thumb|280px|Planeten følger episyklen som roterer i samme retning som dens sentrum roterer langs deferenten.
Episykel er en liten, ekstra sirkelbevegelse som man i gresk astronomi benyttet til å forklare at planetene under deres gang på himmelkulen i kortere perioder synes å skifte bevegelsesretning. Sentrum til denne sirkelen beveger seg samtidig med jevn hastighet på en større sirkel. Denne omtales som episyklens deferent eller «styringssirkel» med Jorden som sentrum.
Mye av det greske verdensbildet var basert på aristoteliske idéer der all bevegelse utenfor Jorden må skje langs sirkler. Denne var lettest å se i den daglige gang til de forskjellige himmellegemene. Men mer detaljerte observasjoner tydet på et mer sammensatt bilde. Matematikeren Apollonios viste omkring 200 f.Kr. at en mulig forklaring kunne finnes ved å kombinere flere sirkelbevegelser hvor sirkler har senter som beveger seg på andre sirkler.
Denne episykelteorien ble anvendt noen tiår senere av Hipparkhos til å beskrive Solens og Månens gang gjennom året og videreutviklet av Ptolemaios til å gi en fullstendig beskrivelse av planetenes bevegelser rundt Jorden. Han måtte da oppgi den opprinnelige antagelsen at episyklens sentrum skal bevege seg langs deferenten med jevn hastighet. I stedet er denne konstant sett fra et ekvantpunkt litt utenfor Jorden. På den måten kom han rundt 150 e.Kr. frem til sin ekvantteori. Denne ga de neste 1400 år den mest nøyaktige beskrivelse av all bevegelse på himmelhvelvingen.
Med Kopernikus ble det klart rundt år 1500 e.Kr. at den episykliske beskrivelsen er en direkte konsekvens av at planetene beveger seg om Solen og ikke rundt Jorden. Men likevel måtte han innføre mindre episykler for å kompensere for at denne bevegelsen ikke skjer i eksakte sirkler. Den endelige avklaringen kom med Kepler vel hundre år senere. Han viste at planetene beveger seg i ellipser om Solen med denne i deres ene brennpunkt. Det andre tilsvarer ekvantpunktet til Ptolemaios.
Bakgrunn og beskrivelse Allerede under Eudoksos fra Knidos var det blitt det klart at det enkle bildet med Solen i en ren sirkelbevegelse om Jorden ikke var helt korrekt. Det ville ha gitt årstider som var like lange i strid med hva man observerte. En akseptabel forklaring ble funnet av Hipparkhos omtrent 150 f.Kr. som plasserte Jorden litt utenfor det geometriske sentrum til den tenkte sirkelbanen. Han viste også at denne eksentriske modellen var ekvivalent med å tenke seg en episykel på den opprinnelige, sirkulære banen. Dette geometriske bildet gjorde det nå mulig å beregne lengden til årstidene og Solens posisjon gjennom året ved å ta i bruk ny matematikk. I dag betraktes dette som begynnelsen av moderne trigonometri. H. Thurston, Early Astronomy, Springer-Verlag, New York (1994). ISBN 0-387-94822-8.
thumb|280px|Episykel har sentrum i C på deferenten med sentrum i E. Når de roterer med motsatte vinkelhastigheter, er dette ekvivalent med en eksentrisk bevegelse om punktet C' slik at CP er parallell med EC'. Et punkt på en sirkel med radius R og som roterer med vinkelhastighet Ω, har koordinater og . Dette punktet utgjør nå sentrum til en ny sirkel med radius r . Hvis man nå betrakter et punkt som roterer med vinkelhastigheten ω på denne episykelen, vil det ha koordinater
Den opprinnelige sirkelen med radius R er deferenten til denne episykliske bevegelsen. Generelt er det ingen lukket kurve, men har samme, matematiske form som en epitrokoide. Bare for spesielle, rasjonelle forhold mellom de to radiene og vinkelhastighetene vil kurven være lukket slik at det bevegelige punktet kommer tilbake til utgangspunktet. A. Aaboe, Episodes from the Early History of Astronomy, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-95136-9.
Når de to vinkelhastighetene Ω og ω har samme fortegn, roterer punktet på episykelen i samme retning som dens senter beveger seg på deferenten. I det spesielle tilfellet at , roterer de i motsatt retning slik at det mobile punktet på episykelen får samme bevegelse som om det satt på en sirkel med radius R som roterte om et senter i , . Det var denne eksentriske fremstillingen som Hipparkhos valgte å bruke for Solens gang. Da vil den én gang om året være i et perigeum hvor den er nærmest Jorden og et halvt år senere i et apogeum hvor den er lengst fra Jorden.
De greske astronomer synes ikke å være så opptatte med hva de virkelige bevegelsene til himmellegemene var. Så lenge de kunne beregne deres posisjoner og på den måten forutsi måne- og solformørkelser samt andre himmelske fenomen, er inntrykket at de var fornøydde. Spørsmål om den fysiske eksistens av episykler, er fraværende. M.J. Crowe, Theories of the World, Dover Publications, New York (2001). ISBN 0-486-41444-2.
Elliptiske baner left|thumb|300px|Ellipseformet bane fra en spesiell, episyklisk bevegelse.
Episykler kan benyttes ikke bare til å skape eksentriske bevegelser, men kan også gi opphav til elliptiske baner. De fremkommer i det spesielle tilfellet der episykelen roterer dobbelt så raskt som deferenten, men i motsatt retning. Bevegelsen til punktet på episykelen får dermed koordinater
Det ligger derfor på ellipsen
som har en stor halvakse a = R + r og en liten med lengde b = R - r . Selv om denne resulterende bevegelsen har ellipseform, har punktet ingen Kepler-bevegelse da punktets hastighet i banen ikke oppfyller den andre loven om konstant flatehastighet. Hvis betingelsen ikke er eksakt oppfylt, vil vil ellipsene hovedakse presessere, det vil si langsomt dreie seg i planet.
Av dette eksempelet er det lett å se at det var liten grunn til å tillegge episyklene en fysisk virkelighet. Men man kan tenke seg en mekanisk konstruksjon hvor man ved hjelp av to rotasjoner kan skape en bevegelse langs en ellipse. Det benyttes på lignende vis i en Tusi-kobling hvor to sirkulære bevegelser resulterer i en oscillasjon langs en rett linje. En slik innretning har praktiske anvendelser. C.M. Linton, From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy, Cambridge University Press, England (2004). ISBN 0-521-04571-1.
Planetbaner
thumb|300px|Retrograd bevegelse av en planet kan fremkomme når den befinner seg på en episykel som roterer i samme retning som dens sentrum på deferenten.
Av beretningen om Hipparkhos bruk av eksentriske baner og episykler i det store verket Almagest som Ptolemaios skrev, går det ikke frem at han benyttet slike teorier for å forklare planetenes retrograde bevegelser på himmelkulen. Mens både Solen og Månen beveget seg jevnt kun i én retning, kan man se at de to indre planetene Merkur og Venus samt de tre ytre Mars, Jupiter og Saturn i kortere perioder stopper opp, beveger seg litt tilbake for så å fortsette i samme retning som de opprinnelig hadde.
left|thumb|240px|Planeten har retrograd bevegelse mellom 2 og 3. Solen og Månen beveger seg hver i en eksentrisk bane som kan beskrives som en episyklisk rotasjon på en deferent som roterer like raskt i motsatt retning. Fra dette bildet kan man se at hvis disse to rotasjonene foregår i samme retning, vil det resultere i kortere perioder med retrograd bevegelse. Det er mulig at Hipparkhos fant en tilpasning av denne matematiske konsekvensen til hva som ble observert, så vanskelig at han ikke la mer arbeid i en slik episyklisk forklaring av dette fenomenet. Først da Ptolemaios omtrent tre hundre år senere med innføring av det eksentriske ekvantpunktet for rotasjon av deferenten, hadde man en nøyaktig teori som også forklarte de retrograde forflytningene til de fem planetene.
thumb|320px|Episykliske bevegelser til Merkur, Venus og Solen i løpet av 7-8 år. Gjengitt i Encyclopedia Britannica i første utgave fra 1771. Bevegelsene til de to indre planetene synes å skille seg på én vesentlig måte fra hvordan de tre ytre planetene beveger seg. Både Merkur og Venus observeres alltid nærme Solen, mens Mars, Jupiter og Saturn kan sees i helt vilkårlige avstander fra denne. Med bruk av én episykel på en deferent for hver planet, kunne man forklare alt dette. Rotasjonshastigheten langs deferenten måtte da var lik med planetens sideriske omløpstid, mens rotasdjonshastigheten til selve episykelen er den samme som planetens synodiske omløpstid. Dette hadde som konsekvens for de to indre planetene at retningene til episyklenes senter var de samme som retningen fra Jorden til Solen. Mer overraskende var det kanskje at de tre ytre planetene måtte bevege seg på episykler hvor de befant seg med en radiell plassering som sammenfalt med den samme retningen til Solen sett fra Jorden. Disse spesielle føringene eller sammenhengene synes ikke å ha vært noe tema på den tiden og kan skyldes at episyklene ikke ble tillagt noen virkelig, fysisk eksistens. Men de utgjorde noen av grunnene til at Kopernikus på 1500-tallet forkastet dette geosentriske verdensbildet og lanserte sin heliosentriske beskrivelse med Jorden og de fem planetene i sirkulære baner om Solen.
Ved mer presise anvendelser av disse teoriene må man også ta hensyn til at de ikke beveger seg i nøyaktig samme plan som Solen hvis bane utgjør ekliptikken. Men vinklene mellom de forskjellige baneplanene er så små at det ikke skaper noen store problem. Allerede Ptolemaios kunne beskrive denne transversale bevegelsen ved å innføre ekstra episykler. På samme måte måtte Kopernikus over tusen år senere også innføre mindre episykler for å rette opp antagelsen om at planetene beveget seg i eksakte sirkler.
Episykler fra Kopernikus
Det er uklart hva som fikk Nikolaus Kopernikus til å ville erstatte det ptolemeiske verdensbildet med en heliosentrisk beskrivelse der platenetene beveger seg om Solen istedenfor om Jorden. Men spesielt fant han idéen om et ekvantpunkt som styrer bevegelsen av episykelsenteret langs deferenten, lite troverdig. Samtidig ville han bevare den aristoteliske antagelsen om at planetene må bevege seg i sirkler med konstant hastighet. Dette kunne han få til ved å la disse sirklene ha et felles senter i Solen samtidig som Jorden får en lignende, sirkulær bevegelse om denne på samme måte som de andre planetene. Radiene til de tidligere episyklene og deferentene til Ptolemaios kunne dermed identifiseres med avstandene som de forskjellige planetene har til Solen slik at han også kunne bestemme størrelsen på Solsystemet vårt. O. Gingerich, The Book Nobody Read: Chasing the Revolutions of Nicolaus Copernicus, Walker & Co, New York (2004). ISBN 0-8027-1415-3. Internet archive.
Bevegelse langs en sirkel har den store fordel at den kan lett beskrives matematisk. Rotasjon av et punkt vil ha koordinatene og når den skjer mot urviseren for økende tid t der Ω er vinkelhastigheten. Mer kompakt kan dette skrives ved å innføre den komplekse posisjonen z = x + iy . Da blir z = exp(iΩt ) når man gjør bruk av Eulers formel. På dette viset vil ligningene for en episyklisk bevegelse kunne sammenfattes til
Det første leddet beskriver rotasjonen av episyklens senter langs deferenten, mens det andre leddet angir forflytningen av punktet på grunn av episyklens egen rotasjon om dette senteret.
Indre planeter
Den komplekse posisjonen til en planet P i sirkulær bane med radius r1 kan nå skrives som når den beveger seg med vinkelhastigheten ω1 omkring Solen S. På samme måte er posisjonen til Jorden gitt ved der vinkelhastigheten ω0 tilsvarer en omløpstid på ett år. Fortegnet her tilsvarer at planeten har maksimal avstand r1 + r0 fra Jorden ved tidspunktet , Hvis planeten nå observeres fra Jorden, vil den ha en relativ posisjon til denne gitt som eller
For en indre planet er den sideriske omløpstiden ω1 > ω0. Da den kan uttrykkes ved den tilsvarende synodiske omløpstiden ω2 ved Kopernikus sin sammenheng , kan posisjonen til denne planeten sett fra Jorden skrives som