thumb|180px|Den kvantiserte Hall-motstanden Rxy er gitt ved forholdet mellom den transverse spenningen VH og den påtrykte strømmen I. Kvantisert Hall-effekt (QHE) er en kvantemekanisk versjon av Hall-effekten i todimensjonale systemer av elektroner utsatt for meget lave temperaturer og sterke magnetfelter. Under slike betingelser vil Hall-motstanden ta diskrete verdier
hvor h er Plancks konstant og -e er elektronets ladning. I tillegg er ν et heltall (1, 2, 3, . .) eller er et rasjonalt tall (1/3, 2/5, 3/7, . .) med oddetall i nevneren. De første verdiene med hele tall ble observert i 1980 av Klaus von Klitzing og omtales som den heltallige Hall-effekten (IQHE). Han fikk Nobelprisen i fysikk for denne oppdagelsen i 1985.
Ved enda mer nøyaktige eksperiment ved kraftigere magnetfelt ble serien med rasjonelle verdier påvist av Horst Störmer og Daniel Tsui i 1982 og kalles den fraksjonelle Hall-effekten (FQHE). Den ble i stor grad forklart av Robert Laughlin og disse tre amerikanske fysikerne delte Nobelprisen i fysikk i 1998 for sine arbeid med den kvantiserte Hall-effekten.
Størrelsen av Hall-motstanden i disse eksperimentene er gitt ved kombinasjonen h/e2 av fundamentale naturkonstanter. Denne verdien har vist seg å være uavhengig av typen eller egenskapene til materialet som benyttes i eksperimentet og kan måles med usedvanlig stor nøyaktighet. Den har fått navnet von Klitzings konstant
og er derfor brukt som en ny standard for ohmsk motstand. Plancks konstant h og elementærladningen e inngår likedan i Josephson-konstanten som også kan bestemmes eksperimentelt meget nøyaktig. Derfor vedtok den internasjonale Generalkonferansen for mål og vekt den 16. november 2018 at disse to konstantene skal gis fikserte verdier som skal benyttes i en redefinisjon av alle enhetene i SI-systemet. Denne bestemmelsen skal tre i kraft fra den 20. mai 2019 og vil ha som konsekvens at et kilogram vil få en ny betydning.
Magnetotransport i to dimensjoner
Elektrisk strøm kan beskrives i klassisk fysikk ved bruke av Drudes modell. Man tenker seg vanligvis en gass av elektroner med ladning -e og med hastighet v som beveger seg under innflytelse av et elektrisk felt E, men kolliderer stadig med de faste atomene i krystallgitteret som karakteriserer den elektriske lederen. Den gjennomsnittlige tiden mellom hver kollisjon er τ. Hvis det samtidig også virker et magnetisk felt B, omtales den resulterende strømmen som en magnetostransport. I en slik sammenheng opptrer den vanlige Hall-effekten.N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Reinhart and Winston, New York (1976). ISBN 978-0-030-83993-1.
Da bevegelsen til hvert elektron også er påvirket av den magnetiske Lorentz-kraften, vil den være bestemt av Newtons andre lov
hvor det siste leddet på høyre side er en friksjonskraft som skyldes kollisjoner med atomene. En annen effekt av krystallgitteret er at massen m til elektronet har en mye mindre verdi enn for et helt fritt elektron. Fra denne bevegelsesligningen kan man nå beregne driftshastigheten. Når all bevegelse skjer i xy-planet og magnetfeltet står vinkelrett på dette, er denne stasjonære hastigheten gitt ved komponentene (vx,vy) som må oppfylle de to ligningene
hvor ωc = eB/m er syklotronfrekvensen for elektronene i magnetfeltet. Denne driftshastigheten tilsvarer strømtettheten hvor n er tettheten av elektroner i planet. Fra de to komponentene gitt ved
hvor σ = ne2τ/m, ser man at restiviteten ρ kobler sammen strøm og felt med forskjellige retninger. Den kan derfor fremstilles som en tensor definert ved . De diagonale komponentene = er de samme som for en vanlig strøm og upåvirket av magnetfeltet. Men de to ikke-diagonale komponentene = ωcτ/σ = B /ne øker proporsjonalt med B.
Eksperimentelle resultat Ved å la den påtrykte strømmen gå i x-retning, kan den skrives som I = Jx b hvor b er bredden til den plane lederen. Dermed oppstår det en transvers spenning som skyldes at det har bygd seg opp en ladningsforskjell i y-retning som gjør at strømmen Jy i denne retningen er null. Det er denne spenningen som måles og uttrykkes ved Hall-motstanden
Når systemet er todimensjonalt, kan derfor resistiviteten direkte måles uavhengig av geometrien til lederen. For temperaturer og magnetfelt under normale forhold er denne gitt ved det klassiske resultatet ρxy = B /ne. For en gitt ladningstetthet n, øker den linært med magnetfeltet i overensstemmelse med målingene.
thumb|300px|right|Den kvantiserte Hall-effekten arter seg ved at Hall-motstanden ρxy opptrer i veldefinerte trinn samtidig som den longitudinale motstanden ρxx blir null. I 1975 viste Ando, Matsumoto og Uemura at Hall-effekten ville få en mer komplisert oppførsel ved lave temperaturer og sterke magnetfelt.T. Ando, Y. Matsumoto and Y. Uemura, Theory of Hall Effect in a Two-Dimensional Electron System, Journal Physical Society of Japan 39 (2), 279-288 (1975). Da må ladningstransporten forklares kvantemekanisk med den konsekvens at motstanden ikke lenger ville øke proporsjonalt med B, men i bestemte trinn av størrelsesorden h/e 2.
Denne forutsigelsen ble eksperimentelt verifisert i 1980 av Klaus von Klitzing som benyttet den todimensjonale elektrongassen i en MOSFET transistor i et magnetfelt med en styrke på over 10 T og temperaturer under 4 K fra flytende helium. Trinnene i den målte Hall-motstanden var meget tydelige og kunne bestemmes med stor nøyaktighet som
hvor heltallet ν kan ta verdiene (1, 2, 3, ... ) og RK = h/e 2 = 25813 Ω er von Klitzings konstant. Siden dette var en makroskopisk konsekvens av kvantemekanikken, var det naturlig å si at Hall-effekten er kvantisert under slike forhold.K. von Klitzing, 25 Years of Quantum Hall Effect (QHE), Poincaré Seminar, Paris (2004).
Så lenge Hall-motstanden forble konstant på et trinn, viste målingene at den longitudinale restiviteten . I den klassiske Drude-modellen må det bety at kollisjonstiden τ for elektronene blir uendelig stor slik at det ikke er noen spredning i deres bevegelse.
Lignenede eksperiment under andre forhold og med forskjellige materialer ga resultat i overensstemmelse med disse første målingene. I 1982 viste Horst Störmer og Daniel Tsui at ved å gå til enda lavere temperaturer og sterkere magnetfelt med en plan transistor basert på GaAs, åpnet det seg større trinn i Hall-motstanden som tilsvarer rasjonelle verdier ν = (1/3, 2/5, 3/7, . .). For denne oppdagelsen av den fraksjonelle Hall-effekten fikk de Nobelprisen i fysikk i 1998.H.L. Stormer, Nobel Lecture: The fractional quantum Hall effect, Reviews of Modern Physics 71 (4), 875-889 (1999).
Et enkelt lag med grafén er elektrisk ledende og er derfor virkelig todimensjonalt system på atom-nivå. Her er en kvantisert Hall-effekt blitt eksperimentelt påvist ved romtemperatur.Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer and P. Kim, Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry's phase in graphene, Nature 438 201, (2005). Kvantiseringen av elektronene i dette materialet kan ikke beskrives ved den vanlige Schrödinger-ligningen, men må gjøres med den relativistiske Dirac-ligningen slik at trinnene i motstanden har en mer komplisert struktur.M.O. Goerbig, Quantum Hall Effects. Les Houches forelesninger (2009).
Kvantisert syklotronbevegelse
For et magnetisk B-felt langs z-aksen vil et ellers fritt elektron bevege seg i en sirkel i xy-planet med en omløpstid gitt ved er syklotronfrekvensen . Radius til sirkelen er bestemt av elektronets energi som kan anta kontiuerlige verdier i klassisk mekanikk. Derimot vil bruk av kvantemekanikk vise at energien til denne bevegelsen kun tar diskrete verdier
hvor ħ = h/2π er den reduserte Planck-konstanten og kvantetallet n = (0, 1, 2, 3, ...). Dette kalles Landau-kvantisering som gyldig ned til null kelvingrader.R.H. Dicke and J.P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley Pubishing, Reading, Massachusetts (1960).
Syklotronbevegelsen til elektronet er nå beskrevet ved en bølgefunksjon som er sentrert i et visst punkt som tilsvarer det klassiske sentrum til en sirkel. På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp kan ikke flere elektroner i samme energitilstand befinne seg i samme punkt. Det betyr at antall elektroner som kan ha samme energi, må være proporsjonalt med arealet til planet de befinner seg i. Vanligvis uttrykkes det ved at hver slik Landau-tilstand har en degenerasjonsgrad som er den maksimale tetthet av elektroner det er plass til med denne energien. Den kan skrives som etter å ha innført verdien av et magnetisk flukskvant.C. Kittel, Quantum Theory of Solids, John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 978-0-471-62412-7.
I en halvleder som blir brukt ved målinger av Hall-effekten, vil det alltid være litt forurensing i materialet eller termiske svingninger av atomgitteret som elektronene befinner seg i. Det vil forårsake kollisjoner som vil forstyrre syklotronbevegelsen slik at de diskrete Landau-nivåene ikke opptrer. Men når et elektron rekker å gå rundt flere ganger mellom hver kollisjon, vil de bli avgjørende for ladningstransporten. Betingelsen for det er at ωcτ >> 1 som må være oppfylt for at den kvantiserte Hall-effekten skal bli eksperimentelt synlig. Det betyr sterke magnetfelt og lang kollisjonstid, det vil si meget rene materialer ved lave temperaturer.
Bølgefunksjoner På samme måte som de eksakte energiene til de forskjellige Landau-nivåene, kan også de tilsvarende egenfunksjonene finnes. De er de samme som for en kvantisert harmonisk oscillator i to dimensjoner. For et elektron i den laveste energitilstanden n = 0 er bølgefunksjonen spesielt enkel og kan skrives som
hvor z = x + iy og kvantetallet m ≥ 0 kan forstås som en kvantisert dreieimpuls til den tilsvarende, klassiske syklotronbevegelsen i en sirkel. Den magnetiske lengden
setter størrelsen av radius til denne sirkelen med laveste energi E0 = ħωc /2, uavhengig av kvantetallet m. Det er denne uavhengigheten som gir degenerasjonsgraden av energinivået.
Elektroner er fermioner og må oppfylle Paulis eksklusjonsprinsipp. Når det laveste Landau-nivået inneholder flere elektroner, må derfor den totale bølgefunksjonen være antisymmetrisk. Det betyr at hver partikkel må ha forskjellig verdi av kvantetallet m. Bølgefunksjonen kan da skrives som en Slater-determinant. For eksempel med N = 3 elektroner i det laveste Landau-nivået tar den formen
Det er nå trivielt å generalisere denne siste produktformen av bølgefunksjonen til å gjelde for et vilkårlig antall N med elektroner i laveste Landau-nivå. Den viser eksplisit at ved å bytte om to elektroner skifter bølgefunksjonen fortegn som den skal for Fermi-Dirac statistikk. Når alle elektronene fyller nøyaktig opp dette energinivået, har man Hall-motstanden med fyllingsgrad ν = 1.
IQHE
Det som tilsvarer fulle elektronskall i atomfysikken, er fulle Landau-nivå her. Hvis et ekstra elektron skal da inn i systemet, må dette plasseres i et høyere energinivå. Dette tilsvarer energigapet ħωc mellom Landau-nivåene. Man forventer derfor at systemet utviser en form for stabilitet når tettheten av elektroner n er slik at nøyaktig et helt antall ν av Landau-nivå er fulle. Siden hvert nivå har plass til D elektroner per flateenhet, må man da ha n = νD. Innsatt i uttrykket for Hall-motstanden, blir da denne
For verdiene ν = (1,2,3, ...) av fyllingsgraden er nå dette akkurat de kvantiserte verdiene for denne motstanden som karakteriserer den heltallige Hall-effekten IQHE. Fra denne enkle utledningen kunne en forvente at den minste forandring av temperatur eller renhetsgrad av materialet ville også forandre disse presise verdiene. Men Robert Laughlin har vist at de er upåvirket av slike forhold og forblir eksakte da den kvantiserte Hall-effekten er invariant undere elektromagnetisk gaugetransformasjoner.