Na matemática, um polinômio simétrico é um polinômio em variáveis, tal que, se quaisquer das variáveis forem permutadas, obtém-se o mesmo polinômio. Formalmente, é um polinômio simétrico se, para qualquer permutação dos índices , tem-se .
Os polinômios simétricos surgem naturalmente no estudo da relação entre as raízes de um polinômio de uma variável e seus coeficientes, uma vez que os coeficientes podem ser dados por expressões polinomiais nas raízes, e todas as raízes desempenham um papel semelhante neste cenário. Deste ponto de vista, os polinômios simétricos elementares são os polinômios simétricos mais fundamentais. De fato, um teorema chamado teorema fundamental dos polinômios simétricos afirma que qualquer polinômio simétrico pode ser expresso em termos de polinômios simétricos elementares. Isso implica que toda expressão polinomial simétrica nas raízes de um polinômio mônico pode, alternativamente, ser dada como uma expressão polinomial nos coeficientes do polinômio.
Os polinômios simétricos também formam uma estrutura interessante por si mesmos, independentemente de qualquer relação com as raízes de um polinômio. Neste contexto, outras coleções de polinômios simétricos específicos, como os homogêneos completos, os de soma de potências e os polinômios de Schur, desempenham papéis importantes ao lado dos elementares. As estruturas resultantes, e em particular o anel de funções simétricas, são de grande importância na combinatória e na teoria de representação.
Exemplos Os seguintes polinômios em duas variáveis X1 e X2 são simétricos:
assim como o seguinte polinômio em três variáveis X1, X2, X3:
Existem muitas maneiras de construir polinômios simétricos específicos em qualquer número de variáveis (veja os vários tipos abaixo). Um exemplo de uma natureza um pouco diferente é
onde primeiro se constrói um polinômio que muda de sinal sob qualquer troca de variáveis e, ao tomar o seu quadrado, torna-se completamente simétrico (se as variáveis representarem as raízes de um polinômio mônico, este polinômio fornece o seu discriminante).
Por outro lado, o polinômio em duas variáveis
não é simétrico, pois se trocarmos e obteremos um polinômio diferente, . Da mesma forma, em três variáveis
possui simetria apenas sob permutações cíclicas das três variáveis, o que não é suficiente para ser um polinômio simétrico. Contudo, o seguinte é simétrico:
Aplicações
Teoria de Galois
Um contexto no qual as funções polinomiais simétricas ocorrem é no estudo de polinômios univariados mônicos de grau n que possuem n raízes em um dado corpo. Essas n raízes determinam o polinômio e, quando são consideradas como variáveis independentes, os coeficientes do polinômio são funções polinomiais simétricas das raízes. Além disso, o teorema fundamental dos polinômios simétricos implica que uma função polinomial f das n raízes pode ser expressa como (outra) função polinomial dos coeficientes do polinômio determinado pelas raízes se e somente se f for dada por um polinômio simétrico.
Isso fornece a abordagem para resolver equações polinomiais invertendo este mapa, "quebrando" a simetria – dados os coeficientes do polinômio (os polinômios simétricos elementares nas raízes), como se pode recuperar as raízes. Isso leva ao estudo das soluções de polinômios usando o grupo de permutação das raízes, originalmente na forma de resolventes de Lagrange, posteriormente desenvolvido na teoria de Galois.
Relação com as raízes de um polinômio univariado mônico Considere um polinômio mônico em t de grau n
com coeficientes ai em algum corpo K. Existem n raízes x1,...,xn de P em algum corpo possivelmente maior (por exemplo, se K for o corpo dos números reais, as raízes existirão no corpo dos números complexos); algumas das raízes podem ser iguais, mas o fato de que se tem todas as raízes é expresso pela relação
Comparando os coeficientes, descobre-se que
Estas são, de fato, apenas instâncias das fórmulas de Viète. Elas mostram que todos os coeficientes do polinômio são dados em termos das raízes por uma expressão polinomial simétrica: embora para um dado polinômio P possa haver diferenças qualitativas entre as raízes (como pertencer ao corpo base K ou não, serem raízes simples ou múltiplas), nada disso afeta a maneira como as raízes ocorrem nestas expressões.
Agora pode-se mudar o ponto de vista, tomando as raízes em vez dos coeficientes como parâmetros básicos para descrever P, e considerando-as como indeterminadas em vez de constantes num corpo apropriado; os coeficientes ai então tornam-se apenas os polinômios simétricos particulares dados pelas equações acima. Esses polinômios, sem o sinal , são conhecidos como os polinômios simétricos elementares em x1, ..., xn. Um fato básico, conhecido como o teorema fundamental dos polinômios simétricos, afirma que qualquer polinômio simétrico em n variáveis pode ser dado por uma expressão polinomial em termos desses polinômios simétricos elementares. Segue-se que qualquer expressão polinomial simétrica nas raízes de um polinômio mônico pode ser expressa como um polinômio nos coeficientes do polinômio e, em particular, que o seu valor reside no corpo base K que contém esses coeficientes. Assim, ao trabalhar apenas com tais expressões polinomiais simétricas nas raízes, é desnecessário saber qualquer coisa particular sobre essas raízes, ou computar em qualquer corpo maior do que K no qual essas raízes possam residir. De fato, os valores das raízes em si tornam-se um tanto irrelevantes, e as relações necessárias entre coeficientes e expressões polinomiais simétricas podem ser encontradas através de cálculos apenas em termos de polinômios simétricos. Um exemplo de tais relações são as identidades de Newton, que expressam a soma de qualquer potência fixada das raízes em termos dos polinômios simétricos elementares.Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1
Tipos especiais de polinômios simétricos
Existem alguns tipos fundamentais de polinômios simétricos nas variáveis X1, X2, ..., Xn.
Polinômios simétricos elementares
Para cada inteiro não negativo k, o polinômio simétrico elementar ek(X1, ..., Xn) é a soma de todos os produtos distintos de k variáveis distintas. (Alguns autores o denotam por σk). Para k = 0 existe apenas o produto vazio, de modo que e0(X1, ..., Xn) = 1, enquanto para k > n, nenhum produto pode ser formado, então ek(X1, X2, ..., Xn) = 0 nestes casos. Os restantes n polinômios simétricos elementares são blocos de construção para todos os polinômios simétricos nestas variáveis: como mencionado acima, qualquer polinômio simétrico nas variáveis consideradas pode ser obtido a partir destes polinômios simétricos elementares usando apenas multiplicações e adições. Na verdade, têm-se os seguintes fatos mais detalhados: qualquer polinômio simétrico P em X1, ..., Xn pode ser escrito como uma expressão polinomial nos polinômios ek(X1, ..., Xn) com 1 ≤ k ≤ n; esta expressão é única a menos da equivalência de expressões polinomiais; se P possui coeficientes inteiros, então a expressão polinomial também possui coeficientes inteiros. Por exemplo, para n = 2, os polinômios simétricos elementares relevantes são e1(X1, X2) = X1 + X2, e e2(X1, X2) = X1X2. O primeiro polinômio na lista de exemplos acima pode então ser escrito como
(para uma prova de que isso é sempre possível, veja o teorema fundamental dos polinômios simétricos).
Polinômios simétricos monomiais Potências e produtos de polinômios simétricos elementares resultam em expressões bastante complicadas. Se procurarmos blocos de construção aditivos básicos para polinômios simétricos, uma escolha mais natural é tomar aqueles polinômios simétricos que contêm apenas um tipo de monômio, com apenas as cópias necessárias para obter a simetria. Qualquer monômio em X1, ..., Xn pode ser escrito como X1α1...Xnαn onde os expoentes αi são números naturais (possivelmente zero); escrevendo α = (α1,...,αn), isto pode ser abreviado para X α. O polinômio simétrico monomial mα(X1, ..., Xn) é definido como a soma de todos os monômios xβ onde β percorre todas as permutações distintas de (α1,...,αn). Por exemplo, tem-se ,
Claramente mα = mβ quando β é uma permutação de α, então normalmente considera-se apenas aqueles mα para os quais α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αn, em outras palavras, para os quais α é uma partição de um inteiro. Estes polinômios simétricos monomiais formam uma base de espaço vetorial: todo polinômio simétrico P pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios simétricos monomiais. Para fazer isso, basta separar os diferentes tipos de monômios que ocorrem em P. Em particular, se P tiver coeficientes inteiros, então a combinação linear também terá.
Os polinômios simétricos elementares são casos particulares de polinômios simétricos monomiais: para 0 ≤ k ≤ n, tem-se onde α é a partição de k em k partes iguais a 1 (seguido por n − k zeros).
Polinômios simétricos de soma de potências
Para cada inteiro k ≥ 1, o polinômio simétrico monomial m(k,0,...,0)(X1, ..., Xn) é de interesse especial. É o polinômio simétrico de soma de potências, definido como
Todos os polinômios simétricos podem ser obtidos a partir dos primeiros n polinômios simétricos de soma de potências através de adições e multiplicações, possivelmente envolvendo coeficientes racionais. Mais precisamente, Qualquer polinômio simétrico em X1, ..., Xn pode ser expresso como uma expressão polinomial com coeficientes racionais nos polinômios simétricos de soma de potências p1(X1, ..., Xn), ..., pn(X1, ..., Xn). Em particular, os polinômios de soma de potências restantes pk(X1, ..., Xn) para k > n podem ser expressos desta forma nos primeiros n polinômios de soma de potências; por exemplo
Em contraste com a situação dos polinômios simétricos elementares e homogêneos completos, um polinômio simétrico em n variáveis com coeficientes inteiros não precisa ser uma função polinomial com coeficientes inteiros dos polinômios simétricos de soma de potências. Por exemplo, para n = 2, o polinômio simétrico
possui a expressão
Usando três variáveis, obtém-se uma expressão diferente
A expressão correspondente era válida também para duas variáveis (basta definir X3 como zero), mas uma vez que envolve p3, não poderia ser usada para ilustrar a afirmação para n = 2. O exemplo mostra que o fato da expressão para um dado polinômio simétrico monomial em termos dos primeiros n polinômios de soma de potências envolver coeficientes racionais pode depender de n. Contudo, coeficientes racionais são sempre necessários para expressar polinômios simétricos elementares (exceto os constantes, e e1 que coincide com a primeira soma de potências) em termos de polinômios de soma de potências. As identidades de Newton fornecem um método explícito para fazer isso; este método envolve divisão por inteiros até n, o que explica os coeficientes racionais. Devido a essas divisões, a afirmação mencionada falha em geral quando os coeficientes são tomados num corpo de característica finita; no entanto, é válida com coeficientes em qualquer anel que contenha os números racionais.
Polinômios simétricos homogêneos completos
Para cada número inteiro não negativo k, o polinômio simétrico homogêneo completo hk(X1, ..., Xn) é a soma de todos os monômios distintos de grau k nas variáveis X1, ..., Xn. Por exemplo
O polinômio hk(X1, ..., Xn) é também a soma de todos os polinômios simétricos monomiais distintos de grau k em X1, ..., Xn, como por exemplo para o caso dado
Todos os polinômios simétricos nestas variáveis podem ser construídos a partir dos homogêneos completos: qualquer polinômio simétrico em X1, ..., Xn pode ser obtido a partir dos polinômios simétricos homogêneos completos h1(X1, ..., Xn), ..., hn(X1, ..., Xn) através de multiplicações e adições. Mais precisamente: