ルート系

数学において，ルート系（，）とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群（や代数群のような類似物）やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系は（のような）リー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はスペクトルグラフ理論におけるように，それ自身重要である．

定義と基本的な例

最初の例として，図に示されているような，2次元ユークリッド空間における6つのベクトルを考える．これらのベクトルは空間全体を張る．任意のルートに垂直な直線を考えると，その直線によるの鏡映は任意の他のルートを別のルートに写す．さらに，写り先はに等しい，ただしは整数である（この場合はである）．これら6つのベクトルは以下の定義を満たし，したがってルート系をなす；このルート系はと呼ばれる．

定義を有限次元ユークリッドベクトル空間とし，を標準ユークリッド内積とする．のルート系 (root system) とは，非零ベクトルの有限集合であって，以下の条件を満たすもののことである：

条件3と4を書く同値な方法は以下である：

ルート系に含まれるベクトルはルート（root）と呼ばれる．著者によってはルート系の定義に条件2と3のみを課す．この文脈では，整数性（条件4）も満たすルート系は結晶的（crystallographic）と呼ばれる．別の著者は条件 2 を省く；このとき条件 2 を満たすルート系は被約（reduced）と呼ばれる．この記事では，すべてのルート系は被約かつ結晶的と仮定する．

性質3より，整数性条件は次のように述べても同値である：とその鏡映との差はの整数倍である．性質4によって定義される演算

は内積ではないことに注意．対称であるとは限らず，第一変数についてのみ線型である． +階数 2 のルート系ルート系 A × A ルート系 D ルート系 A2 ルート系 G2 ルート系 B2 ルート系 C2 ルート系の階数 (rank) はの次元である．

2つのルート系は，それらの張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間と見ることで，つなげることができる．そのような結合から生じないルート系は既約 (irreducible) といわれる．例えば右に描かれているルート系 A2, B2, G2 は既約である．

2つのルート系とが同型 (isomorphic) であるとは，可逆な線型変換であって，とに送り，ルートの各対に対して，数が保たれるものが存在することをいう．

ルート系のルートに直交する超平面による鏡映によって生成されるの等長変換の群

をのワイル群と呼ぶ．ワイル群は有限集合に忠実に作用するから，必ず有限群である．

ルート系のルート格子 (root lattice) とは，で生成されるの部分加群である．それはの格子である．

階数 2 の例

階数 1 のルート系は1つしかない，すなわち2つの非零ベクトルからなるである．このルート系はと呼ばれる．

階数 2 では，, に応じて，4つの可能性がある．ルート系はそれが生成する格子によっては決定されないことに注意：とはともに正方格子を生成するし，とはともにを生成する．5種類ある2次元格子のうち2つだけである．

がのルート系で，がで張られるの部分空間であるときにはいつでも，はのルート系である．したがって，階数 2 の4つのルート系の完全なリストは，任意の階数のルート系から選ばれた任意の2つのルートの幾何学的可能性を示している．特に，2つのそのようなルートの角度は，必ず 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180 度のいずれかである．

歴史ルート系の概念は最初1889年頃ヴィルヘルム・キリング (Wilhelm Killing) によって導入された（ドイツ語，Wurzelsystem）．彼は複素数体上のすべての単純リー環を分類しようとしたときにそれらを用いた．キリングはもともと分類で間違いを犯していて，例外型の階数 4 のルート系を2つ挙げていたが，実際には1つしかなく，今ではと呼ばれるものである．カルタンが後にこの誤りを，キリングの2つのルート系が同型であることを示すことで，訂正した．

キリングはカルタン部分環（と今では呼ばれているもの）を考えることによって，リー環の構造を研究した．そして彼は特性多項式 , ただし , の根を研究した．ここでここで「根」(root) はの関数として考える，あるいは実際双対ベクトル空間の元として考える．根のこの集合は上で定義されたようにのルート系をなす，ただし内積はキリング形式である．

ルート系の公理の初等的な結果

2つのルートの間の角度の余弦は整数の平方根の半整数倍に制限される．なぜならば，とはともに仮定により整数で，

であるからである．

であるから，として可能な値はのみであり，対応する角度は , あるいは , あるいは , あるいは , あるいは , である．条件2によりのスカラー倍でルートになるのは倍と倍だけであり，あるいはで，これらの角度はやには対応しない．

正ルートと単純ルートルート系が与えられると，必ず，正ルート（positive root）の集合を（何通りも）取ることができる．これはの部分集合であって，以下を満たすものである：各ルートに対して，ルートとのうちちょうど1つがに含まれる．任意の2つの相異なるであってがルートであるものに対して，である．

正ルートの集合が選ばれると，の元は負ルート（negative root）と呼ばれる．

の元が単純ルート（simple root）であるとは，の2つの元の和で書けないことをいう．単純ルート全体の集合はの基底であって，の任意のベクトルが係数がすべて非負かすべて非正のの元の線型結合であるという性質を持つ．正ルートの各選択に対して，対応する単純ルートの集合は次のような一意的なルートの集合である：正ルート全体はちょうど，非負係数のの元の線型結合として表せるもの全体であり，これらの線型結合は一意である．

ルートの半順序

正ルート全体の集合はをが単純ルートの非負線型結合であることとして自然に順序付けられる．この半順序集合は

によって，多くの注目すべき組合せ論的性質を持つ．その1つはこの半順序集合から対応するワイル群の基本不変式の次数を決定できることである．ハッセグラフはルート半順序集合の順序の可視化である．

双対ルート系とコルート

がのルート系であるとき，ルートのコルートは

によって定義される．コルートの集合ものルート系をなし，双対ルート系（あるいはときどき逆ルート系）と呼ばれる．定義によりであるから，はの双対ルート系である．で張られるの格子はコルート格子と呼ばれる．とは同じワイル群を持ち，に対して，

である．がの単純ルートの集合であれば，はの単純ルートの集合である．

ディンキン図形によるルート系の分類

ルート系が既約であるとは，2つの真の部分集合の和集合であって，すべてのとに対してとなるようなものに分割できないことをいう．

既約ルート系はにちなんで名づけられているディンキン図形というグラフと対応する．これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり，既約ルート系の分類をもたらす．

ルート系が与えられたとき，前の節にあるように単純ルートの集合を選ぶ．付随するディンキン図形の頂点はのベクトルに対応する．ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる．なす角度がラジアンのときは，無向の一重辺であり，のときは有向二重辺であり，のときは有向三重辺である．「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する．

与えられたルート系の単純ルートの集合の可能性は1つではないが，ワイル群はそのような選び方に推移的に作用するこれは Proposition 8.23 から従う．．したがって，ディンキン図形は単純ルートたちの選び方には依らず，ルート系自身によって決定される．逆に，同じディンキン図形をもつ2つのルート系が与えられると，基底のルートから合わせ始めて，2つが実は同じであることを示すことができる．

したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する．ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である．ディンキン図形は基底のことばでの内積の情報を持っており，この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する．

実際の連結図形は以下のとおりである．サブスクリプトは図形の頂点の個数（したがって対応する既約ルート系の階数）を指し示す．

既約ルート系の性質 An (n ≥ 1) n(n + 1) n + 1 (n + 1)!Bn (n ≥ 2) 2n2 2n 2 2 2n n!Cn (n ≥ 3) 2n2 2n(n − 1) 2n−1 2 2n n!Dn (n ≥ 4) 2n(n − 1) 4 2n − 1 n!E6 72 3 51840 E7 126 2 2903040 240 1 696729600F4 48 24 4 1 1152G2 12 6 3 1 12

既約ルート系は対応する連結ディンキン図形にしたがって名づけられる．4つの無限族（An, Bn, Cn, Dn で，古典型ルート系と呼ばれる）と5つの例外的な場合（例外型ルート系）が存在する.．サブスクリプトはルート系の階数を意味する．

既約ルート系において長さの値は高々2種類であり，短いルートと長いルートである．すべてのルートが同じ長さを持っているときは長いと定義し，ルート系は simply laced といわれる．これは A, D, E の場合におこる．同じ長さの任意の2つのルートはワイル群の同じ軌道に入る．Simply laced でない場合 B, C, G, F では，ルート格子は短いルートによって張られ，長いルートは部分格子を張り，これはワイル群で不変で，コルート格子の倍に等しい，ただしは長いルートの長さである．

添付の表において，は短いルートの個数を表し，は長いルートによって生成される部分格子のルート格子における指数を表し，はカルタン行列の行列式を表し，はワイル群の位数を表す．

既約ルート系の明示的な構成

An + A3 e1e2e3e4 α11−100 α201−10 α3001−1 を座標の和がになるの部分空間とし，をの長さの整数ベクトルすなわちにおいて整数座標を持つベクトル全体の集合とする．そのようなベクトルは2つを除くすべての座標がで，1つの座標はで，1つはでなければならず，したがって全部で個のルートがある．単純ルートの取り方の1つを標準基底で表すと：に対して .

に垂直な超平面を通る鏡映は隣り合う番目と番目の置換と同じである．そのような互換は全置換群を生成する．隣り合う単純ルートに対して，

である，つまり，鏡映は1倍を足すことに等しい．しかし，隣り合わない単純ルートに垂直な単純ルートの鏡映はそれを変えず，0倍を引くことである．

ルート格子，つまりルートによって生成される格子は，成分の和がであるの整数ベクトルの集合として最も容易に記述される．

ルート格子は結晶学者に面心立方 (fcc)（あるいは立方最密）格子と呼ばれているConway, John Horton; Sloane, Neil James Alexander; & Bannai, Eiichi. Sphere packings, lattices, and groups. Springer, 1999, Section 6.3.．

ルート系は（他の階数 3 のルート系も）ゾムツール・コンストラクション・セットで模型を作れる．

Bn + B4 1−1000 1−10 00 1−1 00 0 1 とし，をの長さかのすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数はである．単純ルートたちの1つの選び方は：に対してと（に対する上の単純ルートの取り方），短ルートである．

短ルートに垂直な超平面に関する鏡映はもちろん単に番目の座標の倍である．長単純ルートに対し，であるが，短ルートに垂直な鏡映に対しては，であり，1倍ではなく2倍である．

ルート格子，つまり，ルートによって生成される格子は，すべての整数ベクトルからなる．

はによるスケーリングによって，に同型であり，したがって異なるルート系ではない．

Cn + C4 1−1000 1−10 00 1−1 00 0 2 とし，を長さののすべての整数ベクトルと，を長さの整数ベクトルとしての形のすべてのベクトルからなるとする．ルートの総数はである．単純ルートの1つの選び方は：に対してと（A に対する単純ルートの上の選び方），長い方のルートである．

鏡映であるが，である．

ルート格子，つまりルートによって生成される格子は，成分の和が偶数な整数ベクトル全てからなる．

はによるスケーリングと 45 度の回転によってと同型であり，したがって相異なるルート系ではない．

ルート系を立方体と正八面体の中の点として描いたもの

Dn + D4 1−1000 1−10 00 1−1 00 1 1 とし，を長さののすべての整数ベクトルからなるとする．ルートの総数はである．単純ルートたちの1つの選び方は：に対してと（A に対する単純ルートの上の選び方），である．

に垂直な超平面を通る鏡映は隣り合う番目と番目の座標を倍するのと同じである．任意の単純ルートと別の単純ルートに垂直なその鏡映との差は二番目のルートの0倍か1倍であり，それより大きくはない．

ルート格子，つまり，ルートによって生成される格子は，成分の和が偶数であるような整数ベクトル全部からなる．これはルート格子と同じである．

はと一致し，したがって相異なるルート系ではない．

はと呼ばれる追加の対称性を持つ．

E6, E7, E8

の 72 個の頂点は E6 のルートベクトルを表す（緑の頂点はこの E コクセター平面射影では倍増にされている）の 126 個の頂点は E7 のルートベクトルを表すの 240 個の頂点はのルートベクトルを表すルート系は次の集合に合同なのベクトルの任意の集合である：

このルート系は240個のルートを持つ．いま挙げた集合は，ルート格子の長さのベクトル全部の集合である．この格子は単にやとも呼ばれる．これはの次のような点全体の集合である：すべての座標が整数であるか，あるいは，すべての座標が整数でない半整数であり， 8つの座標の和は偶数である．したがって，

ルート系は，の固定された1つのルートに垂直なのベクトル全部の集合である．ルート系は126個のルートを持つ．ルート系は，の固定された1つのルートに垂直なのベクトル全部の集合ではない，実際，そのようにしてを得る．しかしながら，はの適切に選ばれた2つのルートに垂直なの部分系である．ルート系は72個のルートを持つ．

+ E8 の単純ルート: 偶座標 1−10000000 1−100000 00 1−10000 000 1−1000 0000 1−100 00000 1−10 000001 10 −½−½−½−½−½−½−½−½ 特に便利な格子の別の記述は，のつぎのような全ての点の集合である：すべての座標は整数であり，座標の和は偶数である，あるいは，すべての座標は整数でない半整数であり，座標の和は奇数である．格子とは同型である；一方から他方へ，任意の奇数個の座標の符号を変えることによって行ける．格子はの偶座標系と呼ばれることがあり，格子は奇座標系と呼ばれることがある．

に対する単純ルートの1つの選び方は，上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた偶座標系において：に対してと

（に対する単純ルートの上の選び方）と . + E8 の単純ルート: 奇座標 1−10000000 1−100000 00 1−10000 000 1−1000 0000 1−100 00000 1−10 000000 1−1 −½−½−½−½−½ ½ ½ ½ に対する単純ルートの1つの選び方は，上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた奇座標系において：に対して（に対する単純ルートの上の選び方）と , ただし . （を使っても同型な結果を与える．あるいはを使うと単にあるいはを与える．については，その座標の和はであり，同じことはに対しても正しく，したがってそれらは座標の和がになる 7 次元部分空間しか張らない；実はは基底において座標を持つ．）

との直交性は最初の2つの座標が等しいことを意味するから，は最初の2つの座標が等しいの部分集合であり，同様には最初の3つの座標が等しいの部分集合である．これはとの明示的な定義を容易にする：

E7 = {α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7 : ∑αi2 + α12 = 2, ∑αi + α1 ∈ 2Z}, E6 = {α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6 : ∑αi2 + 2α12 = 2, ∑αi + 2α1 ∈ 2Z}.

を消してを消すと，との単純ルートの集合を与えることに注意．しかしながら，単純ルートのこれらの集合は上に書いたのとは異なるのおよび部分空間に属する，なぜならばそれらはあるいはに直交しないからである．

F4 + F4 の単純ルート 1−1000 1−10 00 10 −½−½−½−½

に対して，とし，を長さがかのベクトルであっての座標がすべて整数ですべて偶数かすべて奇数なもの全体の集合とする．この系には48個のルートがある．単純ルートの1つの選び方は：に対して上で与えられた単純ルートの選び方と，.

ルート格子，つまりルート系によって生成される格子は，の点であってすべての座標が整数であるかまたはすべての座標が整数でない半整数であるようなもの全体の集合である．この格子はの格子に同型である．

G2 + G2 の単純ルート 1 −1 0 −12−1 ルート系は12個のルートを持ち，六芒星の頂点をなす．上の絵を参照．

単純ルートの1つの選び方は：, ただしに対してはに対する単純ルートの上の選び方である．

ルート格子，つまり，ルートによって生成される格子は，ルート格子と同じである．

ルート系とリー理論既約ルート系はリー理論におけるいくつかの関連した対象を分類する，特に以下を含む単純リー群（を参照）：複素単純リー群；付随する複素単純リー環；中心で割って単純な単連結複素リー群．各場合において，ルートは随伴表現の非零ウェイトである．

極大トーラスをもつ単連結単純コンパクトリー群の場合には，ルート格子は自然にと同一視でき，コルート格子はとできる，ただしは円周群である；を参照．

例外型ルート系とそれらのリー群とリー環との関係は，, E7, E6, F4, G2 を参照．

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