thumb|280px|Hydrogenatomet består av et positivt ladet proton og et elektron med negativ ladning. Kvantemekanikken sier at elektronet har en viss sannsynlighet for å finnes i alle punkt utenfor protonet. Hydrogenatomet (H-atomet) er det enkleste av alle atomer i det periodiske systemet hvor det har første plass. Det utgjør det kjemiske elementet hydrogen, og er det mest utbredte grunnstoff i Universet. Atomet består av et elektron som er bundet til et proton.
Denne bindingen kan ikke forstås i klassisk fysikk, men krevde en ny kvanteteori. Egenskapene til H-atomet kunne dermed forklares på en stadig mer presis måte fra konstruksjonen av den første modellen til Niels Bohr i 1913 til etableringen av moderne kvantemekanikk i 1925. På den måten ga forståelsen av hydrogenatomet grunnlaget for å forstå alle andre atomer og molekyl. I dag utgjør dette en mer generell atomfysikk som igjen er en sentral del av kjemi og mange grener av moderne teknologi.
Under normale forhold forekommer ikke hydrogen i atomær form da det er sterkt reaktivt og vil danne hydrogenmolekyl H2 eller binde seg til andre grunnstoff. Men i Universet kan det forekommer fritt og er viktig i kosmologisk sammenheng gjennom observasjon av hydrogenlinjen.
Atomkjernen til hydrogenatomet kan i tillegg til et proton også inneholde et eller to nøytron og dermed danne henholdsvis deuterium eller tritium. Disse er isotoper til det vanlige 1H-atomet og betegnes ofte ved symbolene 2H og 3H. Mens deuterium er stabilt og finnes i form av tungtvann, er tritium ustabilt og kan kun produseres på kunstig vis. Begge isotopene er viktige for kjernefysiske våpen basert på fusjon.
Spektrum og energinivå thumb|500px|Synlige spektrallinjer i Balmer-serien for hydrogen. Den røde linjen til høyre er Hα, mens den lyseblå til venstre for denne er Hβ. Bølgelengden øker mot høyre.
Historisk er forståelse av hydrogenatomet skaffet til veie gjennom studier av spektrallinjene som opptrer i lyset som slike atom sender ut. Ut fra slike observasjoner kunne den sveitsiske matematiker Johann Balmer allerede i 1885 vise at de fire mest synlige linjene hadde bølgelengder som passet med formelen
hvor B var en konstant og n = 3, 4, 5 og 6 for de fire linjene. Basert på denne lovmessigheten kunne Balmer forutsi at det burde eksistere andre linjer med enda kortere bølgelengder. Linjen som tilsvarer n = 7, ble så påvist av den svenske fysiker Anders Ångström som også tidligere hadde bestemt bølgelengdene til de fire andre linjene. A. Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.
Det var Niels Bohr i 1913 som med sin modell ga en generell forklaring av alle spektrallinjene hydrogenatomet. Den var basert på den eksperimentelle oppdagelsen til Ernest Rutherford som hadde vist at det besto av en atomkjerne som han kalte for proton. Et enda mindre elektron beveget seg i stor avstand fra denne og ble holdt på plass av den elektriske Coulomb-kraften. Han postulere at elektronet kunne bevege seg i stabile sirkler omkring protonet med en dreieimpuls pφ som skulle være et helt multiplum av den reduserte Planck-konstanten ħ,
hvor n = 1, 2, 3, ... kalles hovedkvantetallet. Denne kvantiseringen av bevegelsen medførte at atomet kun kan eksistere i visse tilstander med bestemte energier. Hvis elektronet har en masse me og elektrisk ladning e, fant Bohr at disse måtte være
hvor 1/4π ε0 er Coulombs konstant. Ved å benytte finstrukturkonstanten der c er lyshastigheten, kan dette skrives på den mer kompakte formen En = - Ry/n2 hvor
er en karakteristisk energi i all atomfysikk og kalles for en «Rydberg» etter den svenske fysikeren Johannes Rydberg. For hydrogenatomet tilsvarer den energien som må til for å frigjøre elektronet fra den laveste banen n = 1 som er grunntilstanden. Dette er atomets ionisasjonsenergi som kan bestemmes uavhengig av en spektralanalyse.
I Bohrs atommodell tilsvarer hvert kvantisert energinivå en sirkulær banebevegelse med radius rn = n 2a0 hvor
er Bohr-radius og angir størrelsen til den innerste banen. Hovedkvantetallet n bestemmer dermed entydig størrelsen av de tillatte banene og energien til atomet når elektronet befinner seg i en sådan. J.J. Brehm and W.J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter, John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.
Spektralserier thumb|right|500px|Forskjellige spektralserier for overganger i H-atomet. Energien til grunntilstanden er her satt til null. Videre er kvantetallene angitt som n = ni og m = nf sammenlignet med teksten.
Bohr postulerte i sin modell at lys blir utsendt fra atomet når elektronet skifter fra en bane til en annen med lavere energi. Har atomet før et slikt kvantesprang en energi Ei og etterpå Ef, vil det emitterte lyset opptre som et foton med en frekvens bestemt ved den fundamentale ligningen
som uttrykker energibevarelse. Den overtok Bohr fra Einstein og hans forklaring av den fotoelektriske effekten. Her er h nå den vanlige Planck-konstanten.
Av historiske grunner er det vanlig å uttrykke resultatet for frekvensene som opptrer ved de inverse bølgelengder ν/c = 1/λ, Det kan da skrives på samme form som Rydbergs formel for spektrallinjene til alkalimetallene. Det gir for en overgang fra en bane med kvantetallet ni til en lavere bane med nf
hvor R∞ = Ry/hc er Rydberg-konstanten. Det er en av de mest presise størrelser i dagens fysikk og har den eksperimentelle verdien 2018 CODATA recommended value. NIST
Da den involverer kun fundamentale konstanter, kan den benyttes sammen med andre målinger til å bestemme disse.
Indeksen i R∞ indikerer at i denne utledningen er det antatt at protonet i hydrogenatomets kjerne er uendelig tungt i forhold til elektronets masse me. Men i virkeligheten er . Elektronet og protonet danner da et tolegemeproblem der også protonet vil ha en liten bevegelse. Når man beregner energien i atomets hvilesystem, må derfor elektronets masse erstattes med den reduserte massen
I Rydberg-formelen for hydrogenatomets spektrallinjer vil derfor konstanten opptre istedenfor R∞. Det er denne korreksjonen som må benyttes ved sammenligning med eksperimentelle målinger.
thumb|left|400px|Viktige spektrallinjer i Lyman-serien. De synlige spektrallinjene beskrevet ved Balmers formel tilsvarer overganger til energinivået med . Overgangen fra tilstander med gir den mest prominente spektrallinjen Hα med bølgelengde 656.3 nm, mens den neste linjen Hβ med bølgelengde 486.1 nm oppstår fra . For høyere begynnelsestilstander får det utsendte lyset stadig kortere bølgelengder. Når ni → ∞ nærmere linjen seg seriegrensen 4/RH med bølgelengde 364.6 nm. Dette tilsvarer konstanten B i Balmer-formelen. H. Haken and H.C. Wolf, Atomic and Quantum Physics, Springer-Verlag, Berlin (1987). ISBN 0-387-17702-7.
Lyman-serien fremkommer ved overganger til grunntilstanden Det gir ultrafiolett lys hvorav den linjen med lengst bølgelengde er Lyman-alfa eller fra overgangen 2 → 1. Den har en bølgelengde 121.6 nm og er viktig i astrofysikken.
Videre eksisterer det flere serier som gir infrarød stråling. Den som ligger nærmest den synlige delen av spektrumet, er Paschen-serien som oppstår ved overganger til
Bohr-Sommerfeld-kvantisering
I den første versjonen av Bohrs atommodell inngikk antagelsen om sirkulære baner for elektronet. Men da Coulomb-kraften avtar omvendt proporsjonalt med avstanden på samme måte som Newtons gravitasjonskraft, vil elektronet også kunne bevege seg i ellipsebaner omkring atomkjernen på samme måte som planetene omkring Solen og beskrevet ved Keplers lover. Rundt 1916 begynte derfor Bohr, Sommerfeld og andre å benytte metoder i atomfysikken som ligner de som brukes i himmelmekanikken. Denne mer generelle fremgangsmåten er i ettertid blitt kalt for Bohr-Sommerfeld-kvantisering. A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, I. Band, 8. Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).
Elektronet i hydrogenatomet tenkes å bevege seg i et plan hvor dets posisjon kan angis ved polare koordinater (r,φ). Ser man bort fra atomkjernens endelig masse, har elektronet da en hastighet v = d r/dt og dermed en kinetisk energi
hvor prikken over r og φ indikerer derivasjon med hensyn på tiden. I tillegg har elektronet en potensiell energi som også varierer med tiden. Men totalenergien er konstant under denne bevegelsen. Her er det antatt at atomkjernen har ladning Ze i det mer generelle tilfellet. Vanlig hydrogen har ladningstall Z = 1. Atomet under betraktning kan derfor være et helium ion He+ for Z = 2, et dobbeltionisert litiumatom Li++ for Z = 3 etc.
Ved bruk av Lagrange-mekanikk har elektronet to «kanoniske impulser» gitt som
Her er pφ ikke noe annet enn størrelsen av elektronets dreieimpuls me r×v og er konstant da den kinetiske energien er uavhengig av vinkelen φ. Dette tilsvarer konstant «flatehastighet» for en planet som følger Keplers andre lov. Uttrykt ved disse impulsene, tar derfor den totale energien til elektronet formen
Bevegelsesligningene for elektronet kan herav utledes og løses. Men i denne kvanteteorien er det bare spesielle baner som er tillatte. De finnes ved kvantisering av den klassiske bevegelsen.
Kvantebetingelser thumb|360px|De tre innerste banene i H-atomet angitt ved kvantetallene (n,k) ved bruk av Bohr-Sommerfeld-kvantisering. Bohr-Sommerfeld-kvantisering er en «halvklassisk» metode for å gi et mekanisk system egenskaper som er i overensstemmelse med kvanteteorien. Man beregner den klassiske bevegelsen til systemet og pålegger så disse løsningene bestemte kvantebetingelser. Fremgangsmåten var en generalisering av Bohrs atommodell for hydrogenatomet, med viste seg snart å ikke kunne benyttes for atomer med flere elektroner. Dette førte til oppdagelsen av moderne kvantemekanikk i 1925.
Den klassiske bevegelsen til elektronet i hydrogenatomet er periodisk der det følger en ellipsebane. Bohr-Sommerfeld-kvantisering sier at de tillatte banene må oppfylle at integralene av de kanoniske impulsene rundt hver bane skal være et helt multiplum av Plancks konstant, det vil si
Her er nφ og nr positive heltall. De karakteriserer de tillatte banene og opptrer som kvantetall i den videre beskrivelsen.
Da dreieimpulsen pφ er konstant, kan den tas utenfor i det første integralet. Det reduseres dermed til 2π da den asimutale vinkel varierer mellom φ = 0 til 2π for en full periode. Den første betingelsen gir derfor ganske enkelt at hvor er den reduserte Planck-konstanten. Innsatt i uttrykket for totalenergien til elektronet, finner man da for den radielle impulsen
som nå bare avhenger av radius r. Det øverste fortegnet beskriver den del av bevegelsen der radius øker og det nederste der den avtar. Det tilsvarer at elektronet beveger seg mellom en minimal avstand rmin og en maksimal avstand rmax fra atomkjernen. Disse vendepunktene tilsvarer at og kan uttrykkes ved store a og lille halvakse b til ellipsen.
Den radielle integrasjonen i den andre kvantebetingelsen kan nå utføres med et resultat som kan skrives på formen
Det gir eksakt samme energinivå som Bohrs formel når Z = 1, men med den viktige forskjell at hovedkvantetallet nå består av summen . Baner med forskjellige kvantetall kan derfor ha samme energi. De sies i så fall å være degenererte med hverandre.
Kvantiserte baner thumb|400px|Energinivå i H-atomet etter Bohr-Sommerfeld- kvantisering. Hvert nivå er degenerert da energien er uavhengig av kvantetallet ℓ = k - 1 som angir formen til ellipsen som elektronet følger. Kvantetallene nφ og nr angir størrelsen og formen til de tillatte banene. Den følger fra største og minste avstand som elektronet har fra atomkjernen og er definert ved at Disse radiene er henholdsvis rmax og rmin og kan finnes som de to løsningene av andregradsligningen
etter å ha satt det asimutale kvantetallet til Sommerfeld nφ = k i den notasjon som Bohr gjorde bruk av.