right|thumb|300px|Komponentene til spenningstensoren σij angir kraften i retning i som virker på en side med normal i retning j. En tensor er et matematisk objekt som er sentralt i lineær algebra og differensialgeometri. Tensorer og den tilsvarende tensoranalysen var av avgjørende betydning i Einsteins formulering av den generelle relativitetsteorien. Siden har denne delen av moderne matematikk forblitt en viktig del av teoretisk fysikk.
Egenskapene til tensorer kan defineres på flere forskjellige måter. De representerer en generalisering av vanlige vektorrom, men kan også betraktes som funksjoner som har vanlige vektorer som argument. Deres bruk og egenskaper ble spesielt utviklet av de italienske matematikerne Gregorio Ricci Curbastro og hans elev Tullio Levi-Civita i forbindelse med videreutviklingen av Riemannsk geometri for ikke-euklidsk rom. I denne sammenhengen blir ofte tensorregning omtalt som «Ricci-kalkulus».
Matematisk definisjon
Egenskapene til en vanlig, matematisk funksjon av en variabel kan sies å tilsvare en slags innretning f hvor man kan putte inn et tall x og få ut et annet (eller det samme) tall y = f(x). Funksjonen er lineær hvis den for vilkårlige tall a og b oppfyller . En funksjon F med plass til to argument kan ta imot to tall x1 og x2 og derav produsere et nytt tall . På tilsvarende vis kan man definere en funksjon av et vilkårlig antall variable.
Man kan definere en tensor som en slik funksjon med plass for flere variable. Men disse må være vektorer, mens funksjonverdien skal fortsatt være et tall. I tillegg må denne generaliserte funksjonen være lineær i hvert av sine argument. Argumentene for en tensor er derfor vektorer u, v, ... som tilhører et vektorrom med et visst antall basisvektorer e1, e2, ...avhengig av dimensjonen til vektorrommet. En vilkårlig vektor u kan derfor skrives som
uttrykt ved sine kontravariante komponenter uμ og når man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser.
I ethvert vektorrom kan man også innføre en dual basis e1, e2, .. som gjør det mulig å definere «kovektorer» a, b, ... med den generelle formen
hvor αμ er de kovariante komponentene til denne kovektoren.G.E. Hay, Vector and Tensor Analysis, Dover Publications, New York (1953). ISBN 0-486-60109-9.
Vektorer og kovektorer er forbundet via det fundamentale indreproduktet
uttrykt ved Kronecker-deltaet. Disse to settene med basisvektorer står derfor på et bestemt vis vinkelrett på hverandre.M. R. Spiegel, Vector Analysis, Schaum's Outline Series, New York, (1959). Det indre produktet av en vektor og en kovektor blir dermed
Denne summasjonen over en kovariant og samme kontravariante indeks er svært vanlig i tensorregning og kalles ofte for en kontraksjon. I et kartesisk koordinatsystem behøver man ikke å skille mellom vektorer og kovektorer og derfor heller ikke mellom kovariante og kontravariante vektorkomponenter da basisvektorene sammenfaller med sine duale partnere.
Tensorer av første rang
Vanligvis kalles antall argument en tensor har plass til, dens «rang». Betegner man den med symbolet A og den kan bare ha et vektorargument, vil den være av første rang og A(u) er et tall. Siden tensoren er lineær i dette argumentet, må derfor
for vilkårlige tall a og b. Det betyr at man kan skrive
hvor tallet Aμ = A(eμ) er en kovariant komponent til tensoren. Den kan derfor identifiseres med en kovektor og skrives som
slik at Aμ = A⋅eμ. Da tensoren er av rang en og gitt ved kovariante komponenter, kalles den også for en (0,1)-tensor. Alternativet er en (1,0)-tensor V som er gitt ved kontravariante komponenter og kan derfor bare ha kovektorer som argument,
Denne (1,0)-tensoren kan derfor skrives som
og er ekvivalent med en vanlig vektor med komponenter Vμ = V⋅eμ. Kontraksjonen av denne vektoren og en (0,1)-vektor er da og er en skalar størrelse, det vil si et tall.A.J. McConnell, Applications of Tensor Analysis, Dover Publications, New York (1957). ISBN 0-486-60373-3.
Tensorer av høyere rang Mens tensorer av første rang oppfører seg som vektorer, vil de med høyere rang ha nye egenskaper. Er rangen lik med to, vil det være tre typer som nå kan betegnes ved (2,0), (1,1) og (0,2) avhengig av hva slags argument de tar. Kalles tensoren T og den tar to vektorargument, er
hvor nå de kovariante komponentene er Tμν = T(eμ,eν). Den er derfor en (0,2)-tensor. Hadde den derimot vært av (2,0)-typen, ville med de kontravariante komponentene Tμν = T(eμ,eν). Den tredje typen (1,1) har komponenter med en øvre og en nedre indeks. Den tar derfor en vektor og en kovektor som argument. Betegner man den igjen med samme symbol, vil da hvor nå komponentene Tμν = T(eμ,eν) sies å være «blandet» da de har både kovariante og kontravariante indekser.
Selv om alle tensorer kan betraktes som multilinære funksjoner, er det mest vanlig i tensorregningen å angi dem ved komponentene. En (0,2)-tensor vil da betegnes ved komponentene Tμν. I dette tilfellet med rang to, kan disse så fremstilles i en vanlig matrise
Dette er for eksempel vanlig for spenningstensoren som brukes i elastisitetsteorien. Den er eksempel på en «symmetrisk tensor» hvor komponentene oppfyller . I det motsatte tilfellet med en «antisymmetrisk tensor» vil som for Faraday-tensoren i kovariant elektrodynamikk.
På denne måten kan man definere tensorer av stadig høyere rang. Har komponentene p kontravariante (eller øvre) indekser og q kovariante (eller nedre) indekser, er dens rang . På samme måte som at vektorer adderes sammen og at kovektorer kan legges sammen, kan også tensorer adderes sammen når de har de samme verdier for p og q. Er for eksempel R og S to kovariante tensorer med rang to og komponenter Rμν og Sμν, så er komponentene til den nye tensoreren gitt ved den normale summen .
Bruken av tensorer ble viktig i forbindelse med Einsteins spesielle og generelle relativitetsteori. I disse beskrives elektromagnetiske felt ved den antisymmetriske Faraday-tensoren som har rang to, mens tyngdekraften skyldes at masser gir tidrommet en ikke-euklidsk geometri beskrevet ved en krumningstensor av fjerde rang. Levi-Civita-tensoren som er antisymmetrisk i alle indeksene, kan ha vilkårlig høy rang.C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.
Koordinattransformasjoner Tensorkomponentene er avhengige av koordinatene som benyttes på mangfoldigheten hvor vektorrommet befinner seg. Basisvektorene er tangentvektorer til koordinatlinjene, mens de duale basisvektorene er normaler til koordinatflatene. Hvis man i stedet for de opprinnelige koordinatene xμ vil benytte andre koordinater , vil basisvektorene transformere som
Det betyr at de kontravariante komponentene til vektoren u = uμ eμ må transformere på den motsatt måten
for at vektoren skal forbli uforandret. Det følger fra
når man benytter at
som er Kronecker-deltaet. En vektor er dermed et «geometrisk objekt» uavhengig av koordinatene som benyttes. Det gjelder også for tensorer. På den måten finner man at komponentene til en kovektor a = aμ eμ må transformere som
Samme argumentasjon kan anvendes på tensorer. Verdien de gir som funksjoner av vektorer må være uavhengig av koordinatsystemet. Ser man for eksempel på en (0,2)-tensor som gir verdien , kan dette skrives i det nye koordinatsystemet som
der de transformerte komponentene er
På samme måte vil komponentene Tμν for en blandet (1,1)-tensor transformere som
Dette gjelder også for Kronecker-deltaet δμν som kan betraktes som en (1,1)-tensor representert ved elementene til enhetsmatrisen. De forblir uforandret under et slikt skifte av koordinater.
Kontraksjon av tensor
Hvis man i en blandet tensor som for eksempel Tμν setter den øvre indeksen lik med den nedre indeksen, må man summere over denne slik at størrelsen Tμμ fremkommer. Under en koordinattransformasjon vil den transformere som
og er derfor uforandret. Fra en rang to tensor har man på denne måten fått frem en skalar størrelse som dermed kan omtales som en (0,0)-tensor eller en tensor med rang null. Det er en vanlig funksjon hvis verdier er invariante under koordinattransformasjoner
Denne operasjonen er her et eksempel på en «kontraksjon» som kan utføres på alle blandete tensorer. Den reduserer rangen til den opprinnelige tensoren med to og benyttes ofte i tensorregningen.
Tensorprodukt Under en koordinattransformasjon vil produktet uμvν av komponentene til to vektorer u og v forandres til
Produktet transformerer som komponentene til en (2,0)-tensor som skrives som et tensorprodukt av vektorene u og v,
Med bruk av denne notasjonen kan en (2,0)-tensor T uttrykkes ved sine komponenter som
Danner man tensorproduktet mellom denne og en kovektor a = aμ eμ, fremkommer en (2,1)-tensor
En generell tensor med rang kan nå skrives som
I tensorproduktet av basisvektorer tilsvarer hver av dem en åpning for et argument som er enten en vanlig vektor eller en kovektor. Gis den p kovektorer og q vektorer som argument, blir resultatet
som er et tall. Denne funksjonsverdien er nå uavhengig av hvilket koordinatsystem som benyttes for å angi komponentene til tensoren og vektorargumentene. En kontraksjon av tensoren T fremkommer ved å gi den en basisvektor sammen med en dual basisvektor i samme retning som argument. Tensorens rang reduseres dermed med to slik at den resulterende tensoren bare har plass til r - 2 vektorargument.
Metriske vektorrom I de fleste anvendelser av tensorer vil de virke i vektorrom som har en metrikk gμν = eμ⋅eν. Det betyr at det eksisterer et indreprodukt mellom to vilkårlige vektorer u og v slik at
Dette skalare produktet sies å være invariant når det er uavhengig av koordinatsystemet som blir brukt. Da må gμν være komponentene til en (0,2)-tensor som fra definisjonen er symmetrisk. Den kalles «den metriske tensoren» og har den generelle formen
Da det skalare produktet er invariant, vil gμν vν transformere som en (0,1)-tensor. Det er derfor konsistent å definere denne ved de kovariante komponentene
slik at den opprinnelige vektoren v gir opphav til kovektoren v = vμ eμ. Tilstedeværelsen av en metrikk opphever dermed det strenge skillet mellom kontravariante og kovariante komponenter for vektorer og tensorer. Man har frihet til å selv velge hvilke man vil gjøre bruk av.
Ved å betrakte sammenhengen vμ = gμνvν som en matriseligningen, kan man invertere den og finne de kontravariante komponentene fra de kovariante,
hvor matrisen med komponentene gμν er den inverse matrisen til matrisen med de kovariante komponentene gμν. Det betyr at
På denne måten kan den metriske tensoren også skrives som å de alternative formene
Likedan kan det skalare produktet mellom to vektorer uttrykkes på den ekvivalente måten
og har samme form som det tidligere produktet mellom en vektor og en kovektor. Dette nye, metriske indreproduktet er derfor konsistent med det opprinnelige.
Ved hjelp av den metriske tensoren kan man nå heve og senke indeksene til komponentene for en vilkårlig tensor. For eksempel kan de kontravariante komponentene Tμν til en annenrangs tensor skrives som
og på tilsvarende vis for tensorer av høyere rang og med kovariante indekser. Alle tensorer med rang større enn to kan nå via kontraksjon reduseres til en ny tensor med rang to mindre. For eksempel er kontraksjonen av de kontravariante tensorkomponentene Tμν gitt ved gμνTμν = Tμμ. I generell relativitetsteori er Ricci-tensoren med rang to en kontraksjon av Riemanns krumningstensor som er av fjerde rang.
Tensoranalyse En skalar funksjon φ = φ(x) sies å være invariant under en koordinattransformasjon . Verdien til funksjonen forblir den samme i hvert punkt selv om punktet får nye koordinater slik at φ' (x) = φ(x) hvor man skriver φ' for den samme funksjonen uttrykt i de nye koordinatene. Funksjonsverdien er den samme, mens funksjonsformen forandres. Derimot vil den partielt deriverte eller gradienten av funksjonen forandres,