全順序群

抽象代数学における線型順序群 (linearly ordered group) または全順序群（ぜんじゅんじょぐん、）は、群と全順序 "" との組で、その順序が(平行) 移動不変 (translation-invariant) となるものを言う。移動作用の別に従って、移動不変の概念も異なるものを考え得る。すなわちの演算を加法的に記すものとするとき、をの元として、が左順序群であるとは、ならばとなるときにいう; 右順序群であるとは、ならばとなるときにいう; 両側順序群であるとは、左順序群かつ右順序群となるときに言う。

通常の数に対するのと同様に、順序群における元が正であるとはかつ（すなわち、）となることを言う。ただし、ここでの "" は群の単位元を意味する（実数の 0 と似ている必要はまったくない）。一つの順序群において正元全体の成す集合をしばしばのように書く。

全順序群の任意の元はまたはまたはの三者択一に従う。全順序群が自明群でないならば、は無限集合であり、したがって非自明な任意の全順序群は無限群である。

全順序群の元に対し、の絶対値はを満たすものとして定義される。

さらに全順序群がアーベル群であるならば、三角不等式が満足される。

例任意の全順序群はねじれがない。逆にはアーベル群が両立する全順序を持つための必要十分条件が、ねじれのないアーベル群となることであると示した。

オットー・ヘルダーは任意の（アルキメデスの性質を満たす両側順序群）が実数の加法群の適当な部分群に同型となることを示した。これは、乗法的に書かれたアルキメデス順序群に対して、デデキント完備化（すなわち全順序群の -乗根に関する閉包）を考えることで示される。実際、この完備化に通常の線型順序位相を入れれば、任意のに対する指数函数は位相群の順序（を保つ/を逆にする）同型として矛盾なく定まることが示せる。非アルキメデスの場合には、全順序群の完備化は困難であるから、そのような場合は群の階数（これは凸部分群からなる最大列の順序型と関係する）で分類するのがよい。

左順序群の例は、実数直線上の順序を保つ同相として作用する群からたくさん作れる。実際、可算群に対してはこれが左順序性の特徴付けであることが知られている。例えばを参照。

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