thumb|Ulike kjeglesnitt oppstår avhengig av snittplanets retning, parabel når det er parallelt med siden i dobbeltkjeglen (1), ellipse eller sirkel når det skjærer gjennom kjeglen (2) og hyperbel når snittplanet skjærer gjennom begge kjeglene (3). lang=no|thumb|Et snitt mellom en kjegleflate og et plan kan gi ulike typer kjeglesnitt Et kjeglesnitt er en kurve, laget som en skjæringslinje mellom et plan og en kjegleflate. Avhengig av retningen til planet i forhold til kjeglen vil kjeglesnittet være en ellipse, parabel eller hyperbel. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse. For noen plasseringer av planet kan kjeglesnittet degenere til et punkt, en linje eller to linjer.
Kjeglesnitt kan defineres på mange forskjellige måter. Geometrisk kan kjeglesnitt defineres som det geometrisk sted for punkter i planet hvis avstand til et gitt punkt er proporsjonal med avstanden og til en gitt linje. Punktet kalles fokus eller brennpunkt, og linjen kalles direktrise eller styrelinje. Proporsjonalitetskonstanten kalles eksentrisiteten e, og denne karakteriserer formen til kjeglesnittet. En hyperbel er en åpen kurve med og to adskilte grener. En parabel har eksentrisitet og er også en åpen kurve. Ellipsen er en lukket kurve med . En sirkel kan betraktes som et spesialtilfelle med eksentrisitet . I analytisk geometri er et kjeglesnitt definert som en kurve av andre orden i to variable, og omvendt vil en algebraisk kvadratisk ligning i to variable alltid framstille et kjeglesnitt.
Egenskapene til kjeglesnitt ble utforsket av greske matematikere for over to tusen år siden, etter først å ha blitt beskrevet av Menaikhmos på 300-tallet f.Kr. Spesielt viktig var bidraget til Apollonios fra Perge, og læreverket Kjeglesnitt ble et av de mest studerte i fra antikkens Hellas. Apollonios innførte navnene ellipse, parabel og hyperbel. Studiet av kjeglesnitt fortsatte med stor intensitet også i nyere europeisk matematikk.
Historie Sirkelen er en av de eldste studerte geometriske formene. Også ellipsen har sannsynligvis vært kjent i svært lang tid, da formen oppstår i mange daglige situasjoner. For eksempel opptrer en ellipse når en sirkel sees fra siden og når en sylindrisk trestamme blir kuttet skjevt i to stykker. Lys som går gjennom et lite sirkulært hull og treffer skjevt på en vegg vil også synes som en ellipse: Lyset danner en kjegle som blir kuttet over av veggen.
Menaikhmos og tidlige arbeid Kjeglesnitt ble sannsynligvis introdusert av den greske matematikeren Menaikhmos på 300-tallet f.Kr. Ingen arbeid etter Menaikhmos er bevart, men noen av resultatene hans er omtalt av andre greske matematikere. Fra disse vet vi at Menaikhmos oppdaget kjeglesnittene i arbeid med å løse det deliske problem, knyttet til fordobling av volumet av en kube. Hippokrates hadde vist at dette problemet er ekvivalent med å finne to størrelser og , slik at
når og er to kjente størrelser. Fra dette følger det at , slik at volumet av kuben med sidelengde kan dobles ved å velge og så bestemme . Det var på denne formen Menaikhmos prøvde å løse problemet. Grekerne hadde imidlertid ikke algebra, men uttrykte forholdene geometrisk. Med dagens algebra ser en umiddelbart at problemet kan løses ved å finne verdien av som gir skjæring mellom to parabler og , alternativt mellom en av parablene og hyperbelen .
Etter omtalen fant Menaikhmos disse kurvene som snitt mellom en kjegle og et plan. Selv om parabelen og hyperbelen var av primær interesse, har han også oppdaget at ellipsen kunne genereres på denne måten. Det er ikke kjent hva som motiverte Menaikhmos til å studere kjeglen. I tidlig gresk matematikk var en kjegle alltid rett, med en sirkulær grunnflate, dannet ved å rotere en rettvinklet trekant omkring den ene kateten. Basert på toppvinkelen kunne kjegler karakteriseres som spiss, rett eller stump. De tidlige arbeidene brukte ikke navn som hyperbel, parabel og ellipse, men beskrev kurvene som «snitt gjennom en spiss/rett/stump kjegle». Navnene viser at en har definert kjeglesnittene ved å snitte kjeglen med et plan som står normalt på hypotenusen i den roterte trekanten, det vil si normalt på en generatrise i kjegleflaten.
Ifølge Pappos skal Aristaios den eldre omkring 350 f.Kr. ha laget «fem bøker om romlige geometriske steder, knyttet til kjeglesnitt». Pappos omtaler også «kjeglesnittene til Aristaios den eldre». Et geometrisk sted ble i gresk matematikk omtalt som «romlig» dersom en trengte et romlig objekt for å definere dette, og i praksis var i senere gresk matematikk et romlig geometrisk sted det samme som et kjeglesnitt. I motsetning til dette ble linjer og sirkler kalt «plane geometriske steder». Thomas Heath argumenterer for at Aristaios må ha kjent til definisjonen av et kjeglesnitt basert på et brennpunkt og en styrelinje.
Også Evklid (født ca 300 f.Kr.) skal ha skrevet fire bøker om kjeglesnitt, men ingenting av dette er bevart. Det er sannsynlig at Aristaios verk om kjeglesnittene var eldre enn Evklids boks om samme emne og at Evklid har basert sin bok på resultater fra Aristaios. Evklid sitt berømte verk Elementer inneholder materiale om sirkelen, men ikke om kjeglesnitt. I verket Phenomena viser Evklid at han er kjent med at en ellipse kan dannes når et plan skjærer en kjegle eller en sylinder skrått.
Flere at verkene til Arkimedes (født ca 287 f.Kr.) behandler kjeglesnitt, og han viser at han må ha kjent til resultatene til Menaikhmos og Euklid. Ved å bruke ekshausjonsbevis kunne Arkimedes beregne arealet under et segment av en parabel, og også volumet under det tilsvarende rotasjonslegemet. Arkimedes fant også uttrykk for arealet av en ellipse. Tittelen på verket Kvadrering av parabelen kan være gitt i ettertid, og det er usikkert om Arkimedes selv brukte navnet «parabel».
Apollonios fra Perge
Navnene hyperbel, parabel og ellipse er først kjent fra det viktige verket Kjeglesnitt, skrevet av Apollonios på 200-tallet f.Kr. I dette samler han og videreutvikler tidligere kunnskap om kjeglesnittene. Sammen med Elementer av Evklid er dette kanskje det viktigste vitenskapelig arbeidet fra antikken, ofte studert og beundret av senere matematikere. Apollonios viste at alle kjeglesnittene kan dannes ved å snitte en og samme kjegle med et plan i forskjellige vinkler relativt til kjegleaksen. Kjeglen kan også være skrå. I tillegg utvidet Apollonios definisjonen av en kjegle til å omfatte to kapper, det vil si to deler med et felles toppunkt. På den måten kan en få dannet to sammenhørende hyperbel- og parabelgrener fra ett og samme snitt.
I studiet av kvadratiske ligninger hadde pytagoreerne innført begrepene hyperbel, parabel og ellipse for å karakterisere arealet av et rektangel sammenlignet med et kvadrat. Et tilfelle der arealene var like ble kalt «parabel» (para = nær opp til, ballein = å kaste), et tilfelle der rektangelet var mindre enn kvadratet ble omtalt som «ellipse» (en =i, leipein=å utelate), mens det siste alternativet ble kalt «hyperbel» (hyper=over, ballein = å kaste). Ligningen for en parabel kan tolkes som at arealet av et rektangel med sidekant har samme areal som et rektangel med sidekanter og . I en ellipse er produktet mindre enn kvadratet og i en hyperbel større. I geometriske betraktninger var størrelsen så viktig at den ble gitt et eget navn, på latin latus rectum («rett korde»).
Kjeglesnitt inneholder syv kjente og bevarte bøker, de fire første fra gresk og de tre siste fra arabisk. En vet også at et åttende bind har eksistert, men dette har gått tapt. De tre første bindene er antatt å være oppsummering og presentasjon av resultatene fra Menaikhmos og Evklid, men også med egne bidrag fra Apollonios.
Litt overraskende omtaler Apollonius ikke kjeglesnitt som det geometriske sted for et punkt som har en avstand til et gitt punkt proporsjonal med avstanden og til en gitt linje. Denne egenskapene ble først beskrevet av den greske matematikeren Pappos som arbeidet hundre år senere i Alexandria. Pappos brukte kjeglesnitt til å løse problemet med vinkelens tredeling, et klassisk problem i gresk matematikk.
Arven etter Apollonius Kjeglesnitt av Apollonios ble stående som det autoritative verket om emnet. I ettertiden ble det ble skrevet flere kommentarer til verket og det ble hyppig referert, uten at det ble tilført vesentlig nytt. Et viktig verk ble likevel Om brennende speil, skrevet av Anthemios fra Tralles (født ca 474). Tralles var det greske navnet på den tyrkiske byen Aydın. I dette arbeidet beskriver Anthemios hvordan kjeglesnitt kan brukes til å samle solstråler i et fast punkt, også når solen flytter seg på himmelen.
Da interessen for matematikk gradvis forsvant i det antikke Hellas, ble mye av kunnskapen tatt vare på og videreutviklet i Midtøsten. Apollonius Kjeglesnitt ble oversatt til arabisk av Thābit ibn Qurra, født 826. Den arabiske astronomen Ibn al-Haitham (født 965) var en pioner i optikk og fortsatte arbeidet med koniske speil. Han baserte seg tungt på Apollonius og etterlot seg en hånskrevet kopi av Kjeglesnitt.
Et instrument for å tegne kjeglesnitt ble beskrevet i 1000 e.Kr. av den muslimske matematikeren Al-Kuhi. Muslimske matematikere var opptatt av algebraiske ligninger, og perseren Omar Khayyám (født 1048) oppdaget at løsningen av visse kubiske ligninger kunne finnes som skjæringspunkt mellom to kjeglesnitt: Gitt ligningen
Ved å substituere , så kan denne ligningen skrives som
Den første ligningen er en parabel og den siste en hyperbel, og løsningen av tredjegradsligningen er gitt ved skjæringen mellom disse. Khayyám kunne ikke håndtere negative koeffisienter, og problemet ble delt opp i en rekke delproblem, avhengig av verdiene til koeffisientene a, b og c.
Kjeglesnitt i tidlig europeisk matematikk Apollonios Kjeglesnitt var lenge lite kjent i Europa, men en oversetting til latin av de fire første bøkene ble gitt ut i Venezia i 1537. Det tok også lang tid før arbeidet til Pappos ble gjenoppdaget. Johannes Werner (1468-1522) kjente antageleig ikke til Apollonius' arbeid da han i 1522 i Nürnberg fikk trykket 22 bøker med tittel Elementer av kjeglesnitt. Bøkene inneholder lite nytt ut over det Apollonius hadde vært i stand til å finne. Imidlertid vekket bøkene opp igjen interessen for kjeglesnitt og stimulere interessen for å rekonstruere arbeidet til de tidlige greske matematikerne.
Våpenkappløpet hadde ført til utvikling av kanoner som kynne skyte lenger enn synsfeltet, og dette gjorde det viktig å kunne forutsi hvor en kanonkulen ville lande. De første tilløpene til beskrivelse brukte trekanter og sirkler for å beskrive kulebanen. Galileo Galilei (1564-1642) var den første til å vise at kulebanen kan beskrives med en parabel.
Arkimedes hadde vært i stand til å finne volumet i en omdreiningsparaboloide, men hadde ikke vært i stand til å behandle hyperbelen tilsvarende, da dette krever transcendente funksjoner. Dersom en roterer den positive grenen av hyperbelen , så dannes i intervallet et romlig legeme kalt «Torricellis vinglass», «Torricellis trompet» og også «Gabriels horn». Den italienske matematikeren Evangelista Torricelli (1608-1647) var den første som påpekte «malerparadokset»: volumet av dette rotasjonslegement er endelig, mens arealet er uendelig.
Kjeglesnitt i optikk og astronomi thumb|right|Kepler fant at hver planet går i en ellipsebane med solen i det ene brennpunktet. Optikk var vikitg både for skipsfart og for astronomi. Interessen til Johannes Kepler (1571-1630) for kjeglesnitt var først motivert av studier i optikk og egenskaper til parabolske speil. I 1604 ga han ut Ad Vitellionem paralipomenaa («Om Vitellos optikk»), der han definerer kjeglesnitene ut fra to punkt, som Kepler kaller «foci» eller «brennpunkt». Det latinske ordet «focus» betyr «ovn, ildsted», og ordet kunne betegne både et varmesenter og et samlingspunkt.