upright=1.4|thumb|Se lo diamètre dau cercle vau 1, sa circonferéncia vau π.
Lo nombre (; notat pi), sonat tanben constanta d'Arquimèdes, es una constanta matematica que met en relacion la circonferéncia d’un cercle e son diamètre:
De nombrosas formulas scientificas, dins de domenis coma la fisica, l'engenhariá e de segur lei matematicas, fan intervenir , qu'es una dei constantas matematicas mai importantas.
Aqueu nombre es irracionau: autrament dich, se pòt pas exprimir coma lo quocient de dos nombres entiers; aiçò implica que son escritura decimala es ni finida, ni periodica. Es tanben transcendent, çò que vòu dire qu’existís pas de polinòmi non nul de coeficients entiers que π ne siá una raiç; se deu a Ferdinand von Lindemann la demostracion d'aqueu resultat en 1882. La determinacion de valors aproximadas pron precisas de π e la comprension de sa natura son de questions qu'an traversat l'istòria dei matematicas.
La letra π que nòta aqueu nombre es simplament l'iniciala dau mot grèc περίμετρος, . Foguèt utilizada premier per William Jones en 1707 puei popularizada per Leonhard Euler en 1737.
Aiçò es la valor aproximada de arredondit a la centena decimala:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
Definicions e premierei proprietats
Definicions
thumb|right|Circonferéncia = π × diamètre
En geometria euclidiana, π se definís coma lo repòrt entre la circonferéncia C d'un cercle e son diamètre d :
Lo repòrt C/d es constant; autrament dich, depend pas de la talha dau cercle. Per exemple, se de dos cercles, lo diamètre dau premier es doble d'aqueu dau segond, la circonferéncia dau premier es tanben dobla d'aquela dau segond: lo repòrt C/d càmbia pas.
Se pòt tanben definir π coma lo repòrt entre la superfícia A d'un cercle e la superfícia d'un carrat qu'a per costat lo rai dau cercle :
Aquelei definicions se justifican per cèrtei proprietats de la geometria euclidiana, coma la qu'enóncia que totei lei cercles son semblables. Mai lo nombre π apareis dins de domenis dei matematicas que son pas directament liats a la geometria. Dins leis expausats axiomatics dei matematicas, sovent se definís π a partir de l'analisi matematica: se pòt donar una definicion dei foncions trigonometricas (cos, sin) independenta de la geometria dau cercle, puei definir π coma lo doble dau pus pichon nombre positiu x tau que cos(x) = 0. Lei formulas balhadas infra pòdon servir de definicions equivalentas de π (pron que se justifique que definisson lo meteis nombre).
Irracionalitat
Lo nombre π es irracionau, çò que significa qu'es impossible de trobar d'entiers p e q taus que π=p/q. Al-Khawarizmi conjectura tre lo sègle IX que π es irracionauGlimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematics per Mustafa Mawaldi. Moshé Maimonides menciona pereu aquela idèa au sègle XII. Pasmens faudrà esperar lo sègle XVIII per que Johann Heinrich Lambert ne fague la demostracion.
Es en 1761 que dins son Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, Lambert estúdia lo desvolopament en fraccion continua de tan(x) e demòstra que lo desvolopament en fraccion continua de tan(m/n) (ont m, n son d'entiers naturaus diferents de 0) es: . Per consequent, quand x es diferent de 0 e racionau, lo desvolopament en fraccion continua de tan(x) es illimitat; mai se sap qu’un tau desvolopament illimitat mena a un nombre irracionau. Fin finala, quand x es diferent de 0 e racionau, tan(x) es irracionau. Se'n dedutz l'irracionalitat de π: se lo nombre π foguèsse racionau, tanben o seriá π/4, doncas tan(π/4) seriá irracionau; coma tan(π/4) = 1, qu'es racionau, es absurde.
Au sègle XX, s'es trobat d'autrei demostracions d'irracionalitat qu'exigisson pas de conoissenças pus avançadas que leis elements dau calcul integrau. Una d'entre elei, que se deu a Ivan Niven, es ben coneguda . Mary Cartwright aviá trobat un pauc aperavans una demostracion analòga.
Transcendéncia
Lo nombre π es tanben transcendent, valent a dire qu'existís ges de polinòmi de coeficients racionaus admetent π per raiç .
Es au sègle XIX que se demostrèt aqueu resultat. En 1873, Charles Hermite provèt que la basa dau logaritme neperian, lo nombre e, es transcendenta. En 1882, Ferdinand von Lindemann generalizèt son metòde en un teorèma (Teorèma d'Hermite-Lindemann) qu'estipula que, se x es un nombre reau o complèxe diferent de 0 e algebric (çò es non transcendent), alora ex es transcendent. Se'n dedutz la transcendéncia de π: se lo nombre π foguèsse algebric, tanben o seriá iπ, doncas eiπ seriá transcendent; coma eiπ = cos(π) + i sin(π) = -1, qu'es algebric, es absurde.
Una consequéncia importanta de la transcendéncia de π es qu'aquest nombre es pas constructible. D'efècte, lo teorèma de Wantzel enóncia entre autrei que tot nombre constructible es algebric. Dau fach que lei coordenadas de totei lei ponchs que se pòdon construire amb la règla e lo compàs son de nombres constructibles, la qüadratura dau cercle es impossibla: se pòt pas construire, solament amb la règla e lo compàs, un carrat que sa superfícia seriá la d'un cercle donat . Aqueu resultat es important istoricament, car la qüadratura dau cercle es un dei problèmas celèbres de geometria elementària que nos leguèron lei matematicians grècs de l'Antiquitat.
Representacion decimala
Lei 50 premierei chifras de l'escritura decimala de π son:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 Vejatz lei liames extèrnes per mai de decimalas.
Mentre qu'a l'ora d'ara, se conois mai de 1012 decimalas de π , dins leis aplicacions s'utiliza fòrça rarament mai d'un desenau de chifras. Per exemple, l'aproximacion de π que s'obtèn en conservant lei 39 premierei decimalas sufís per calcular la circonferéncia d'un cercle que sei dimensions son aquelei de l'univèrs observable amb una precision de l'òrdre dau rai d'un atòm d'idrogèn .
Estent que π es irracionau, sa representacion decimala es illimitada e non periodica. La seguida dei decimalas de π a totjorn pivelat matematicians e amators, e s'es consacrat abòrd d'esfòrç dins lei darriers sègles per obtenir de mai en mai de decimalas e n'estudiar lei proprietats . Se conois ara mai de mila miliards de decimalas de π. Maugrat lei recèrcas efectuadas, se i es decelat ges d'estructura, e lo nombre π sembla de se comportar coma un generador de nombres aleatòris. Lei chifras de la representacion decimala de π son disponiblas subre fòrça paginas d'Internet; existis de logiciaus de calcul dei decimalas de π que ne pòdon determinar de miliards e que se pòt installar sus un ordinator personau quin que siá.
D'autra part, lo desvolopament decimau de π duèrbe d’autrei questions, en particular de saber se π es un nombre normau, valent a dire se sei chifras en escritura decimala son equirepartidas. Òm se pòt tanben demandar se π es un nombre univèrs, çò es se se pòt trobar dins son desvolopament decimau una sequéncia predefinida de chifras, quina que siá (per exemple: ). Uei, se conois pas de respònsa a aquelei questionsConférence de Jean-Paul Delahaye, le nombre pi est-il simple o compliqué ?, mardi 3 octobre 2006, cité des sciences, consultable aicí.
Aproximacion de π
Se pòt trobar empiricament una valor aproximada de π, per mejan d'un grand cercle que se'n mesura lo diamètre e la circonferéncia, puis en devesissent la circonferéncia per lo diamètre. Una autre encaminament geometric, atribuit a Arquimèdes , consistís a calcular lo perimètre Pn d'un poligòn regular de n costats circonscrich a un cercle de diamètre d. S'obtèn alora π gràcias a la formula:
Au mai lo nombre n de costats dau poligòn es grand, au mai es precisa l'aproximacion de π per lo quocient Pn / d. Arquimèdes determinèt la precision dau metòde en comparant lo perimètre dau poligòn circonscrich amb aqueu d'un poligòn regular dau meteis nombre de costats inscrich dins lo cercle. Amb dos poligòns de 96 costats, establiguèt que: 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.
Tanben se pòt obtenir de valors aproximadas de π per mejan de metòdes d'analisi matematica. La màger part dei formulas que s'utiliza per calcular π se fondan subre sei proprietats analiticas e son de mau comprendre sensa conoissenças en trigonometria e calcul integrau. Pasmens, d'unei son pron simplas, coma la formula de Leibniz:
Mai aquela seria convergís tròp lentament e, maugrat sa simplicitat aparenta, pòt pas servir tala e quala per calcular d'aproximacions de π (fau gaireben 300 tèrmes per obtenir doas decimalas exactas). Pasmens, es possible d'accelerar la convergéncia: se definís a partir de la precedenta una autra seguida que convergís vèrs π fòrça mai rapidament, en pausant:
e en definissent:
.
Lo calcul de demanda aperaquí lo meteis temps qu'aqueu que fau per obtenir lei 150 premiers tèrmes de la seria iniciala, mai la precision es ben melhora: es una aproximacion qu'a 9 decimalas exactas.
Utilizacion en matematicas e en sciéncias
Lei formulas interessantas que contenon π son innombrablas e apareisson dins gaireben totei lei domenis dei matematicas e dei sciéncias. Una dei pus celèbras après aquelei que pertòcan la definicion geometrica de π es l’identitat d'Euler. Aquela formula es estada presentada coma la formula « mai remarcabla » per sa particularitat de far intervenir 1, 0, e, i e, de segur, π, que son entre lei nombres pus « remarcables » dei matematicas.
Geometria
Lo nombre π apareis dins fòrça formulas de geometria pertocant lei cercles e leis esfèras
Forma geometricaFormulaCirconferéncia d’un cercle de rai r e de diamètre dAira d’un disque de rai rAira interiora a una ellipsa de semiaxes a e bVolum d’una bola de rai rAira d’una esfèra de rai rVolum d’un cilindre d'autor h e de rai rAira extèrna d’un cilindre d'autor h e de rai rVolum d’un còn d'autor h e de rai rAira extèrna d’un còn d'autor h e de rai r L'aira d’un cilindre circonscrich a l'esfèra e de meteissa autor es egala a la de l'esfèra. Tanben se tròba π dins l'expression deis airas e volums deis iperesfèras (de mai de 3 dimensions). La mesura d’angle 180° (en gras) es egala a π radians.
En geometria euclidiana, la soma deis angles d’un triangle es egala a π. En geometria non euclidiana, aquela soma pòt èsser superiora o inferiora a π, e lo repòrt de la circonferéncia dau cercle a son diamètre pòt tanben diferir de π.
Autrei definicions
La definicion istorica e usuala dau nombre π (lo repòrt de la circonferéncia d’un cercle a son diamètre) es inadaptada per desgatjar lei proprietats dau nombre π, que sòrton largament dau quadre de la geometria. Per semblant ai foncions cosinus e sinus que se definisson intuitivament en partent dau cercle trigonometric mai rigorosament per mejan dei serias de poténcias, se pòt definir analiticament lo nombre π, permetent son estudi gràcias ais instruments de l’analisi.
Lei proprietats exp(z+w)=exp(z)exp(w) e exp(0)=1 que resultan de la definicion analitica de l’exponenciala fan que l’aplicacion es un morfisme de grops continu dau grop additiu vèrs lo grop multiplicatiu (onte es l’ensemble dei nombres complèxes que son modul vau 1). Se demòstra puei que l’ensemble dei nombres reaus t taus que exp(it) = 1 es de la forma onte a es un reau estrictament positiu. Se definís alora . Lo calcul integrau permet puei de verificar qu'aquela definicion abstracha correspònd a aquela de la geometria euclidiana.
Lo grop Bourbaki prepausa una autra definicion fòrça vesina en demostrant qu'existís un morfisme de grop f continu de vèrs tau que f(1/4) = i. Demòstra qu'aqueu morfisme es periodic de periòde 1, derivable e qu’existís un reau a tau que, per tot reau x, f'(x) = 2iaf(x). Definís alora π = a.
Lei dos metòdes precedents consistisson en realitat a rectificar lo cercle siá amb la foncion siá amb la foncion
Mai se pòt tanben definir π gràcias au calcul integrau en pausant:
çò qu'equivau a calcular l’aira d’un quart de disc.