Na matemática, o teorema fundamental da teoria de Galois é um resultado que descreve a estrutura de certos tipos de extensões de corpos em relação a grupos. Foi provado por Évariste Galois em seu desenvolvimento da teoria de Galois.

Em sua forma mais básica, o teorema afirma que, dada uma extensão de corpos que é finita e de Galois, existe uma correspondência biunívoca entre seus corpos intermediários e os subgrupos do seu grupo de Galois. (Corpos intermediários são corpos que satisfazem ; eles também são chamados de subextensões de .)

Descrição explícita da correspondência Para extensões finitas, a correspondência pode ser descrita explicitamente da seguinte forma:

Para qualquer subgrupo de , o corpo fixo correspondente, denotado por , é o conjunto dos elementos de que são fixados por todo automorfismo em . Para qualquer corpo intermediário de , o subgrupo correspondente é , isto é, o conjunto dos automorfismos em que fixam todo elemento de .

O teorema fundamental diz que esta correspondência é uma correspondência biunívoca se (e somente se) for uma extensão de Galois. Por exemplo, o corpo superior corresponde ao subgrupo trivial de , e o corpo base corresponde a todo o grupo .

A notação é usada apenas para extensões de Galois. Se é de Galois, então . Se não é de Galois, então a "correspondência" fornece apenas um mapeamento injetivo (mas não sobrejetivo) de para , e um mapeamento sobrejetivo (mas não injetivo) na direção inversa. Em particular, se não for de Galois, então não será o corpo fixo de nenhum subgrupo de .

Propriedades da correspondência A correspondência possui as seguintes propriedades úteis:

É reversora de inclusão. A inclusão de subgrupos é válida se e somente se a inclusão de corpos for válida. Os graus das extensões estão relacionados às ordens dos grupos, de maneira consistente com a propriedade de reversão de inclusão. Especificamente, se é um subgrupo de , então e . O corpo é uma extensão normal de (ou, equivalentemente, extensão de Galois, uma vez que qualquer subextensão de uma extensão separável é separável) se e somente se for um subgrupo normal de . Neste caso, a restrição dos elementos de a induz um isomorfismo entre e o grupo quociente .

Exemplo 1 miniaturadaimagem|600x600px|Reticulado de subcorpos (esquerda) para e o Reticulado de subgrupos invertido de Considere o corpo:

Como é construído a partir do corpo base anexando , e depois , cada elemento de pode ser escrito como:

O seu grupo de Galois compreende os automorfismos de que fixam . Tais automorfismos devem enviar para ou , e enviar para ou , uma vez que eles permutam as raízes de qualquer polinômio irredutível. Suponha que troque e , então:

e que troque e , então:

Estes são claramente automorfismos de , respeitando sua adição e multiplicação. Há também o automorfismo identidade que fixa cada elemento, e a composição de e que muda os sinais em ambos os radicais:

Como a ordem do grupo de Galois é igual ao grau da extensão de corpos, , não pode haver mais automorfismos:

que é isomorfo ao grupo de Klein. Os seus cinco subgrupos correspondem aos corpos intermediários entre a base e a extensão .

O subgrupo trivial corresponde a todo o corpo de extensão . O grupo inteiro corresponde ao corpo base . O subgrupo corresponde ao subcorpo , já que fixa . O subgrupo corresponde ao subcorpo , já que fixa . O subgrupo corresponde ao subcorpo , já que fixa .

Exemplo 2 miniaturadaimagem|450x450px|Reticulado de subcorpos (esquerda) para e o Reticulado de subgrupos invertido de O caso a seguir é o exemplo mais simples onde o grupo de Galois não é abeliano.

Considere o corpo de decomposição do polinômio irredutível sobre ; isto é, onde é uma raiz cúbica de 2, e é uma raiz cúbica de 1 (mas não o próprio 1). Se considerarmos dentro dos números complexos, podemos tomar , a raiz cúbica real de 2, e . Como tem como polinômio mínimo , a extensão tem grau: com -base como no exemplo anterior. Portanto, o grupo de Galois possui seis elementos, determinados por todas as permutações das três raízes de :Uma vez que existem apenas permutações possíveis, deve ser isomorfo ao grupo simétrico de todas as permutações de três objetos. O grupo pode ser gerado por dois automorfismos e definidos por:

e , obedecendo às relações . Seus efeitos como permutações de são (na notação de ciclos): . Além disso, pode ser considerado como o mapeamento de conjugação complexa.

Os subgrupos de e os subcorpos correspondentes são os seguintes:

Como sempre, o grupo trivial corresponde a todo o corpo , enquanto o grupo inteiro corresponde ao corpo base .

O único subgrupo de ordem 3, , corresponde ao subcorpo de grau dois, uma vez que o subgrupo tem índice dois em : isto é, . Além disso, este subgrupo é normal, de modo que o subcorpo é normal sobre , sendo o corpo de decomposição de . Seu grupo de Galois sobre o corpo base é o grupo quociente , onde denota a classe lateral de módulo ; ou seja, seu único automorfismo não trivial é a conjugação complexa .

Existem três subgrupos de ordem 2, e , correspondendo respectivamente aos subcorpos . Esses subcorpos têm grau 3 sobre pois os subgrupos têm índice 3 em . Os subgrupos não são normais em , logo os subcorpos não são de Galois ou normais sobre . De fato, cada subcorpo contém apenas uma única das raízes , portanto nenhum deles possui qualquer automorfismo não trivial.

Exemplo 3 Seja o corpo de funções racionais na indeterminada , e considere o grupo de automorfismos:

aqui denotamos um automorfismo pelo seu valor , de modo que . Este grupo é isomorfo a (veja: seis razões anarmônicas). Seja o corpo fixo de , tal que .

Se é um subgrupo de , então os coeficientes do polinômio

geram o corpo fixo de . A correspondência de Galois implica que todo subcorpo de pode ser construído desta maneira. Por exemplo, para , o corpo fixo é e se então o corpo fixo é . O corpo fixo de é o corpo base , onde é o invariante escrito em termos da função modular lambda:Exemplos semelhantes podem ser construídos para cada um dos grupos de simetria dos sólidos platônicos, pois eles também possuem ações fiéis sobre a reta projetiva e, consequentemente, sobre .

Exemplo 4 Aqui damos um exemplo de uma extensão finita que não é de Galois, e com isso mostramos que (o teorema fundamental da) teoria de Galois não funciona mais quando não é de Galois.

Seja e . Então é uma extensão finita, mas não um corpo de decomposição sobre (já que o polinômio mínimo de tem duas raízes complexas que não residem em ). Qualquer é completamente determinado por e como Assim, , é o grupo trivial. Em particular, . Isto mostra que não é de Galois.

Agora, tem apenas um subgrupo, ou seja, ele próprio. O único corpo intermediário que contém é . Segue-se que a correspondência de Galois falha neste caso.

Aplicações O teorema classifica os corpos intermediários de em termos da teoria de grupos. Essa tradução entre corpos intermediários e subgrupos é fundamental para mostrar que a equação geral do quinto grau não é solúvel por radicais (ver Teorema de Abel-Ruffini). Primeiro determina-se os grupos de Galois de extensões radicais (extensões da forma onde é uma -ésima raiz de algum elemento de ), e então usa-se o teorema fundamental para mostrar que extensões solúveis correspondem a grupos solúveis.

Teorias como a Teoria de Kummer e a Teoria de corpos de classes baseiam-se no teorema fundamental.

Caso infinito Dada uma extensão algébrica infinita, ainda podemos defini-la como sendo de Galois se ela for normal e separável. O problema encontrado no caso infinito é que a bijeção do teorema fundamental não é mais válida, pois geralmente obtemos um número excessivo de subgrupos. Mais precisamente, se simplesmente pegarmos todos os subgrupos, podemos geralmente encontrar dois subgrupos diferentes que fixam o mesmo corpo intermediário. Portanto, alteramos isso introduzindo uma topologia no grupo de Galois.

Seja uma extensão de Galois (possivelmente infinita) e seja o grupo de Galois da extensão. Seja o conjunto dos grupos de Galois de todas as extensões de Galois intermediárias finitas. Note que para todos os podemos definir os mapeamentos por . Definimos então a topologia de Krull sobre como sendo a topologia mais fraca tal que para todos os os mapeamentos sejam contínuos, onde dotamos cada com a topologia discreta. Dito de outra forma, como um limite inverso de grupos topológicos (onde, novamente, cada é dotado da topologia discreta). Isso faz de um grupo profinito (de fato, todo grupo profinito pode ser realizado como o grupo de Galois de uma extensão de Galois, veja por exemplo). Note que quando é finita, a topologia de Krull equivale à topologia discreta.

Agora que definimos uma topologia no grupo de Galois, podemos reformular o teorema fundamental para extensões de Galois infinitas.

Seja o conjunto de todas as extensões de corpos intermediárias de e seja o conjunto de todos os subgrupos fechados de dotados da topologia de Krull. Então existe uma bijeção entre e dada pelo mapa

definido por e pelo mapa

definido por . Um aspecto importante que precisa ser verificado é se é um mapa bem definido, isto é, se é um subgrupo fechado de para todos os corpos intermediários . Isto é provado em Ribes–Zalesskii, Teorema 2.11.3.

Ver também

Conexão de Galois Representação de Galois Teoria de Galois Évariste Galois

Bibliografia