thumb|240px|Werner Heisenberg i et foto fra 1927. Matrisemekanikk betegner den første versjon av moderne kvantemekanikk som ble utarbeidet av Werner Heisenberg sommeren 1925. I månedene som fulgte videreutviklet han denne nye versjonen sammen med Max Born og Pascual Jordan. Dens navn skyldes at posisjon og hastighet til en partikkel blir beskrevet ved bruk av matriser istedenfor vanlige tall som i klassisk mekanikk.
Året etter lanserte Erwin Schrödinger en helt annen og alternativ bølgemekanikk. Den viste seg snart å være matematisk ekvivalent med Heisenbergs matrisemekanikk. Denne sammenhengen ble spesielt klarlagt av Paul Dirac et par år senere og viste at Heisenbergs formulering er spesielt tett forbundet med klassisk Hamilton-mekanikk.
Selv om Schrödingers bølgemekanikk ofte er mer anvendelig for praktiske beregninger innen atomfysikken, er Heisenbergs matrisemekanikk på mange måter mer generell. Det er en videreføring av denne som benyttes i kvantefeltteori der man ikke lenger kvantiserer bevegelsen til enkelte partikler, men gir en kvantemekanisk beskrivelse av det som i klassisk fysikk er kontinuerlige felt. På den måten oppstår partikler som kvanter i de fundamentale teoriene som inngår i standardmodellen for elementærpartikler.
Heisenberg ble tildelt nobelprisen i fysikk 1932 for sine bidrag til moderne kvantemekanikk. Han mottok den året etterpå sammen med Schrödinger og Dirac som fikk den av samme grunn i 1933.
Bakgrunn
Frem til 1920 hadde Bohrs atommodell og dens generalisering representert ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering, gitt en god forståelse av de viktigste egenskapene til atomene. Den var basert på at man beregnet klassiske baner til partiklene som deretter ble pålagt visse kvantebetingelser. De tillatte banene kunne dermed tilordnes bestemte kvantetall som bestemte deres form og mulige energier. Hver slik stasjonær kvantetilstand med kvantetall n har en viss energi En. Ved overgang til en annen slik tilstand med energi Em sendes det ut et foton med vinkelfrekvens ωmn bestemt ved
der ħ er den reduserte Planck-konstanten. Denne sammenhengen mellom energiforandring og frekvens kan føres tilbake til Plancks første arbeid med varmestråling og Einsteins forklaring av den fotoelektriske effekten. Den tilfredsstiller også kombinasjonsprinsippet
som Bohr hadde lagt stor vekt på. H. Kragh, Niels Bohr and the Quantum Atom, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 0-19-965498-0.
På tross av all den fremgangen denne halvklassiske fremgangsmåten representerte, viste den seg likevel ikke i stand til å gi særlig nøyaktige resultat for mer kompliserte system som heliumatomet med to elektroner eller det ioniserte hydrogenmolekylet med bare ett elektron. Max Born ved Universitetet i Göttingen var sentral i dette arbeidet. Stadig mer avanserte metoder fra gammel himmelmekanikk ble benyttet i denne «atommekanikk» I 1924 innså han for å løse problemene måtte man i stedet utvikle en ny fysikk som han kalte for «kvantemekanikk» uten å vite nøyaktig hva den ville inneholde. M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York (1966). ISBN 0-07-032-275-9.
Werner Heisenberg
En viktig grunn for at Born hadde innsett at den gamle kvantefysikken måtte erstattes med noe nytt, var hans samarbeid med den unge Werner Heisenberg. Han var utdannet ved Universitetet i München i forskningsgruppen til Arnold Sommerfeld, men arbeidet fra 1923 som assistent for Born. Spesielt hadde Heisenbergs arbeide med Zeeman-effekten viste at kvantetallene til et system kunne ha større betydning enn nøyaktig kjennskap til de klassiske banene for elektronene i atomene.
Høsten 1924 begynte Heisenberg å arbeide ved Bohr-instituttet i København. Der møtte han Hendrik Kramers som på den tiden var spesielt opptatt av optisk dispersjon. Det var da blitt klargjort at denne var direkte forbundet med mulige overganger mellom forskjellige energitilstander atomene kunne ha og de tilsvarende overgangsfrekvensene ωmn. Dette omhandlet i en viss grad samme problem som Einstein hadde analysert ved innføring av strålingskoeffisienter som gir sannsynligheten for at slike overganger skal finne sted. M. Longair, Quantum Concepts in Physics, Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-1-107-01709-2.
En viss forståelse for disse sammenhengene hadde man fra Bohrs korrespondanseprinsipp som sier at for store kvantetall m og n kan disse frekvensene finnes fra omløpstidene til elektronene i sine klassiske baner. Hvis en slik bane har omløpsfrekvensen ω, kan man utvikle en koordinat x(t) som beskriver banen, i en Fourier-rekke
hvor den komplekse Fourier-komponenten xk inneholder informasjon om banens eksakte form. Da denne koordinaten er reell, må den oppfylle betingelsen
Fra klassisk strålingsteori følger at denne komponenten gir opphav til elektromagnetisk stråling med frekvens ωk = kω og intensitet proporsjonal med kvadratet |xk|2. Samtidig sier korrespondanseprinsippet at den oppstår i Bohrs atommodell som overgangen mellom to tilstander med store kvantetall m og n som oppfyller m - n = k. Det grunnleggende spørsmål var dermed om denne beskrivelsen kunne utvides til å gjelde for alle andre tilstander også.B.L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics, Dover Publications, New York (2007). ISBN 0-486-45892-X.
Helgoland
Sommeren 1925 var Heisenberg tilbake i Göttingen. Han var nå overbevist om at man måtte forkaste alle gamle idéer om elektroner i klassiske baner som man aldri vil være i stand til å studere. En ny teori for atomene måtte kun inneholde observerbare størrelser som frekvenser til forskjellige spektrallinjer og deres intensitet.
Da han der i juni fikk et kraftig angrep av høysnue, reiste han ut til øya Helgoland hvor det var mindre pollen. Under dette korte oppholdet utarbeidet han grunnlaget for en ny kvanteteori basert på disse prinsippene. Han erstattet de klassiske Fourier-komponentene med nye, komplekse størrelser xmn hvor begge tilstandene inngår på en likeverdig måte. Deres variasjon med tiden tok han fra korrespondanseprinsippet som gir sammenhengen
hvor frekvensen ωmn skal være gitt ved differansen mellom energiene til de to tilstandene på den måten Einstein og Bohr hadde innført. Dynamiske variable i den nye teorien er nå størrelsene
med en absoluttverdi |xmn | som bestemmer intensiteten av den tilsvarende spektrallinjen. De vil også inngå i strålingskoeffisienter Bmn til Einstein. Da disse er symmetriske i sine to indekser, må Heisenbergs variable ha egenskapen
som også følger naturlig fra korrespondanseprinsippet.
Av to dynamiske variable x og y kan man beregne deres produkt ut fra kravet at (xy)mn også skal ha en variasjon med tiden gitt ved frekvensen ωmn. Det fikk Heisenberg til å definere produktet som
Mer kompliserte produkt med flere faktorer kan på denne måten beregnes.
Kvantisering Istedenfor å beskrive et hydrogenatom med denne nye kvantemekanikken, valgte Heisenberg å betrakte et enklere system med en partikkel som beveger seg kun i én dimensjon under påvirkning av en kraft som i det enkleste tilfellet er harmonisk. Den klassiske energien til partikkelen kan dermed skrives som
hvor impulsen til partikkelen er gitt ved den tidsderiverte . Energien er en funksjon av de dynamisk variable x og p som kalles Hamilton-funksjonenen H(x,p) for partikkelen.
Heisenberg oversatte denne klassiske beskrivelsen til å bestemme de nye, dynamiske variable xmn og pmn fra
Selv om begge leddene her på høyre side varierer med tiden, må summen av dem likevel være konstant på grunn av at energien til systemet ikke forandrer seg med tiden. De kvantiserte energiene En er gitt ved venstre side av ligningen som skal være En når m = n og null hvis indeksene er forskjellige. Ved bruk av Kroneckers deltasymbol kan dette kravet skrives som som nå er et uttrykk for energiens bevarelse.
De kvantemekaniske variable xmn og pmn er ikke uavhengige av hverandre da
Dette medfører at de er forbundet gjennom de fundamentale kvantiseringsbetingelsene
som skal gjelde for alle tilstander karakterisert ved kvantetallet n. Heisenberg kom frem til dem ved bruk av en summeregel som var blitt oppdaget i forbindelse med optisk dispersjon. Ved å innsette her pkn uttrykt ved xkn, tar den formen
Allerede under oppholdet på Helgoland gikk Heisenberg i gang med å beregne energien til oscillatoren når den i tillegg er under påvirkning av en svak, ikke-harmonisk kraft. I nyere tid er detaljene ved disse mer kompliserte beregningene grundig gjennomgått.I.J.R. Aitchison et al, Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: A new look at the calculational details, Am. J. Phys. 72, 1370–1379 (2004).
Harmonisk oscillator
På vei tilbake fra Helgoland stoppet Heisenberg i Hamburg for å diskutere denne nye kvantemekanikken med sin venn og kollega Wolfgang Pauli. Tilbake i Göttingen forklarte han i et brev den 24. juni detaljene rundt kvantiseringen av en enkel harmonisk oscillator.
Han tok da utgangspunkt i den klassiske bevegelsen til oscillatoren. Når den har frekvens ω, kan utslaget eller posisjonen skrives som
hvor a er en amplitude som man her kan velge å være reell. I den kvantemekaniske beskrivelsen vil det derfor bare opptre to typer med variable tilsvarende størrelsene xn,n±1 med en tidsvariasjon
som følger fra korrespondanseprinsippet. Da det klassiske utslaget x(t ) er reelt, vil også være reelle størrelser. De bestemmer de nye variable som beskriver den kvantemekaniske impulsen,
Fra de diagonale elementene av Hamilton-funksjonen finnes nå den kvantiserte energien til oscillatoren som
Summen innholder bare bidrag fra k = n ±1 og gir
På samme måte gir kvantiseringsbetingelsene
at disse overgangsamplitudene må oppfylle
Da oscillatoren må ha en grunntilstand med lavest energi, kan man betegne denne med kvantetallet n = 0. Overganger til tilstander med lavere energi vil da ikke finne sted. Kvantiseringsbetingelsene er dermed oppfylt for
som også gir størrelsen av amplitudene an,n - 1 = an - 1,n . Den kvantiserte energien til oscillatoren er dermed
hvor n = 0, 1, 2, 3 og så videre. Matrisene som beskriver den kvantemekaniske oscillatoren, er derfor uendelig store. For eksempel utgjør amplitudene amn der m = n - 1 den uendelige matrisen
eller den transponerte matrisen for m = n + 1. Herav finnes de tilsvarende matrisene for de dynamisk variable xmn og pmn. Disse resultatene og fremgangsmåten er praktisk den samme som benyttes i dag ved kvantisering av harmonisk oscillator.
Bortsett fra energien E0 = ħω/2 for grunntilstanden til oscillatoren, er dette samme resultat som også var funnet ved halv-klassisk Bohr-Sommerfeld-kvantisering. Nødvendigheten av en slik «nullpunktsenergi» i grunntilstanden hadde tidligere vært diskutert i forskjellig andre sammenhenger. I dag har den fått ny betydning. H. Kragh, Preludes to dark energy: Zero-point energy and vacuum speculations, arXiv:1111.4623.
Born og Jordan
Tilbake i Göttingen skrev Heisenberg ferdig et manuskript hvor han sammenfattet sin nye kvanteteori. W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechaniseher Beziehungen, Zeit. Phys. 33, 879-893 (1925) PDF Da Max Born fikk lese det i midten av juli, så han at det spesielle produktet Heisenberg hadde innført for de dynamiske variable, betyr at de utgjør elementene til matriser. Heisenberg var på den tiden ikke kjent med matriseregning. Men han hadde oppdaget at produktet generelt er avhengig av hvilken rekkefølge de variable inngår i multiplikasjonen. Det tilsvarer at produktet av matriser ikke er en kommutativ operasjon. A. Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.