKAMトーラスの一種だが、本記事では から残存するKAMトーラスのみをKAMトーラスと呼ぶ。）
2次元写像では、1つのカオス軌道がKAMトーラスを超えることは不可能なので、全てのカオスの海はKAMトーラスで仕切られている。しかし、パラメータ がある値を超えて大きくなると、相空間を上下に分割していたKAMトーラスが全て消滅し、カオスの海がつながって に及ぶ広域なカオスの海が出現する。このように最後に消滅するKAMトーラスは最終KAMトーラスと呼ばれる。
最終KAMトーラスの回転数 は黄金数の逆数となる。これを とすれば、
である。KAM定理によると、有理数で近似しにくい無理数の回転数の不変トーラスが残存しやすい。黄金数ならびに黄金数の逆数 の連分数展開はもっとも収束が遅く、それらは有理数によってもっとも近似しにくい無理数であるため、最終KAMトーラスは の回転数を持つ。この最終KAMトーラスが消滅するときのパラメータ は、数値計算により と求められている。計算機援用で証明された数値としては、 までKAMトーラスが存在することが、 ではKAMトーラスが存在しないことが示されている。
カオス軌道の拡散 最終KAMトーラスの消滅後、カオス軌道は相空間で 方向への拡散が可能となる。標準写像の拡散現象では、ブラウン運動のような通常拡散のほかに、それから外れた異常拡散も発生する。 の算術平均を で表し、 の初期値から反復繰り返し数 番目までの変位を で表したとき、この平均二乗変位は
という のべき乗に比例する関係が成立する。この指数 が のとき（平均二乗変位が に比例するとき）がブラウン運動のような通常拡散に相当し、 のときが異常拡散に相当する。標準写像の における数値計算では、 や という計算結果例がある。
標準写像の異常拡散は、加速モードと呼ばれる軌道ないしトーラスの存在によって引き起こされる。最終KAMトーラス消滅後の広域的カオスの海には、加速モード周期軌道と呼ばれる
を満たす軌道が共存する。 および は正の整数で、この軌道では 回反復ごとに だけが だけ写される。言い換えると、加速モード周期軌道では、点は 方向へ速さ で相空間を「飛んでいく」ようにあるいは「走る」ように動く。式 () より加速モード周期軌道が存在する条件は
によって与えられる。 の場合だと、パラメータが のときに加速モードの周期点が楕円点として存在する。したがって、このときの加速モードは島の構造を持つため、それらの島のトーラスは加速モードトーラスとも呼ばれる。一般的に、カオスの海はトーラスの島と共存するため、海の中の軌道は島を構成するトーラスの近傍を時折通って捕捉される。カオス軌道が加速モードトーラスに捕捉されたとき、そのカオス軌道も 方向へ速さ で飛んでいく。このようにカオス軌道が間欠的に加速モードトーラスの近傍に捕捉されることが、標準写像で異常拡散を引き起こしている。
物理モデルとの関連 標準写像は、周期的にキックを受ける回転子（）という物理モデルのポアンカレ写像として導出される。以下では に沿って説明する。
質量 の重りが長さ の棒の端につながれ、棒の他端を中心にして回転する構造の回転子を考える。その重りが、周期 のタイミングで常に同じ方向に向かって蹴り上げられるとする。蹴り上げによる力 は大きさ で瞬間的に働くとすると、デルタ関数 を使い、
と表される。ここで、 は時間、 は整数である。回転子の角度を とし、回転子の慣性モーメントを とし、蹴り上げによる力のモーメントを とすれば、回転子の運動方程式は
によって与えられる。ここで、 である。 の向きを に逆らう方向とすれば、 である。 という新たな変数を導入すれば、運動方程式は、
という2階の連立微分方程式に帰着する。ここで である。微小量 を導入し、式 () を から の範囲で積分する。積分後に極限 を取り、 および で時刻 の蹴り上げの直前の および の値を表す（すなわち、）。すると、
という差分方程式が得られる。さらに新しい変数として、 と を導入し、定数を とおくと、
となり、標準写像 () が得られる。
出典
参照文献
外部リンク
Standard Map - MathWorld Chirikov standard map - Scholarpedia