No campo matemático da topologia diferencial, o colchete de Lie de campos vetoriais, também é conhecido como colchete de Jacobi – Lie ou comutador de campos vetoriais. O Colchete de Lie é um operador que atribui a quaisquer dois campos vetoriais e de uma variedade suave um terceiro campo vetorial denotado por .
Conceitualmente, o colchete de Lie pode ser interpretado como a derivada de ao longo do fluxo gerado por , e às vezes também é denotado por ("Derivada de Lie de Y ao longo de X"). Isso pode ser generalizado como a derivada de Lie de qualquer campo tensorial ao longo do fluxo gerado por .
O colchete de Lie é uma operação R - bilinear que transforma o conjunto de todos os campos vetoriais suaves de uma variedade em uma álgebra de Lie (de dimensão infinita).
O Colchete de Lie desempenha um papel importante em áreas como geometria diferencial e na topologia diferencial, por exemplo no teorema de integrabilidade de Frobenius, e também é fundamental na teoria geométrica de sistemas de controle não lineares .
VI Arnold se refere a esse fenômeno como a "derivada do pescador", pois podemos imaginar um pescador segurando uma vara de pescar, sentado em um barco. Tanto o barco quanto a bóia de pesca estão fluindo de acordo com um campo vetorial , e o pescador alonga/encolhe e gira a vara de pescar de acordo com o campo vetorial . O colchete de Lie é a quantidade de arrasto do flutuador de pesca em relação à água ao redor.
Definições Existem três maneiras conceitualmente distintas, embora equivalentes, para definir o colchete de Lie:
Campos vetoriais como derivações Cada campo vetorial suave em uma variedade pode ser considerado um operador diferencial atuando em funções suaves (onde e é de classe ) quando nós definimos como outra função cujo valor em um ponto é a derivada direcional de no ponto na direção . Desta forma, cada campo vetorial suave torna-se uma derivação em . Além disso, qualquer derivação sobre surge de um campo vetorial suave único .
Em geral, o comutador de quaisquer duas derivações e também é uma derivação, em que denota a composição de operadores. Isso pode ser usado para definir o colchete de Lie como o campo vetorial correspondente à derivação do comutador:
Fluxos e Limites Seja o fluxo associado ao campo vetorial , e denote o pushforward . Então o Colchete de Lie de e no ponto pode ser definido como a Derivada de Lie :
Isso também é uma forma de medida da falha do fluxo nas direções para voltar ao ponto :
Em coordenadas Embora as definições acima do Colchete de Lie sejam intrínsecas, isto é, independem da escolha das coordenadas na variedade , na prática, muitas vezes deseja-se calcular o colchete de lie em termos de um sistema de coordenadas específico . E, para isso, escrevemos para a base local associada do fibrado tangente, de modo que campos vetoriais gerais possam ser escritos e para funções suaves . Então o Colchete de Lie pode ser obtido como:
Se é (um subconjunto aberto de) , então os campos vetoriais e podem ser escritos como mapas suaves da forma e , e o colchete de Lie é dado por:
em que e são Matrizes Jacobianas de dimensão ( e respectivamente) multiplicando o vetores de coluna e .
Propriedades O colchete de Lie dos campos vetoriais mune o espaço vetorial real de todos os campos vetoriais em (ou seja, seções suaves do fibrado tangente ) com a estrutura de uma álgebra de Lie, o que significa que [ •, • ] é um mapa com:
R - bilinearidade Anti-simetria, Identidade de Jacobi,
Uma consequência imediata da segunda propriedade é que para qualquer .
Além disso, existe uma " regra do produto " para colchetes de Lie. Dada uma função suave (escalar) sobre e um campo vetorial sobre , obtemos um novo campo vetorial multiplicando o vetor pelo escalar em cada ponto . Então:
em que multiplicamos uma função escalar por um campo vetorial , e a função escalar com o campo vetorial . Isso transforma os campos vetoriais com o colchete de Lie em um algebroide de Lie .
Percorrer o colchete de Lie de e significa que seguir os fluxos nessas direções define uma superfície mergulhada em , com e como campos vetoriais de coordenadas:
Teorema: se os fluxos de e comutam localmente, o que significa para todos e suficientemente pequeno , .
Este é um caso especial do teorema de integrabilidade de Frobenius .
Exemplos Para um Grupo de Lie , sua correspondente álgebra de Lie, denotada por é o espaço tangente na identidade , que pode ser identificado com o espaço vetorial de campos vetoriais invariantes à esquerda em . O colchete de Lie de dois campos vetoriais invariantes à esquerda também é invariante à esquerda, o que define a operação de colchete de Jacobi-Lie .
Para um grupo de Lie matricial, cujos elementos são matrizes , cada espaço tangente pode ser representado como matrizes: , onde significa o produto de matrizes e é a matriz identidade. O campo vetorial invariante correspondente a é dado por , e um cálculo mostra o colchete de Lie em corresponde ao comutador usual de matrizes:
Generalizações Como mencionado acima, a derivada de Lie pode ser vista como uma generalização do colchete de Lie. Outra generalização do colchete de Lie (para formas diferenciais com valor vetorial ) é o colchete de Frölicher–Nijenhuis .
Referências
Bibliografia
Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives. For generalizations to infinite dimensions.
Categoria:Geometria riemanniana Categoria:Topologia diferencial Categoria:Geometria diferencial Categoria:Operadores bilineares