数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数やバーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャーとヘルマン・キンケリンである。
グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。 .
定義 グレイシャー・キンケリンの定数は、
の極限である。ここで、はK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。
πは階乗、Aは階乗の類似物であるK関数 により表されている。
バーンズのG関数、 (ここではガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。 . グレイシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。
ここで、はオイラーの定数である。後の式は、グレイシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。
以下は、この定数を含むいくつかの積分である。
この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。
参考文献
(Provides a variety of relationships.)
関連項目 リーマンゼータ関数 ガンマ関数 バーンズのG関数 外部リンク The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places