L'algèbra es una branca majora dei matematicas coma la teoria dei nombres, la geometria e l'analisi matematica. Apareguda tre l'Antiquitat, a conegut d'evolucions importantas dempuei lei sègles XVII e XVIII. Dins sa forma pus tradicionala, s'interèssa a la resolucion sistematica deis eqüacions e ai proprietats deis operacions. Es ansin a l'origina de l'introduccion de mai d'un simbòl dei matematicas modèrnas (« + », « × », etc.). Dins sa forma pus recenta, l'algèbra s'interèssa ais estructuras algebricas, es a dire ais ensembles d'elements munits d'un ò de plusors lèis de composicion (addicion, multiplicacion, etc.). Es fòrça liada a la teoria deis ensembles qu'es una dei teorias pus fondamentalas dei matematicas.
L'algèbra elementària es considerada coma una basa de l'ensenhament dei matematicas e constituís sovent una partida importanta dei programas deis escòlas elementàrias. Lei partidas pus complèxas forman l'algèbra abstracha qu'es una disciplina estudiada per de matematicians professionaus. Leis aplicacions de l'algèbra son nombrosas dins leis autrei disciplinas scientificas ò tecnicas car leis estructuras algebricas son fòrça utilizadas per modelizar de fenomèns naturaus (fisica, quimia, etc.) ò per representar de problemas abstrachs (informatica, etc.).
Istòria
L'emergéncia de l'algèbra
thumb|right|Fac-simile d'una pagina dei Nòu Capítols sus l'art matematic.
L'algèbra es apareguda durant l'Antiquitat Auta en Egipte e en Mesopotamia coma o mòstra de tractats matematics egipicians ò babilonians. Un dei pus vièlhs es lo papirús Rhind, escrich durant la premiera mitat dau sègle XVIII avC(en) Annette Imhausen, « Egyptian Mathematics », dins Victor J. Katz, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : A Sourcebook, Princeton University Press, 2007, p. 12.. Es una compilacion de 87 problemas d'aritmetica, d'algèbra e de geometria. Descriu lei metòdes utilizats per leis Egipcians per resòuvre d'eqüacions simples dau tipe ax = b ò ax + bx = c sensa mestrejar de mejans simples per nòtar lei fraccions(en) Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science, A Source Book, American Philosophical Society, 1999.. Per aquò, avián besonh de conóisser lei valors de a, de b e de c.
Durant la Dinastia Qin, lei Chinés desvolopèron d'aspèctes suplementaris regardant la resolucion d'eqüacions simplas que son expausats dins Lei Nòu Capítols sus l'art matematic, obratge redigit entre lei sègles II e I avCSegon lo matematician Liu Hui (vèrs 225-295), autor d'un comentari sus lei Nòu Capítols, lo tèxte es eissit d'una sintèsi de plusors trabalhs redigits durant lo rèine de l'emperaire Qin Shi Huang (246-221 avC).. En particular, capitèron d'identificar la forma generala dei solucions d'una eqüacion de tipe ax = b quand lei valors de a e de b son desconegudas, d'utilizar de chifras negativas e de fraccions e de resòuvre d'eqüacions amb mai d'una inconeguda.
La màger part dei resultats chinés foguèron descubèrts, d'un biais independent, per lei Grècs. La figura majora d'aqueu trabalh es Diofant d'Alexàndria (sègle II ò III apC ?) qu'es de còps subrenommat « lo paire de l'algèbra ». Èra capable de resòuvre d'eqüacions de plusors inconegudas, d'utilizar de chifras negatives, de manipular de nombres racionaus positius e de definir de signes especifics per marcar una inconeguda particulara ò per representar la sostraccion.
Leis eqüacions dei segond, tresen e quatren gras
La cèrca sistematica dei solucions d'una eqüacion es una etapa importanta dins la formacion de l'algèbra car menèt a d'interrogacions sus la natura dei nombres e deis operacions.
Lo segond gras
thumb|right|Fac-simile de la premiera pagina de l'Abreujat dau calcul per la restauracion e la comparason d'Al-Khawarizmi (mòrt en 850), obratge considerat coma la fondacion de l'algèbra actuala.
Leis eqüacions dau segond gras (ò eqüacions qüadraticas) èran conegudas per lei matematicians de Babilònia au sègle XVIII avC(fr) Jens Høyrup, L'algèbre au temps de Babylone, Vuibert/Adapt, coll. « Inflexions », 2010, p. 39.. Lei tecnicas de resolucion èran similaras ai metòdes actuaus amb d'adaptacions au sistèma sexagesimau babilonian e a l'impossibilitat d'utilizar de nombres negatius. De mai, en l'abséncia de notacions algebricas, leis eqüacions e lei solucions èran presentadas sota forma de problema(fr) Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte anciennes, Presses Univ. Septentrion, 1994.. Lei Grècs aguèron de problemas similars dins l'ensemble dei nombres racionaus positius. Desvolopèron ansin de metòdes de resolucion geometrica.
Pasmens, lei Grècs s'interessèron tanben a d'eqüacions fòrça complèxas dau tipe ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0. Dichas eqüacions diofantianas, entraïnèron l'aparicion de l'analisi indeterminada que menèt au desvolopament d'un important domeni de l'algèbra a partir de la Renaissença. En parallèl, lei geomètras descurbiguèron de grandors derivadas de longor, çò que permetèt l'estudi d'expressions coma ò . Dichas apotòmis, foguèron a l'origina de la nocion de binòmi, de trinòmi e de polinòmi.
Dins lo rèsta dau mond, leis Indians, lei Chinés e leis Arabs desvolopèron tanben de metòdes sofisticats de resolucion deis eqüacions dau segond gras. En particular, Brahmagupta (598-668) escriguèt la formula dau discriminant d'un biais clar e explicit. Puei, Abd al-Hamid ibn Turk (sègle IX) establiguèt l'existéncia de solucions negativas e Abu Kamil (vèrs 850-930) aquela de solucions irracionalas(en) Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, dins Helaine Selin e Ubiratan D'Ambrosio, Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, 2000.. Durant aqueu periòde, lo matematician iranian Al-Khawarizmi (mòrt en 850) inventèt lo tèrme algèbra dins un obratge sus la resolucion d'eqüacions. Enfin, Yang Hui (1238-1298) mostrèt l'existéncia d'eqüacions amb de coefficients negatius(en) Colin Ronan, The Shorter Science and Civilisation in China, Cambridge University Press, 1985, p. 15..
Lo tresen e lo quatren gras
D'eqüacions dau tresen gras (ò eqüacions cubicas) èran conegudas per lei Babilonians segon de documents datant dau sègle XX au sègle XVI avC(en) Roger Cooke, The History of Mathematics, Wiley, 2012, p. 63.. Foguèron tanben estudiadas per leis Egipcians, lei Grècs, leis Indians e lei Chinés. Pasmens, lei limits dei matematicas anticas complicavan lo problema en despiech de succès enregistrats per Diofant e per l'autor dei Nòu Capítols. D'efiech, foguèt necessari d'esperar l'Edat Mejana per observar de progrès significatius amb lei trabalhs de Wang Xiaotong (vèrs 580-640), que capitèt de resòuvre 25 tipes d'eqüacions cubicas, e de Omar Khayyam (1048-1131), que demostrèt la possibilitat de solucions multiplas, e de Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213) qu'introduguèt de metòdes novèus per analizar un polinòmi (calcul de la derivada, etc.).
La resolucion sistematica deis eqüacions cubicas foguèt l'òbra d'un ensemble de matematicians italians de la Renaissença. Après de trabalhs mau coneguts de Scipione dal Ferro (1465-1526) e de Niccolo Tartaglia (1499-1557)D'efiech, a aquela epòca, lei matematicians europèus gardavan sei conoissenças secrètas ò lei partejavan unicament amb un grop reduch d'amics e d'estudiants. Ansin, lei metòdes de resolucion desvolopats per Ferro e Tartaglia son desconeguts., Gerolamo Cardano (1501-1576) publiquèt un metòde de resolucion en 1545 permetent de trobar lei solucions deis eqüacions dau tresen e quatren grasLo metòde de resolucion deis eqüacions dau quatren gras èra estat descubèrt per Ludovico Ferrari (1522-1565), un disciple de Cardano.. Dins aquò, Cardano aguèt de dificultats amb leis eqüacions de discriminant negatiu que tènon una solucion reala e doas solucions non realas.
La descubèrta dei nombres complèxes
thumb|right|Fac-simile de la premiera utilizacion dei signes « + » e « – » (en 1489).
Se Gerolamo Cardano assaièt d'imaginar de solucions non realas ais eqüacions cubicas, esplechèt pas son idèa. Aquò foguèt l'òbra de Raffaele Bombelli (1526-1572), un de seis estudiants, qu'escriguèt un important tractat d'algèbra entre 1557 e 1560 onte mostrèt sa capacitat de manipular de racinas negativas. En estudiant lei formulas de Cardano, introduguèt l'unitat imaginària, notada i, que son carrat es egau a -1. Prepausèt tanben lei notacions piu, meno, piu di meno e meno di meno per exprimir respectivament l'addicion, la sostraccion, +i e -i.
Aquela descubèrta permetèt de concebre l'espaci dei nombres complèxes e de resòuvre leis eqüacions amb un discriminant negatiu. Aguèt luòc dins un contèxte d'estructuracion dei sabers dau periòde que veguèt la mesa en plaça dei matematicas modèrnas e una definicion pus precisas deis operacions. En particular, foguèron definits : la notacion x per nòtar una inconeguda, idèa introducha per Michael Stifel (1486 ò 1487 - 1567). l'usatge de letras per designar lei grandors coneguts ò desconegudas. Fòrça importanta, aquela practica foguèt desvolopada per François Viète (1540-1603). la notacion 10n, imaginada per Nicolas Chuquet (entre 1445 e 1455 - 1488), per escriure lei grands nombres. lei signes « + » e « – » inventats per Johann Widmann (vèrs 1460-1498). lo signe « = » creat per Robert Recorde (vèrs 1512-1558). lo signe « × » que son invencion es generalament atribuïda a William Oughtred (1574-1660).
La descubèrta deis estructuras algebricas
La descubèrta dei nombres complèxs e l'estabilizacion dei notacions permetèron ai matematicians de realizar un ensemble de progrès que constituïsson lo fondament de l'algèbra actuala.
La descubèrta de l'anèu dei polinòmis
Au sègle XVII, l'estudi dei polinòmis menèt a la descubèrta d'una novèla estructura abstracha qu'es uei dicha anèu. Lei polinòmis èran coneguts dempuei l'Antiquitat e lei temptativas de Diofant d'Alexàndria per resòuvre certaneis eqüacions. Foguèron tornarmai estudiats per René Descartes (1596-1650) que s'interessèt ai proprietats dei polinòmis de forma P(x ; y) = 0. Rapidament, mostrèron de proprietats particularas coma la possibilitat de realizar d'addicions e de multiplicacions onte lei gras s'ajustan. En parallèl, foguèron identificats, principalament per Simon Stevin (1548-1620), de polinòmis impossibles de descompausar que tènon un ròtle similar ai nombres premiers dins l'ensemble ℝ. Ansin, foguèt descubèrt lo premier anèu intègre euclidian, causa importanta qu'entraïnèt l'emergéncia de la nocion d'estructura algebrica.
La descubèrta dei quaternions
thumb|right|Representacion grafica de la multiplicacion dins l'ensemble dei quaternions.
L'exploracion de l'ensemble dei nombres complèxs foguèt un aisse important dau desvolopament dei matematicas dei sègles XVII e XVIII. Aquò permetèt de melhorar lei conoissenças sus l'algèbra dins un còrs. Pasmens, lei recèrcas foguèron complicadas per la definicion, encara mau segura, dei nombres imaginaris. Vèrs la fin dau sègle XVIII e au començament dau sègle XIX, lei matematicians Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822) e John Warren (1796-1852) aguèron l'idèa d'utilizar una marca cartesiana per representar geometricament lei nombres complèxs. Aquò permetèt de'n facilitar la comprenença e la difusion. En 1831, aquò menèt a l'establiment definitiu dau tèrme « complèx » a l'iniciativa de Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Lèu, l'idèa de representar lei complèxs sus un plan entraïnèt de reflexions per assaiar de crear de nombres similars correspondent a tres dimensions. Argand foguèt un precursor d'aqueu trabalh que permetèt d'estudiar lei proprietats deis espacis vectoriaus. L'etapa decisiva foguèt passada per William Rowan Hamilton (1805-1865) en 1843. D'efiech, descurbiguèt l'impossibilitat d'establir un sistèma de nombres sus un espaci de tres dimensions mai trobèt l'existéncia d'un espaci de dimension 4. Dichs quaternions, son basats sus lei nombres i, j e k e lei relacions i2 = j2 = k2 = ijk = -1.