thumb|right|Lo simbòl de l'infinit
Lo mot « infinit » (del latin finitus, « limitat »), es un adjectiu servent a qualificar una causa qu'a pas de limit en nombre o en grandor. L'infinit es tanben un nom masculin significant : (matematicas) Concèpte per designar çò qu'es superior a tot nombre real. L’infinit es abitualament notat ∞. (filosofia) Çò qu'es pas finit, çò qu'a pas de fin. (mai corrent) Natura, caractèr de çò que finís pas, o sembla pas de finir.
Dins las matematicas S'encontra las grandors infinidas dins divèrsas brancas de las matematicas, jol doble aspècte de nombre segon la teoria dels nombres cardinals e de lespaci segon la teoria de la mesura. Aqueles dos aspèctes son pas exactament los meteisses, atal un segment o un disc an una infinitat de ponts mas una mesura finida.
Dins la teoria dels ensembles
Un ensemble E es infinit se e solament se, es equipotent a cap d'interval bornat de N, o d'un biais equivalent, s'existís al mens una familha non voida de sosensembles de E qu'a pas d'element minimal per l'inclusion. Alfred Tarski Sur les ensembles finis 1924 Fund. Math. t.6 p.45, p.95Patrick Suppes Axiomatic set theory Van Nostrand 265 p.Roland Fraïssé Logique mathématique, t.1 Gauthier-Villars París 1971, p. 12-13-14
Ensembles infinits denombrables
Un ensemble infinit se ditz denombrable se e solament se, existís una bijeccion entre el meteis e N. Intuitivament, un ensemble infinit es denombrable se e solament se, se pòt « enumerar » los seus elements: lo « primièr » element, lo « segond » element, lo « tresen » element, seguent atal sans s'arrestar.
Per exemple, se pòt mostrar que l'ensemble Q dels nombres racionals es denombrable.
L'ensemble N2 = N x N dels parelhs d'entièrs naturals es el meteis denombrable, perque a tot parelh (p,q), se pòt associar lo nombre n = [(p+q)(p+q+1)/2] + p, J. Garsoud, Analyse mathématique, Dunod París 1968 p.29 e se verificarà aisidament que la foncion atal definida es injectiva.
Dins l'exemple çai sus, l'enumeracion dels parelhs es « efectiva » : lo procèssus per enumerar es un procèssus calculatòri, un algoritme. Mas se pòt fòrça plan aver mostrat qu'un ensemble es infinit denombrable, per exemple en mostrant qu'es un sosensemble dels entièrs e pòt pas èsser finit, sens èsser capable de donar un procèssus efectiu d'enumeracion. Vejatz ensemble recursivament enumerable.
Se s'admet l'axiòma de la causida, e solament dins aquela condicion, Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38 tot ensemble E es en correspondéncia biunivòca amb un ordinal; lo pus pichon ordinal per que E es equipotent es alara par definicion lo cardinal de E.
Lo cardinal d'un ensemble finit es un nombre entièr natural.
Lo cardinal d'un ensemble infinit se ditz « transfinit ». Lo cardinal (se ditz tanben « poténcia ») dels ensembles infinits denombrables es notat (« aleph-zèro »).
Ensembles infinits non denombrables Un ensemble infinit non denombrable se pòt pas metre en bijeccion amb N. Se pòt pas establir una lista de sos elements.
Per l'ensemble dels nombres reals es çò meteis. Los nombres reals forman un còrs commutatiu totalament ordenat R, arquimedian e tal que tota partida majorada admet una bòrna superiora ; R es l'unic còrs, alevat d'isomorfisme, per satisfar aquelas proprietats ; es lo sus-còrs minimal de Q per satisfar lo critèri de Cauchy.
L'ensemble dels reals compreses entre 0 e 1 es ja non denombrable : la demostracion se fa amb l'argument de la diagonala de Cantor.
Se ditz que R a la poténcia del continú, sa poténcia (o son cardinal) es , lo cardinal de l'ensemble de las partidas de N. L'argument diagonal de Cantor mòstra al meteis temps que , lo pus pichon cardinal non denombrable, es inferior o egal a (dins ZFC). L'egalitat d'aqueles dos cardinals, que se nomena l'ipotèsi del continú, es independenta dels axiòmas de la teoria dels ensembles ZFC.
En geometria
Los pintres de la Renaissença, cercant una representacion del real que siá fidèla amb nòstra percepcion, desvolopèron los metòdes de representacion perspectiva. De linhas orizontalas parallèlas « se còpan a l'infinit » dins l'espaci e a un punt sul quadre; aquel punt del quadre atal que la linha d'orizont del quadre correspondon a la realitat particulara en doas dimensions (2D).
La geometria projectiva consistís a apondre a l'espaci afin usual de punts dits « a l'infinit » dins cada direccion. La tòca es de pas mai far de distincion entre drechas secantas e drechas parallèlas, aquelas darrièras avent un punt comun a l'infinit. Es un esplech de simplificacion remarcable. Per exemple, en geometria projectiva, existís pas mai qu'un sol tipe de conicas en plaça de tres.
En optica geometrica
Un objècte situat « a l'infinit » es una font emetent de rais luminoses parallèls, Un imatge se forma « a l'infinit » quand los rais luminoses que lo forman son parallèls.
Un uèlh normal (emmetròp) o corregit deu veire net un imatge a l'infinit (Punctum remotum).
En topologia compactificacion L'apondi d'un element ∞ dins un espaci topologic localament compacte permet de rendre aquel espaci compacte. S'agís de la compactificacion d'Alexandroff.
Siá un espaci topologic localament compacte, son compactificat es l'espaci , ont es un element exterior a E, e U' es obtengut de U en li apondent totes los complementaris dins dels compactes de .
Se pòt alara definir los « vesinatges de l'infinit » : s'agís de tota partida contenent un dubèrt de U'\ U.
complecion
En fisica
Al començament del sègle XX, la fisica se trobèt dins l'impossibilitat d'explicar divèrses fenomèns C. W. Misner, Kip Thorne & John Wheeler : Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), chapitre 44., que lo fach qu'un còrs negre a l'equilibre termodinamic es supausat rainar un flux infinit. Aquel problèma foguèt resolgut per l'introduccion dels quanta per Planck, aquò forma la basa de la fisica quantica.
Dins lo quadre de la relativitat generala, lo Big Bang condusís, dins son interpretacion ninòia, cap a l'aparicion de valors infinidas (se parla quitament de singularitats) a l'origina dels temps, aportant atal la pròva que nòstras coneissenças fisicas actualas son pas capablas de descriure aquela epòca alunhada de l'istòria de l'Univèrs.
Dins de brancas de la fisica, coma la teoria quantica dels camps o la fisica estatistica, los cercaires poguèron eliminar las divergéncias indesiradas de la teoria amb de tecnicas matematicas de renormalizacion. Aquelas tecnicas se son pas poscudas fins ara aplicadar a la teoria de la gravitacion.
En filosofia Es la primièra de las quatre antinomias de Kant exprimida dins la Critica de la rason pura : TÈSI : « Lo monde a un començament dins lo temps ; es bornat dins l’espaci. » Seriá, en efèit, absurde d’admetre una seria al meteis temps infinida e realizada. La totalitat dels èssers o dels fenomèns forma un nombre que despassa nòstra imaginacion, mas qu'es un nombre real, e l’infinit despassa totes los nombres. Lo passat conten un nombre d’èssers e de fenomèns que cada instant apond. Es contradictòri de nomenar infinit çò qu'aumenta o pòt aumentar. Lo meteis rasonament refuta l'eternitat del passat : l’eternitat es infinida, non aumentabla e cada instant aumenta lo passat. ANTITÈSI : « Lo monde a pas de començament o de bòrnas ; es infinit dins lo temps e dins l’espaci. » Se lo monde foguèsse eternal e sens mesura, n'envelopariá doncas d’un temps e d’un espaci voide. Mas un temps voide ne renclausís pas cap de causa, pas cap de condicion, pas cap de possibilitat de començament, res auriá jamai pogut començar. Bornar lo monde dins lo temps, es anientar aquel. E un espaci voide es res. Dire qu’un espaci voide limita lo monde, dire que lo monde es limitat par res, es dire dins un meteis temps que lo monde es limitat e qu’es pas limitat.
En teologia En Índia, dempuèi l'antiquitat, la religion jaïnista considerava lo monde coma infinit.
Las religions monoteïstas an generalament una nocion d'infinitat (o per precisar las nocions d'eternitat e de transcendéncia), quita se son mens formalizadas que la nocion matematica correspondenta.
Una de las primièras manifestacions d'aquela nocion remonta a l'Egipte anciana, del temps d'Akhenaton, amb lo culte del dieu Aton (1939) Sigmund Freud Der Mann Moses und die monotheistische Religion, Ed. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main - 1964 Jaina mathematics, J J O'Connor et E F Robertson..
Dins los exemples precedents, l'idèa de transcendéncia es associada a una nocion d'espaci o de temps infinit. A l'epòca modèrna Cantor associèt tanben l'infinit l'infinitat numerica, considerant que sos trabalh suls nombres cardinals e ordinals avián d'implicacions teologicas.§3.2, Erkenntnis, The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set, Ignacio Jané, May 1995
Istòria Usatge e operabilitat de las quantitats infinidas L'infinit potencial pels ancians Los matematicians totjorn utilizèron l'apartenéncia e l'inclusion mas aguèron las pus grandas dificultats a formular amb aquelas relacions de teorèmas suls nombres e sus las grandors. Atal Euclides, en plaça de dire que l'ensemble dels nombres primièrs es infinit, diguèt . Atal, Aristòtel refusa de considerar qu'una linha drecha es compausada de punts.
Galileo Galilei remarca qu'existís una correspondéncia biunivòca entre los nombres e lors carrats, d'aquò dedutz que l'afirmacion comuna se verifica pas quand se tracta de quantitats infinidas Galileo Galilei Opere, Ristampa della Edizione Nazionale, Barbara Firenze 129-39, t. 8 pp.78-80. Pasmens, i pas cap de motivacion per l'estudi dels ensembles infinits, i vei la pròva del caractèr non operacional de tals ensembles, posicion aprovada mai de dos sègles aprèp per Cauchy. Bourbaki, Éléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58 Atal doncas, quasiment fins a l'epòca modèrna, los matematicians an pas volgut utilizar dirèctament los ensembles infinits e an preferit rasonar « en compreneson » sus las proprietats de lors elements. Se contentavan alara de la possibilitat d'aumentar tota grandor donada, o de la demenir se s'agís d'una grandor continua Bourbaki, Éléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV pp.57-58.
Aquò empacha pas la naissença de calcul infinitesimal, atal la frasa , doncas, atal que o reconeis Bourbaki, Bourbaki, Éléments de mathématiques, Diffusion CCLS 1977, EIV p.58 aquela posicion aviá permés de desvolopaments importants tot en pausant de parabandas.
L'infinit potencial pels constructivistas modèrnes
Eissit de la « crisi dels fondaments » del començament del sègle XX, lo corrent intuicionista promogut per Brouwer, refusa los metòdes de la logica classica, supausada de s'aplicar pas en tot cas als objèctes infinits.Brouwer sembla pasmens pas refusar l'infinit actual. Dins sa Dissertation de 1907, p. 97, escriguèt: - Citat per Michel Bourdeau La critique de la théorie des ensembles dans la dissertation de Brouwer Math. & Sci. hum. / Mathematics and Social Sciences (41e année, n° 164, 2003, p. 29-43) Uèi ara aquel tèrme d'intuicionista s'aplica a una axiomatizacion ben precisa de la logica sens tèrç exclús. Una fòrma de filosofia matematica que se revendica volontièrs d'aquela de Brouwer es la del corrent constructivista, qu'un representant conegut, Roger Apéry expausèt atal la concepcion de l'infinit: Obratge collectiu « Penser les mathématiques », collòqui de l'ENS, Ed Seuil 1982 p.63 ISBN 2-02-006061-2 exposé en ligne
Se vei segon aquel tèxte que pels constructivistas, contrariament al punt de vista majoritari que considèra densembles que lors partidas son donadas simultaneament, las matematicas an per objècte un procèssus, que sas estapas se construisson sequencialament; perque per eles s'agís ben d'una activitat umana; diguèt Apéry.
L'infinit actual e lo temps