Em matemática, a coomologia de álgebra de Lie é uma teoria de coomologia para álgebras de Lie. Foi introduzida pela primeira vez em 1929 por Élie Cartan para estudar a topologia dos grupos de Lie e espaços homogêneos ao relacionar os métodos coomológicos de Georges de Rham às propriedades da álgebra de Lie. Mais tarde, foi estendida por Claude Chevalley e Samuel Eilenberg (1948) para coeficientes em um módulo de Lie arbitrário.

Motivação Se é um grupo de Lie compacto e simplesmente conexo, então ele é determinado por sua álgebra de Lie, de modo que deveria ser possível calcular sua coomologia a partir da álgebra de Lie. Isso pode ser feito da seguinte forma. Sua coomologia é a coomologia de Rham do complexo de formas diferenciais em . Usando um processo de cálculo de média, este complexo pode ser substituído pelo complexo de formas diferenciais invariantes à esquerda. As formas invariantes à esquerda, por sua vez, são determinadas por seus valores na identidade, de modo que o espaço de formas diferenciais invariantes à esquerda pode ser identificado com a álgebra exterior da álgebra de Lie, provido de uma diferencial adequada.

A construção dessa diferencial em uma álgebra exterior faz sentido para qualquer álgebra de Lie, portanto, ela é usada para definir a coomologia da álgebra de Lie para todas as álgebras de Lie. Mais genericamente, utiliza-se uma construção semelhante para definir a coomologia da álgebra de Lie com coeficientes em um módulo.

Se é um grupo de Lie não compacto simplesmente conexo, a coomologia da álgebra de Lie da álgebra de Lie associada não reproduz necessariamente a coomologia de de Rham de . A razão para isso é que a passagem do complexo de todas as formas diferenciais para o complexo das formas diferenciais invariantes à esquerda usa um processo de cálculo de média que só faz sentido para grupos compactos.

Definição Seja uma álgebra de Lie sobre um anel comutativo R com a álgebra envolvente universal , e seja M uma representação de (equivalentemente, um módulo ). Considerando R como uma representação trivial de , definem-se os grupos de coomologia

(veja o Funtor Ext para a definição de Ext). Equivalentemente, estes são os funtores derivados à direita do funtor do submódulo invariante exato à esquerda

Analogamente, pode-se definir a homologia da álgebra de Lie como

(veja o Funtor Tor para a definição de Tor), que é equivalente aos funtores derivados à esquerda do funtor de coinvariantes exato à direita

Alguns resultados básicos importantes sobre a coomologia de álgebras de Lie incluem o lema de Whitehead, o teorema de Weyl e o teorema da decomposição de Levi.

Complexo de Chevalley-Eilenberg

Seja uma álgebra de Lie sobre um corpo , com uma ação à esquerda sobre o módulo . Os elementos do complexo de Chevalley-Eilenberg

são chamados de cocadeias (cochains) de para . Uma -cocadeia homogênea de para é, portanto, uma função -multilinear alternada . Quando é finitamente gerada como um espaço vetorial, o complexo de Chevalley-Eilenberg é canonicamente isomorfo ao produto tensorial , onde denota o espaço dual de .

O colchete de Lie em induz uma aplicação transposta por dualidade. O último é suficiente para definir uma derivação do complexo de cocadeias de para estendendo de acordo com a regra de Leibniz graduada. Segue da Identidade de Jacobi que satisfaz e é, de fato, uma diferencial. Neste cenário, é visto como um módulo trivial, enquanto pode ser pensado como constantes.

Em geral, denotemos por a ação à esquerda de sobre e a consideremos como uma aplicação . A diferencial de Chevalley-Eilenberg é então a derivação única estendendo e de acordo com a regra de Leibniz graduada, sendo a condição de nilpotência decorrente do homomorfismo da álgebra de Lie de para e da identidade de Jacobi em .

Explicitamente, a diferencial da -cocadeia é a -cocadeia dada por:

onde o circunflexo significa omitir aquele argumento.

Quando é um grupo de Lie real com a álgebra de Lie , o complexo de Chevalley-Eilenberg também pode ser canonicamente identificado com o espaço das formas invariantes à esquerda com valores em , denotado por . A diferencial de Chevalley-Eilenberg pode então ser pensada como uma restrição da derivada covariante no fibrado trivial , equipada com a conexão equivariante associada à ação à esquerda de em . No caso particular em que está equipado com a ação trivial de , a diferencial de Chevalley-Eilenberg coincide com a restrição da diferencial de de Rham em para o subespaço de formas diferenciais invariantes à esquerda.

Coomologia em dimensões pequenas O zero-ésimo grupo de coomologia é (por definição) os invariantes da álgebra de Lie agindo no módulo:

O primeiro grupo de coomologia é o espaço de derivações módulo o espaço das derivações internas , onde uma derivação é um mapeamento da álgebra de Lie para tal que

e é chamada de interna se for dada por

para algum em .

O segundo grupo de coomologia

é o espaço das classes de equivalência de extensões de álgebra de Lie

da álgebra de Lie pelo módulo .

Semelhantemente, qualquer elemento do grupo de coomologia fornece uma classe de equivalência de maneiras de estender a álgebra de Lie para uma "-álgebra de Lie" com no grau zero e no grau . Uma -álgebra de Lie é uma álgebra de Lie homotópica com termos não nulos apenas nos graus 0 a .

Exemplos Coomologia no módulo trivial Quando , como mencionado anteriormente, o complexo de Chevalley-Eilenberg coincide com o complexo de de-Rham para um grupo de Lie compacto correspondente. Neste caso, carrega a ação trivial de , portanto para cada .

O zero-ésimo grupo de coomologia é . A primeira coomologia: dada uma derivação , para todo e , de modo que as derivações satisfaçam para todos os comutadores; com isso, o ideal está contido no núcleo de . Se , como é o caso das álgebras de Lie simples, então , de modo que o espaço de derivações é trivial, e a primeira coomologia também é trivial. Se é abeliano, ou seja, , então qualquer funcional linear é, de fato, uma derivação, e o conjunto de derivações internas é trivial, pois satisfazem para qualquer . Então o primeiro grupo de coomologia neste caso é . À luz da correspondência de de-Rham, isso demonstra a importância do pressuposto compacto, já que este é o primeiro grupo de coomologia do toro -dimensional visto como um grupo abeliano, e também pode ser visto como um grupo abeliano de dimensão , mas tem coomologia trivial. A segunda coomologia: O segundo grupo de coomologia é o espaço das classes de equivalência de extensões centrais

Álgebras de Lie simples de dimensão finita só possuem extensões centrais triviais: uma prova é fornecida aqui.

Coomologia no módulo adjunto Quando , a ação é a ação adjunta, .

O zero-ésimo grupo de coomologia é o centro A primeira coomologia: as derivações internas são dadas por , de modo que elas são precisamente a imagem de O primeiro grupo de coomologia é o espaço de derivações externas.

Ver também Formalismo BRST na física teórica. Coomologia de Gelfand-Fuks

Referências

Leitura adicional

Categoria:Teorias de coomologia Categoria:Álgebra homológica Categoria:Álgebras de Lie Categoria:Teorias de cohomologia