反傾表現（はんけいひょうげん、）あるいは双対表現（そうついひょうげん、） は、 が群で、 がベクトル空間 上の の線型表現であるとき、以下のようにして双対ベクトル空間 上定義されるLecture 1 of , p. 4：
は の転置である、つまり、すべての に対して である。
がリー環で がベクトル空間 上のその表現であれば、反傾表現 は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義されるLecture 8 of , p. 111：
すべての に対して である。
いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。
ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。
動機付け 表現論において、 のベクトルと の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 の への作用 は行列の乗法
によって表現できる。ただし上付きの は行列の転置を表す。群の作用と整合的であるためには
が要求されるLecture 1, page 4 of 。反傾表現の定義から、
となり、整合性を持つことが確かめられる。
リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、 がリー群の表現であれば、
によって与えられる はそのリー環の表現である。 が に双対であれば、その対応するリー環の表現 は、
で与えられるLecture 8, page 111 of 。
一般化 群 の2つの表現 と から、次のようにして 上の の表現 が定義されるA. Chambert-Loir, Introduction aux groupes et algèbres de Lie, cours de master 2 à l'université de Rennes 1 (2004-2005), p. 21： すべての とすべての に対して、。 反傾表現は、 が自明表現の場合である。 環上の加群は一般には反傾表現を持たないが、ホップ代数上の加群は持つ。
関連項目
参考文献