La teoria dels nombres es la brancha de las matematicas qu'estúdia las proprietats dels nombres entiers. Tradicionalament estachaa a las matematicas puras, s'interèssa mai que mai a las nocions de divisibilitat, als nombres prumiers, a la descompausicion en factors, a las congruéncias e a la resolucion de las eqüacions diofantinas.
Es una de las mai ancianas branchas de las matematicas que son existéncia es solidament atestaa durant l'Antiquitat en Mesopotamia e en Grècia. Lo saber grec foguèc prolonjat per los sabents arabomusulmans de l'Edat Mejana. Puei, a partir dau segle XVI, se difusèc larjament en Euròpa onte venguèc una disciplina importanta amb de matematicians coma Fermat, Euler, Lagrange e Legendre. Pasmens, foguèc Carl Friedrich Gauss que li donèc sa forma moderna dins lo corrent de la prumiera mitat dau segle XIX. Despuei aqueu periòde, la teoria dels nombres es demoraa un champ fòrça actiu de las matematicas amb de problemas famós que son totjorn sensa solucion coma l'ipotesi de Riemann o la conjectura de Goldbach.
Au niveu tecnic, la disciplina es devesia en quatre domenis principaus que son caracterizats per la natura dels metòdes emplegats : la teoria elementària utiliza unicament d'otís aritmetics. la teoria analitica aplica los metòdes de l'analisi a l'estudi dels nombres prumiers. la teoria algebrica es fondaa sus de nocions eissias de l'algebra abstracha. la teoria geometrica, egalament fòrça abstracha, es basat sus de tecnicas de representacion geometrica dels nombres. Fins au segle XX, l'ensemble d'aquelas recherchas èra considerat coma teoric car las aplicacions practicas èran quasi inexistentas. Pasmens, despuei lo desvolopament de las tecnologias informaticas modernas, la teoria dels nombres es vengua una basa importanta dei sistemas de chiframent utilizats en criptografia.
Istòria
Lo periòde antic
L'estudi de las proprietats dels nombres entiers es una activitat matematica fòrça anciana. D'efiech, tre l'Antiquitat, plusors civilizacions s'interessèron als nombres per de rasons practicas, especulativas o misticas. Per exemple, tre lo començament dau milleni II avC, de matematicians babilonians èran capables de manipular de relacions aritmeticas complexas coma l'illustran los triplets pitagoricians escrichs sus la tauleta Plimpton 322 vers 1800 avC(en) Eleanor Robson, « Words and pictures: new light on Plimpton 322 », Amer. Math. Month., vol. 109, n° 2, 2002, pp. 105-120.(en) Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, Copenaga, Munksgaard, 1951.(en) Daniel F. Mansfield, « Plimpton 322: A Study of Rectangles », Foundations of Science, vol. 26, n° 4, decembre de 2021, pp. 977–1005.. Puei, l'aritmetica prenguèc una dimension mai matematica en Grècia amb l'escòla pitagoriciana qu'estudièc mai sistematicament las proprietats dels nombres (pars, impars, figurats, perfectes, etc.)(fr) Paul-Henri Michel, De Pythagore à Euclide, contribution à l'histoire des mathématiques préeuclidiennes, París, Société d'édition Les Belles Lettres, 1950, 699 p..
L'apòrt mai duradís de l'Antica Grèga figura dins los Elements d'Euclides (v. 300 avC). Plusors libres i son consacrats a l'aritmetica e expausan de resultats fondators, demostrats d'un biais rigorós. En particular, Euclides i presentèt l'algoritme que pòrta son nom, permetent de calcular lo mai grand divisor de dos nombres, una demostracion de l'infinitat dels nombres prumiers e un ligam entre los nombres perfectes e una certanha familha de nombres prumiers(fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des sciences. De l'Antiquité à nos jours, París, Éditions Tallandier, colleccion « Texto », 2022, pp. 36-38.. Puei, vers lo segle III apC, Diofant d'Alexàndria marquèc l'istòria de las matematicas amb la publicacion de las Aritmeticas, un recuelh de problemas que participèc d'un biais decisiu a l'emergéncia de la teoria dels nombres moderna après sa redescuberta au segle XVI(fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des sciences. De l'Antiquité à nos jours, París, Éditions Tallandier, colleccion « Texto », 2022, pp. 41-42..
De l'Edat Mejana a la Renaissença
Après lo declin de la sciéncia greca, l'estudi dels nombres contunhèc mai que mai dins lo monde arabomusulman que recuelhèc e perlonjèc l'eiretatge antic. A partir dau segle IX, los matematicians de lenga aràbia traduguèron las òbras grecas, especialament Euclides e Diofant, e desvolopèron l'aritmetica. Difusèron pereu lo sistema de numeracion de posicion d'origina indiana que, amb lo zerò, anava revolucionar los metòdes de calcul. Plusors sabents s'interessèron ansin a de questions relevant de la teoria dels nombres. Per exemple, Thabit ibn Qurra (836-901) enoncièc un teorema permetent de construire de nombres amiables(fr) + (en) Roshdi Rashed (dir.), Thabit ibn Qurra, Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad, De Gruyter, 2009.. D'autres, coma Alhazen (965-1039) estudièron de problemas ligats als nombres prumiers e a las congruéncias. Ansin, en Orient Mejan, se formèc una tradicion d'estudi dels nombres figurats, perfectes e amiables.
Aquelas coneissenças se difusèron pauc a cha pauc en Occident. Au segle XIII, Leonardo Fibonacci (v. 1170-1250) aguèc un ròtle centrau dins aquela transmission dau saber arabi en Euròpa gràcias a son Liber abaci(fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des sciences. De l'Antiquité à nos jours, París, Éditions Tallandier, colleccion « Texto », 2022, pp. 53-54.. I introduguèc la seguia de nombres que pòrta son nom. Pasmens, d'un biais generau, la teoria dels nombres ela meteissa interessèc pauc los matematicians europeus de l'Edat Mejana. Aquò chambièc a la Renaissença après la traduccion dels tèxtes de Diofant per Bachet de Meziriac (1581-1638) en 1621.
Lo periòde classic
La teoria dels nombres moderna naissèc durant lo segle XVII amb Pèire de Fermat (1601-1665). Magistrat tolosenc e matematician, estudièc las Aritmeticas de Diofant e enoncièc fòrça resultats fondamentaus dins de nòtas e dins sa correspondéncia(fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des sciences. De l'Antiquité à nos jours, París, Éditions Tallandier, colleccion « Texto », 2022, pp. 65-66.. En particular, descurbèc lo pichon teorema que pòrta son nom e plusors resultats sus los nombres prumiers o sus la representacion d'entiers sota forma de carrats(fr) Paul Tannery e Charles Henry, Œuvres de Fermat, tome deuxième, correspondance, París, Gauthier-Villars et cie, 1894, p. 209.. Pasmens, es mai que mai famós per la conjectura a l'origina dau darrier teorema de Fermat, laissaa en nòta sus son exemplari de las òbras de Diofant, afirmant l'inexisténcia d'entiers estrictament positius verificant l'eqüacion xn + yn = zn per n superior a 2. Los trabalhs per la demostrar durèron fins a 1994 e permetèron de desvolopar plusors domenis distints de las matematicas.
Au segle XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) donèc una impulsion considerabla a la disciplina. Demostrèc plusors resultats enonciats per Fermat, desvolopèc l'estudi de las congruéncias e introduguèc de metòdes analitics inedits, çò que permetèc d'establir de ligams inesperats entre la teoria dels nombres e l'analisi. Durant lo meteis periòde, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) presentèc plusors demostracions rigorosas de resultats importants, coma aqueu dau teorema afirmant que tot nombre entier pòt s'escriure sota la forma d'una soma de quatre carrats(fr) Joseph-Louis Lagrange, « Démonstration d'un théorème d'arithmétique », Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, 1770, pp. 123-133.(fr) Alexandre Junod, « Sommes de deux et quatre carrés », Bulletin de la SSPMP, vol. 144, 2020, pp. 45-49.. Trabalhèc pereu sus las formas qüadraticas e las eqüacions diofantianas. Puei, Adrien-Marie Legendre (1752-1833) menèt de recherchas sus lo despartiment dels nombres prumiers e formulèc la lei de reciprocitat qüadratica, mas ne'n poguèc pas trobar una demostracion completa(en) Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws : from Euler to Eisenstein, Springer, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2000..
Los trabalhs de Gauss e l'emergéncia de la teoria moderna
La teoria dels nombres prenguèc sa forma moderna au començament dau segle XIX amb Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerat coma un dels matematicians mai importants de l'istòria. D'efiech, en 1801, publiquèt las Disquisitiones Arithmeticae, un obratge que tornèc fondar la disciplina e permetèc de definir la teoria dels nombres coma una brancha autonòma de las matematicas. Gauss i desvolopèc e i sistematizèc la nocion de congruéncia, çò que menèc a la formacion de l'aritmetica modulara. I donèc pereu la prumiera demostracion completa de la lei de reciprocitat qüadratica e i presentèc sos estudis de las formas qüadraticas generalas e dels nombres entiers complexes(en) Catherine Goldstein, Norbert Schappacher e Joachim Schwermer, The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae, Springer, 2010.(en) G. Waldo Dunnington, « Gauss, His Disquisitiones Arithmeticae, and His Contemporaries in the Institut de France », National Mathematics Magazine, vol. 9, n° 7, 1935, pp. 187-192..
Durant la resta dau segle XIX, la teoria dels nombres se ramifiquèc amb d'aprefondiments considerables dins mai d'un domeni. Per exemple, lo matematician alemand Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) aguèc l'ideia d'aplicar los metòdes de l'analisi a la teoria dels nombres. Demostrèc ansin un important teorema sus los nombres prumiers en progression aritmetica, e pausèc las basas de la teoria analitica dels nombres. Autre exemple major, Bernhard Riemann (1826-1866) presentèc en 1859 una foncion, la foncion dzeta, ligaa au despartiment dels nombres prumiers. Puei, formulèc una conjectura, l'ipotesi de Riemann que permetriá, a partir d'aquela foncion, de melhorar la coneissença generala dels nombres prumiers(fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des sciences. De l'Antiquité à nos jours, París, Éditions Tallandier, colleccion « Texto », 2022, pp. 88-89.. Pasmens, a l'ora d'ara, la demostracion d'aquela conjectura es totjorn l'objecte de recherchas.
La teoria dels nombres contemporanea
Après los trabalhs d'estructuracion dau segle XIX, la teoria dels nombres se desvolopèc dins mai d'una direccion durant lo segle XX. Aquò permetèc d'establir de ligams mai e mai estrechs amb d'autras branchas de las matematicas. Per exemple, tre 1896, Jacques Hadamard (1865-1963) e Charles de La Vallée Poussin (1866-1962) trobèron d'un biais independent una demostracion dau teorema dels nombres prumiers(fr) Jacques Hadamard, « Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques », Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 24, Société Mathématique de France, 1896, pp. 199-220.(fr) Charles-Jean de la Vallée Poussin, « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1896, 20 B e 21 B.. Succès major de la teoria analitica e de las ideas de Riemann, aquela demostracion permetèc de precisar la rarefaccion progressiva dels nombres prumiers.