数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。 定義 形式的には、K関数は
のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、
となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、
である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
である。また、Balanced polygamma functionを使って、Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115
とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。
K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。
K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、
のような関連がある。より明確に書けば、
が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。
K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。
倍角公式 ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。
ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。 数値 最初の数項の値は、 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (). となる。また、は、
のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。
関係式 K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。
ここで、
Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。
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参考文献
注釈
関連項目 階乗 ガンマ関数 バーンズのG関数
外部リンク