thumb|Energispekteret til et svart legeme ved ulike temperaturer. Plancks strålingslov ble funnet av den tyske fysiker Max Planck i slutten av året 1900. Det er en matematisk formel for den spektrale energitettheten eller intensiteten til varmestrålingen som avgis fra et svart legeme med en viss temperatur. Resultatet ble funnet etter flere års forskning basert på bruk av Maxwells ligninger for de elektromagnetiske bølgene som utgjør strålingen, kombinert med termodynamikkens lover. Man antok at denne var i termisk likevekt med atomene i veggene som omsluttet strålingen. Man hadde på den tiden omtrent ingen kjennskap til atomenes egenskaper. Men allerede fra etableringen av Kirchhoffs strålingslov i 1860 var det klart at egenskapene til selve strålingen var uavhengig av materialet i veggene eller atomene de inneholdt.
Avgjørende for denne oppdagelsen var nye, mer presise målinger som viste at tidligere forslag til strålingslover ikke var riktige. Planck benyttet disse eksperimentelle resultatene til først å gjette seg frem til en riktig formel som han senere ga en teoretisk utledning. Det var da nødvendig å anta at energien som kunne absorberes og emitteres av atomene som var koblet til strålingen, ikke kunne overføres kontinuerlig som i klassisk fysikk. Derimot måtte det skje i små, diskrete pakker som ble kalt energikvant. Et slikt kvant er karakterisert ved en ny naturkonstant h som senere er blitt kalt for Plancks konstant. Planck holdt imidlertid fast ved at selve strålingen skulle betraktes som kontinuerlig og beskrives ved de vanlige Maxwell-ligningene. Dette fastholdt han frem til moderne kvantemekanikk ble etablert rundt 1925 og var ikke til hinder for at han mottok Nobel-prisen i fysikk i 1918.
Albert Einstein var på den tiden den som tok Plancks resultat opp med størst interesse. Ved bruk av termodynamikk og statistisk mekanikk viste han at selve strålingen måtte antas å ha en diskrete natur, bestående av energikvant med energi for en bølge med frekvens ν. Dette kunne forklare egenskaper ved den fotoelektriske effekten, en forklaring som i 1921 ga Einstein Nobel-prisen i fysikk. En full forståelse av varmestrålingen kom likevel ikke før i 1926 med utviklingen av kvantefeltteori. Dette skyldes i mye større grad Einsteins innsats enn hva Planck selv hadde bidratt med, men likevel er det Max Planck og hans strålingsformel som representerer begynnelsen av moderne fysikk ved innføringen av kvantebegrepet. thumb|Den spektrale intensiteten til den kosmiske bakgrunnsstrålingen målt av satellitten COBE passer perfekt med Plancks formel for en temperatur
Plancks formel
Den totale energien U(T) til den sorte strålingen i et volum V ved temperatur T er gitt ved energitettheten u(T) = U/V. Denne tettheten får bidrag fra forskjellige frekvenser ν av den elektromagnetiske strålingen den består av. Denne avhengigheten beskrives ved den spektrale energitettheten uν(T) slik at Vuνdν er den totale energien fra bølger i frekvensintervallet mellom ν og dν. Planck viste at denne tettheten gitt ved formelen
var i overensstemmelse med alle måleresultat og observasjoner. Her er kB Boltzmanns konstant og h den nye konstanten han hadde vært nødt til å innføre. Den oppfylte også det generelle kravet utledet tidligere av Wilhelm Wien at den måtte være ν3 multiplisert med en funksjon av ν/T som ligger bak Wiens forskyvningslov. Eksperimentelt har den fått den mest nøyaktige bekreftelse fra målingene av den spektrale intensiteten til den kosmiske bakgrunnsstrålingen gjennomført siden 1990.
For høye frekvenser som oppfyller hν > kBT, går dette uttrykket over i
som er Wiens strålingslov. I den motsatte grensen hν < kBT kan man benytte at ex ≈ 1 + x når x < 1. Det gir at
som er Rayleigh-Jeans' strålingslov. Det var akkurat denne lineære økningen med temperaturen som var påvist i målingene og som var den utløsende faktor for Planck til å prøve å finne en ny strålingsformel.
Stefan-Boltzmanns konstant
Den fulle energitettheten u(T) finnes ved å integrere over alle frekvenser ν fra null til uendelig. Ved å skifte integrasjonsvariabel til , er den da gitt som
.
Integralet her har verdien π 4/15 slik at resultatet tar formen u = aT4. Da den utstrålte fluksen fra et sort legeme er , kan denne skrives som som er Stefan-Boltzmanns lov. Her inngår deres konstant som dermed blir
Verdien på denne var godt kjent på Plancks tid, og han benyttet den til å bestemme verdien til sin egen, nye konstant h.
Wiens forskyvningslov mini|Den spektrale intensiteten til sort stråling ved forskjellige temperaturer. Den gule kurven tilsvarer strålingen fra Solen og den røde strålingen fra Jorden. Den spektrale energifordelingen til Planck har et maksimum som varierer med temperaturen. Historisk er det vanlig å beregne dette fra den sprektrale fordelingen uλ(T) med hensyn på bølglengden λ = c/ν. Denne defineres ved uλdλ = uνdν som gir
Bølgelengden ved maksimum av denne funksjonen finnes nå fra betingelsen . Ved å innføre i stedet for λ som variabel, gir nå derivasjonen ligningen
Det betyr at x/5 = 1 - e -x som må løses numerisk. Man finner da at xm = 4,96511... ved maksimum. Den tilsvarende bølgelengden oppfyller dermed
Desto høyere temperaturen blir, desto mindre blir derfor bølgelengden for den maksimale intensiteten. Dette er Wiens forskyvningslov og stemte godt med eksperiment. Lummer og Pringsheim fant i 1900 at konstanten på høyre side hadde verdien 2940 μm⋅K, i meget god overensstemmelse med dagens verdi.O. Lummer und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 176 (1900).
Solen har en overflatetemperatur på ca. 5780 K som gir som tilsvarer synlig lys. Jorden med en overflatetemperatur på ca. 300 K, vil ha maksimal utstråling for bølgelengder rundt 10 μm som er i den infrarøde delen av det elektromagnetiske spekteret og blir absorbert i atmosfæren. Dette er en viktig grunn for drivhuseffekten. Den kosmiske bakgrunnstrålingen har en temperatur i dag på som tilsvarer bølglengder omkring λ eller frekvenser rundt 300 GHz.
Stråling og materie thumb|Minnetavle om Max Planck ved Universitetet i Berlin, Unter den Linden. Max Planck ble Kirchhoffs etterfølger ved Universitetet i Berlin i 1892. Et par år senere ble han med på et forskningsprsjekt som skulle avgjøre om det var gasslamper eller elektrisk lys som ga best belysning i byen. I denne sammenhengen innså han nødvendigheten av å formulere en troverdig strålingslov. I 1897 da han var 38 år gammel, annonserte han at hans oppgave framover skulle være å utlede Wiens strålingslov som han var overbevist om var riktig. Den var foreslått året før av Wilhelm Wien.W. Wien, Ueber die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers, Annalen der Physik 294 (8), 662–669 (1896). PDF. Planck mente at løsningen måtte finnes ved bruk av termodynamikk kombinert med Maxwells ligninger for de elektromagnetiske bølgene strålingen besto av.
Termisk likevekt
Man hadde på den tid ingen god forståelse for hvordan strålingen koblet til materie ved emisjon og absorpsjon. Som en modell kunne man tenke seg at den besto av atomer med ladete partikler i bevegelse som Hendrik Lorentz hadde gjort i 1895 for å forklare hvordan spektrallinjene fra forskjellige stoffer ble påvirket av magnetfelt. Men selve eksistensen av atomer på den tiden var meget kontroversiell. Etter at J.J. Thomson oppdaget elektronet i 1897 ble denne muligheten mer troverdig.
Gustav Kirchhoff hadde vist at sort stråling ville ha de samme egenskaper uansett hva slags materie den var i termisk likevekt med. Planck antok derfor at han kunne modellere materien som bestående av små resonatorer som man i dag ville ha kalt atomer. På samme måte som Hendrik Lorentz antok han at dette var en harmonisk oscillator med en gitt frekvens. Den kunne da koble til stråling med samme frekvens. En elektromagnetisk bølge vil få den til å svinge og energi blir dermed absorbert fra bølgen. Men den samme svingningen vil samtidig medføre at oscillatoren sender ut stråling, og det vil etter hvert kunne etableres en energibalanse. For hver frekvens i strålingen, må det finnes en slik resonator med samme frekvens slik at hele spektret av bølger i strålingen kan komme i termisk likevekt.
Harmonisk oscillator koblet til stråling
Enklest er det å tenke seg en Lorentz-oscillator som kun kan svinge i x-retningen. Da er det bare komponenten Ex cosωt av det elektriske feltet til en bølge med frekvens som virker på den. Har den oscillerende partikkelen en masse m, elektrisk ladning e og svinger med egenfrekvens ω0, vil den da få en bevegelse gitt ved
som følger fra Newtons andre lov. Frekvensen ω til bølgen antas å være omtrent den samme som egenfrekvensen. På grunn av utstrålingen kommer det på høyresiden av ligningen en ekstra friksjonskraft som kan skrives som γdx/dt. Her er konstanten som kan regnes ut i klassisk elektrodynamikk hvor Coulombs konstant 1/4πε0 inngår. Resonatoren blir drevet av det elektriske feltet og oscillerer som hvor amplituden A = A(ω) nå kan regnes ut. Denne oscillasjonen gir resonatoren energien . Etter å ha brukt at ω ≈ ω0, kan denne skrives som
etter å ha innført som en forenkling av uttrykket. Denne energien har et klart maksimum for som betyr at den resonerer ved denne frekvensen. Men den mottar også strålingsenergi fra nærliggende frekvenser. Fra et lite frekvensintervall Δω rundt ω0 kan man finne den totale energien ved å integrere over alle frekvensene ω. Skriver man resultatet av dette som , har man derved
hvor E(ω0) er den midlere energien til resonatoren når den befinner seg i termisk likevekt med den sorte strålingen. Denne har en energitetthet som er tre ganger ε0Ex2/2 da bidragene fra de to andre, elektriske komponentene er like store for isotropisk stråling. Her er uω er den spektrale energitettheten med hensyn på frekvensen . Skriver man heretter ω for ω0 og benytter sammenhengen , følger det at
hvor det er gjort tydelig at dette gjelder ved en bestemt temperatur. Dette er den fundamentale relasjonen Planck utledet i 1899 mellom strålingtettheten og den midlere energien til en harmonisk oscillator i veggen som den sorte strålingen er i likevekt med. Det er bemerkelsesverdig at detaljerte egenskaper som ladning og masse til denne resonatoren, ikke inngår i resultatet. Problemet med å forstå strålingens egenskaper var dermed blitt overført til å finne midlere energi for en oscillator i termisk likevekt. Det virket enklere og burde kunne løses ved bruk av statistisk fysikk.
Fenomenologisk utledning thumb|Max Planck i 1901 da hans strålingsformel ble publisert.
Planck var overbevist om at det var en absolutt egenskap at systemets entropi aldri kan avta av seg selv. Han hevdet at dette var like grunnleggende som at et systems energi er konstant. I 1877 hadde Ludwig Boltzmann kommet med en annen tolkning av entropi hvor den er bestemt av den mest sannsynlige tilstanden for systemet. Planck brydde seg lite om dette. Han hadde bestemt seg for at han ville utlede Wiens lov ved å vise at den generelle egenskapene til strålingen kunne begrunnes ut fra at termodynamikkens andre lov er absolutt.
Planck-Wiens strålingslov Tidlig i 1900 kunne han presentere en utledning som viste at den spektrale energitettheten måtte være på formenM. Planck, Entropie und Temperatur strahlender Wärme, Annalen der Physik 1(4), 719-737 (1900). PDF.
i overensstemmelse med Wiens strålingslov. De to konstantene C og b kunne bestemmes slik at formelen stemte med målinger primært utført av F. Paschen for bølgelengder λ = 1 μm - 4 μm.F. Paschen, Annalen der Physik und Chemie 58, 455-492 (1896); 60, 663-723 (1897).F. Paschen, Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 405, 959 (1899). Denne enkle strålingsloven ble nå omtalt som Planck-Wiens formel da den var i overensstemmelse både med teori og eksperiment.