Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Hermann Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.
Om ulikheten For vektorer og i planet sier ulikheten at: .
Generelt gjelder: For vektorer og i et reelt vektorrom med indreprodukt , eksempelvis det Euklidske n-rommet , er . Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.
Der elementene i følgende og er i den reelle tallmengden
Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.
Eksempler
Vinkler Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik , er veldefinert. Denne vinkelen er spesifisert ved og .
Amplitude for svingninger
Svingninger beskrives ved en funksjon , hvor og er parametere. Ved å se på og som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at
siden .
Bevis Dersom eller er lik , så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik .
La være en skalar, og se på vektoren . Vi har . Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i , får vi . Et annengradspolynom er større enn eller lik for alle dersom og diskriminanten er mindre enn eller lik . I vårt tilfelle fås: . En rydder opp og ser at: . Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider: .
Referanser
Eksterne lenker
Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet
Kategori:Lineær algebra