For TV-programmet på NRK, se Trekant (TV-program). For kjærlighets-/sexforholdet som involverer tre personer, se Ménage à trois. thumb|En rettvinklet trekant med hypotenus og to kateter. En trekant er et polygon med tre sidekanter og tre hjørner, en geometrisk figur sammensatt av tre linjestykker. I euklidsk geometri er dette den enkleste form for polygon. I matematikk kan en trekant også omtales som en trigon. Ordet triangel kan også brukes for å omtale en trekant. En trekant med hjørner A, B og C kan skrives som .
Trekantgeometri har vært studert siden matematikkens oldtid, ofte knyttet til landmåling og astronomi. Det eksisterer en stor og rik teori knyttet til trekanter, både på grunnleggende nivå og i høyere matematikk. Studiet av trekanter inngår som en viktig del av matematikkundervisningen i skolen. Trigonometri er en gren av matematikk der en studerer forhold mellom sider og vinkler i en trekant.
Trekanter kan klassifiseres etter egenskaper til sidekantene og etter egenskaper til vinklene. I euklidsk geometri er summen av de indre vinklene i en trekant alltid 180° eller π radianer. I ikke-euklidsk geometri kan vinkelsummen være både større og mindre enn 180 grader. For eksempel, i sfærisk geometri på en kuleflate vil en trekant være begrenset av tre storsirkler hvor summen av de indre vinklene er større enn 180°. Dette kalles en sfærisk trekant.
Mange ulike geometriske former kan deles opp i et endelig antall trekanter, i en såkalt tesselering. Dette gjør trekanter anvendelig til mange typer beregninger og i datagrafikk. En oppdeling av et område på en flate i trekanter kalles triangulering som tilsvarer triangulering i landmåling.
Mens ordet «trekant» vektlegger antall sider i figuren, så uttrykker «trigon» og «triangel» at figuren har tre vinkler. «Trigon» er en sammensetning av gresk «tri» = tre og «gonia» = vinkel. «Triangel» er en tilsvarende latinsk sammensetning av «tri» og «angulus». Også adjektivet «trilateral» kan referere til en figur med tre sider.
Beskrivelse
Dersom en trekant er tegnet med en av sidene vannrett, så kan denne siden kalles grunnlinjen. Generelt kan grunnlinjen være en vilkårlig sidekant. Høyden i trekanten er avstanden fra grunnlinjen til det motstående hjørnet, det vil si lengden av normalen fra hjørnet og ned på grunnlinjen.
Linjestykket fra et hjørne og til midtpunktet av den motstående siden kalles en median. En normal gjennom midtpunktet på en side kalles en midtnormal. De tre medianene skjærer hverandre i et felles punkt, det såkalte tyngdepunktet. Trekanten kan balansere på en nål i dette punktet. Tyngdepunktet i en trekant kan finnes fra Cevas setning.
Normalene fra hjørnene ned til motstående sidekant møtes i det såkalte ortosenteret. Generelt kalles et linjestykke fra et hjørne i en trekant ned på den motstående siden for en cevian, oppkalt etter den italienske ingeniøren Giovanni Ceva.
Omkretsen av trekanten er lik summen av de tre sidelengdene, og halvparten av omkretsen kalles semiperimeteren. Summen av to sidelengder i en trekant er alltid større enn lengden av den tredje siden, et utsagn kjent som trekantulikheten.
En indre vinkel i trekanten er en vinkel mellom to sidekanter, målt inne i trekanten. Ofte omtales de indre vinklene bare som «vinklene i trekanten». Nabovinkelen til en indre vinkel kalles en ytre vinkel. I en trekant ABC betegnes den indre vinkelen med toppunkt i hjørnet A ofte som . Denne vinkelen er den motstående vinkelen til sidekanten BC.
En trekant er entydig bestemt dersom
Alle tre sidene er kjent To sider og den mellomliggende vinkelen er kjent Én side og de to hosstående vinklene er kjent En grunnlinje, den tilhørende høyden, og en vinkel er kjent.
Klassifikasjon av trekanter
Etter egenskaper til sidekantene
I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60°. En slik trekant kalles også regulær.
I en likebeint trekant er to av sidene like lange. Den tredje siden kalles gjerne grunnlinjen. De to vinklene mellom de like lange sidene og grunnlinjen vil være like store.
I en heltallstrekant er alle sidelengdene heltall.
I en heronsk trekant er både sidelengdene og arealet heltall, eller mer generelt rasjonale tall.
Etter egenskaper til vinklene
I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 90°. Siden som er motstående til den rette vinkelen kalles hypotenusen og de to andre kalles kateter. Ved hjelp av en rettvinklet trekant kan man definere trigonometriske funksjoner.
I en spiss eller spissvinklet trekant er all vinklene mindre enn 90°.
I en stump eller stumpvinklet trekant er en av vinklene større enn 90°.
Pytagoras' læresetning Utdypende artikkel: Pytagoras’ læresetning
thumb|Geometri for Pytagoras' læresetning I euklidsk geometri gir Pytagoras’ læresetning en sammenheng mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant. La a og b være lengden av de to katetene, og la c være lengden av hypotenusen. Da er
Med ord kan dette uttrykkes som at «i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen». Læresetningen er oppkalt etter den greske matematikeren Pytagoras, selv om formelen var kjent før hans tid. Det kan ikke verifiseres at Pytagoras kjente til bevis for setningen.
Dersom sidelengdene i en trekant oppfyller Pytagoras’ læresetning, så gjelder det også at trekanten er rettvinklet.
Et pytagoreisk trippel er et sett av tre positive heltall (a,b,c) som oppfyller Pytagoras’ læresetning. En rettvinklet trekant der sidelengdene er heltall kalles en pytagoreisk trekant.
Eksempler
I en rettvinklet trekant med vinkler 30 og 60 grader vil lengden av hypotenusen være dobbelt så lang som den korteste kateten. Den lengste kateten er lik kvadratroten av 3 ganger den korteste:
(3,4,5) er en pytagoreisk trippel, og en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 vil være rettvinklet.
Sidelengder og vinkler Det eksisterer en rekke måter for å regne ut sidelengder og vinkler i en trekant. Enklest er det i rettvinklede trekanter. Forhold mellom sidelengder og vinkler danner grunnlaget for definisjon av trigonometriske funksjoner.
Trigonometri i en rettvinklet trekant right|miniatyr|150px|Rettvinklet trekant med hypotenusen c og katetene a og b. Trigonometriske funksjoner definerer forholdet mellom sidelengder i en rettvinklet trekant. For vinkelen A gjelder følgende definisjoner:
Sinus til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen.
Cosinus til en vinkel er lik forholdet mellom den hosliggende kateten og hypotenusen.
Tangens til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og den hosliggende kateten.
Sinussetningen
Sinussetningen er en viktig sammenheng mellom sidelengder og vinkler i en vilkårlig trekant:
Størrelsene som inngår er definert på figuren til høyre. Forholdet som inngår i sinussetningen er lik lengden av diameteren i den omskrevne sirkelen til trekanten.
Cosinussetningen Pytagoras’ læresetning kan generaliseres til å gjelde trekanter som ikke er rettvinklete, men man trenger da å vite vinkelen γ mellom sidene a og b:
Denne utvidete formen kalles for cosinussetningen eller den utvidede pytagoreiske læresetning. For rettvinklede trekanter er γ = 90° og cos 90° = 0, og cosinussetningen er lik Pytagoras’ læresetning.
Tangenssetningen Den såkalte tangenssetningen kan bevises fra sinussetningen og trigonometriske identiteter:
thumb|right|Geometri for Apollonios' teorem
Halveringslinjesetningen Halveringslinjesetningen sier at i en trekant ABC vil en linje gjennom C dele sidekanten AB i et forhold lik AC/BC hvis og bare hvis linjen halverer vinkelen C.
Apollonios' teorem Apollonios' teorem gir en sammenheng mellom sidelengdene og en median AD i en vilkårlig trekant ABC:
Teoremet har fått navnet fra den greske matematikeren Apollonios. For en likebeint trekant reduserer teoremet seg til Pytagoras' læresetning. Appolonios' teorem er et spesialtilfelle av det såkalte Stewarts teorem, som gir en sammenheng mellom sidelengdene og en cevian.
Kongruente trekanter To trekanter er kongruente dersom de har eksakt samme form og størrelse. De kan imidlertid ha ulik beliggenhet og orientering. I to kongruente trekanter er sidevinklene parvis like store, og sidekantene er parvis like lange.
To trekanter er kongruente dersom minst ett av de følgende vilkårene er oppfylt:
To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som den samsvarende siden i den andre To av sidene er parvis like lange, og vinklene mellom de to sidene er like store Alle tre sider i trekantene er parvis like lange.
Formlike trekanter To trekanter er similære eller formlike dersom de har samme form, men muligens ulik størrelse. I to similære trekanter er alle vinklene parvis like store. To trekanter er formlike hvis minst ett av de følgende vilkårene er oppfylt:
Trekantene har parvis like vinkler Trekanten har én lik vinkel, og de tilstøtende sidekantene er proporsjonale Sidekantene i de to trekantene er parvis proporsjonale Forholdet mellom lengdene i de to trekantene er det samme.
Arealet av en trekant Arealet A av en trekant kan beregnes på en rekke forskjellige måter. En vanlig framgangsmåte er å bruke arealsetningen, den geometriske formelen
der g er lengden av grunnlinjen, og h er høyden. Dette uttrykkes ofte som at arealet av en trekant er lik halve grunnlinjen ganger høyden.
Arealet er altså halve arealet av parallellogrammet man får om man kopierer trekanten, og speiler kopien om en av de to sidene som ikke er grunnlinjen.
Et kongruent tall er et tall som kan opptre som arealet i en rettvinklet trekant, når alle sidelengdene er rasjonale tall. I en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 er arealet lik 6, slik at 6 er et kongruent tall. De første kongruente tallene er 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 og 21.
Vektorform Dersom vektorene AC og AB definerer en trekant, så er arealet lik halvparten av kryssproduktet mellom vektorene:
.
Koordinatform I analytisk geometri kan en beskrive en trekant ved hjelp av koordinater til hjørnene. Dersom et hjørne av trekanten er i origo O = (0, 0), og de to andre hjørnene er i punktene P1 = (x1, y1) og P2 = (x2, y2), så er arealet av trekanten OP1P2 gitt ved determinanten
Fortegnet avhenger av om hjørnene er plassert med eller mot klokkeretningen.
For en trekant med tre vilkårlig plasserte hjørner A,B og C kan en bruke at dens areal er gitt ved summen av arealene til de tre trekantene OAB, OBC og OCA. Fra den forrige formelen følger det da at
Dette kan igjen skrives mer kompakt som en determinant,
Herons formel Formen til en trekant er bestemt entydig ut fra lengden av sidene. Arealet kan derfor bestemmes ut fra sidelengdene alene, ved den såkalte Herons formel:
I formelen er s er semiperimeteren, altså den halve omkretsen. De følgende formene er alternative versjoner av Herons formel:
Trigonometrisk form Når to sidelengder og vinkelen mellom dem er kjent, så er arealet gitt ved
Formelen framkommer ved å uttrykke hver av høydene i trekanten ved hjelp av en side og sinus til en vinkel.
Da sin α = sin (π − α) = sin (β + γ), og tilsvarende for de to andre vinklene, så gjelder også at
Kjenner en to av vinklene og én av sidelengdene, så kan en bruke formelen
Sirkler knyttet til en trekant
Omsirkelen Enhver trekant har en entydig bestemt sirkel som går gjennom alle de tre hjørnene i trekanten. Denne sirkelen kalles den omskrevne sirkelen til trekanten eller også omsirkelen. Senter i den omskrevne sirkelen ligger i skjæringspunktet til de tre normalene som går gjennom midtpunktet til hver av sidekantene, og dette punktet kalles omsenteret. I en spiss trekant ligger omsenteret innenfor trekanten, mens en stumpvinklet trekant har senteret utenfor trekanten. I en rettvinklet trekant ligger omsenteret på hypotenusen.
Omvendt gjelder også at dersom en trekant ABC har en omsirkel med diameter langs AB, da er vinkelen C rett. Dette resultatet er en form for Thales' teorem.