微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, ）は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。
一変数の置換 不定積分の置換積分 連続関数 と微分可能関数 について次の等式が成り立つ。
導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。
この等式から変換公式の両辺の不定積分は で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。
また、変換公式は形式的に と に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。
定積分の置換積分 定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。
例 例1
で から に変数変換する。ここで、 なので である。また、 に対して であり、 に対して であるので、
と計算できる。
例2
で から に変数変換する。このとき、 である。また、 および であることから積分区間を に変換すると、この区間において であることに注意して、
と計算できる。
多変数の置換
,と変数変換すると
ここで、
はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式である。)
これは形式的にと書ける。
測度論における置換積分 測度論およびルベーグ積分の理論において、置換積分は測度の引き戻し（押し出し測度）や絶対連続性の概念を通じて一般的・抽象的に定式化される。
抽象的測度空間における変数変換公式 可測空間 から への可測関数 と、 上の測度 に対し、 上の は により定義される。このとき、 上の任意の可測関数（または非負可測関数） に対して、以下の変数変換公式（置換積分公式）が成り立つ：
確率論において を確率変数、 をその確率分布とするとき、期待値の計算式 はこの公式の直接的な応用である。
ルベーグ＝スティルチェス積分における置換積分 ルベーグ＝スティルチェス積分においては、単調増加関数（あるいは有界変動関数） によって誘導される測度 （スティルチェス測度）に対する積分が行われる。
特に、 が絶対連続関数である場合、ラドン＝ニコディムの定理より （ルベーグ測度に対する密度関数が微分可能関数の導関数 に一致する）と表され、ルベーグ積分における置換積分公式は次のように記述される：
ここで は可測関数である。 が単調増加かつ絶対連続であるならば、左辺のルベーグ＝スティルチェス積分 は右辺の通常のルベーグ積分 と一致する。
脚注
注釈
出典
文献
関連項目 微分積分学の基本定理 ルベーグ＝スティルチェス積分 ラドン＝ニコディムの定理 ワイエルシュトラス置換 オイラー置換