Em matemática, uma sequência de polinômios ortogonais é uma família de polinômios tal que quaisquer dois polinômios diferentes na sequência são ortogonais entre si sob algum produto interno.
Os polinômios ortogonais mais amplamente utilizados são os polinômios ortogonais clássicos, consistindo nos polinômios de Hermite, polinômios de Laguerre e polinômios de Jacobi. Os polinômios de Gegenbauer formam a classe mais importante de polinômios de Jacobi; eles incluem os polinômios de Chebyshev e os polinômios de Legendre como casos especiais. Estes são frequentemente dados pela fórmula de Rodrigues.
O campo dos polinômios ortogonais desenvolveu-se no final do século XIX a partir de um estudo de frações contínuas por P. L. Tchebychev e foi aprofundado por A. A. Markov e T. J. Stieltjes. Eles aparecem em uma ampla variedade de campos: análise numérica (regras de quadratura), teoria das probabilidades, teoria de representação (de grupos de Lie, grupos quânticos e objetos relacionados), combinatória enumerativa, combinatória algébrica, física matemática (a teoria de matrizes aleatórias, sistemas integráveis, etc.), e teoria dos números. Alguns dos matemáticos que trabalharam com polinômios ortogonais incluem Gábor Szegő, Sergei Bernstein, Naum Akhiezer, Arthur Erdélyi, Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam, Richard Askey e Rehuel Lobatto.
Definição para o caso de 1 variável para uma medida real
Dada qualquer função não decrescente sobre os números reais, podemos definir a integral de Lebesgue-Stieltjes
de uma função f. Se esta integral for finita para todos os polinômios f, podemos definir um produto interno em pares de polinômios f e g por
Esta operação é um produto interno positivo semidefinido no espaço vetorial de todos os polinômios, e é positivo definido se a função α tiver um número infinito de pontos de crescimento. Isso induz uma noção de ortogonalidade da maneira usual, ou seja, de que dois polinômios são ortogonais se o seu produto interno for zero.
Então a sequência de polinômios ortogonais é definida pelas relações
Em outras palavras, a sequência é obtida a partir da sequência de monômios 1, x, x2, … pelo processo de Gram-Schmidt com respeito a este produto interno.
Geralmente exige-se que a sequência seja ortonormal, isto é,
no entanto, outras normalizações são algumas vezes utilizadas.
Caso absolutamente contínuo
Algumas vezes temos
onde
é uma função não negativa com suporte em algum intervalo na reta real (onde e são permitidos). Tal é chamado de uma função peso.Demo de polinômios ortonormais obtidos para diferentes funções peso Então o produto interno é dado por
No entanto, existem muitos exemplos de polinômios ortogonais onde a medida tem pontos com medida não nula onde a função é descontínua, de modo que não pode ser dada por uma função peso como acima.
Exemplos de polinômios ortogonais
Os polinômios ortogonais mais comumente usados são ortogonais para uma medida com suporte em um intervalo real. Isso inclui: Os polinômios ortogonais clássicos (polinômios de Jacobi, polinômios de Laguerre, polinômios de Hermite, e seus casos especiais polinômios de Gegenbauer, polinômios de Chebyshev e polinômios de Legendre). Os polinômios de Wilson, que generalizam os polinômios de Jacobi. Eles incluem muitos polinômios ortogonais como casos especiais, como os polinômios de Meixner-Pollaczek, os polinômios contínuos de Hahn, os polinômios duais contínuos de Hahn, e os polinômios clássicos, descritos pelo esquema de Askey. Os polinômios de Askey-Wilson introduzem um parâmetro extra q nos polinômios de Wilson.
Os polinômios ortogonais discretos são ortogonais com respeito a alguma medida discreta. Algumas vezes a medida tem suporte finito, caso em que a família de polinômios ortogonais é finita, em vez de uma sequência infinita. Os polinômios de Racah são exemplos de polinômios ortogonais discretos, e incluem como casos especiais os polinômios de Hahn e os polinômios duais de Hahn, que por sua vez incluem como casos especiais os polinômios de Meixner, polinômios de Krawtchouk e polinômios de Charlier.
Meixner classificou todas as sequências de Sheffer ortogonais: existem apenas Hermite, Laguerre, Charlier, Meixner e Meixner-Pollaczek. De certo modo, Krawtchouk também deveria estar nesta lista, mas eles são uma sequência finita. Estas seis famílias correspondem às NEF-QVFs e são polinômios martingais para certos processos de Lévy.
Polinômios ortogonais peneirados, como os polinômios ultraesféricos peneirados, polinômios de Jacobi peneirados e polinômios de Pollaczek peneirados, têm relações de recorrência modificadas.
Também é possível considerar polinômios ortogonais para alguma curva no plano complexo. O caso mais importante (além dos intervalos reais) é quando a curva é o círculo unitário, originando os polinômios ortogonais no círculo unitário, como os polinômios de Rogers-Szegő.
Existem algumas famílias de polinômios ortogonais que são ortogonais em regiões planas como triângulos ou discos. Eles às vezes podem ser escritos em termos de polinômios de Jacobi. Por exemplo, os polinômios de Zernike são ortogonais no disco unitário.
A vantagem da ortogonalidade entre diferentes ordens de polinômios de Hermite é aplicada à estrutura de Multiplexação por Divisão de Frequência Generalizada (GFDM). Mais de um símbolo pode ser transportado em cada grade da malha tempo-frequência.
Propriedades
Polinômios ortogonais de uma variável definidos por uma medida não negativa na reta real têm as seguintes propriedades.
Relação com momentos
Os polinômios ortogonais Pn podem ser expressos em termos dos momentos
como segue:
onde as constantes cn são arbitrárias (dependem da normalização de Pn).
Isso vem diretamente da aplicação do processo de Gram-Schmidt aos monômios, impondo que cada polinômio seja ortogonal em relação aos anteriores. Por exemplo, a ortogonalidade com prescreve que deve ter a forma
o que pode ser visto como consistente com a expressão dada anteriormente com o determinante.
Relação de recorrência
Os polinômios Pn satisfazem uma relação de recorrência de três termos da forma
onde An não é 0. A recíproca também é verdadeira; veja o teorema de Favard. Essas relações de recorrência são fundamentais para derivar as propriedades dos polinômios ortogonais.
Fórmula de Christoffel-Darboux
Raízes (Zeros)
Se a medida dα tiver suporte em um intervalo [a, b], todas as raízes de Pn estarão em [a, b]. Além disso, as raízes têm a seguinte propriedade de entrelaçamento: se m < n, há uma raiz de Pn entre quaisquer duas raízes de Pm.
Interpretação combinatória
A partir da década de 1980, com o trabalho de X. G. Viennot, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata e outros, interpretações combinatórias foram encontradas para todos os polinômios ortogonais clássicos.
Outros tipos de polinômios ortogonais Polinômios ortogonais multivariados Os polinômios de Macdonald são polinômios ortogonais em várias variáveis, dependendo da escolha de um sistema de raízes afim. Eles incluem muitas outras famílias de polinômios ortogonais de múltiplas variáveis como casos especiais, incluindo os polinômios de Jack, os polinômios de Hall-Littlewood, os polinômios de Heckman-Opdam e os polinômios de Koornwinder. Os polinômios de Askey-Wilson são um caso especial dos polinômios de Macdonald para um certo sistema de raízes não reduzido de posto 1.
Polinômios ortogonais múltiplos
Polinômios ortogonais múltiplos são polinômios em uma variável que são ortogonais em relação a uma família finita de medidas.
Polinômios ortogonais de Sobolev
Estes são polinômios ortogonais em relação a um produto interno de Sobolev, isto é, um produto interno com derivadas. Incluir derivadas tem grandes consequências para os polinômios; em geral, eles não compartilham mais algumas das características úteis dos polinômios ortogonais clássicos.
Polinômios ortogonais com matrizes Polinômios ortogonais com matrizes têm coeficientes que são matrizes ou a indeterminada é uma matriz.
Existem dois exemplos populares: ou os coeficientes são matrizes ou o é: Variante 1: , onde são matrizes . Variante 2: onde é uma matriz e é a matriz identidade.
Polinômios quânticos Polinômios quânticos ou polinômios-q são os q-análogos dos polinômios ortogonais.
Polinômios oblíquo-ortogonais
Polinômios ortogonais podem ser definidos como um conjunto de base vetorial de uma forma bilinear simétrica sobre polinômios. Na base dos polinômios ortogonais, a forma bilinear se diagonaliza como . Da mesma forma, dada uma forma bilinear não degenerada e antissimétrica sobre polinômios, podemos encontrar um par de conjuntos de bases vetoriais e , tal que a forma bilinear se oblíquo-diagonaliza como .
Ver também
Sequência de Appell Esquema de Askey de polinômios ortogonais hipergeométricos Teorema de Favard Sequências polinomiais de tipo binomial Polinômios biortogonais Série de Fourier generalizada Polinômios de pseudo-Jacobi Polinômios de Romanovski Medida secundária Sequência de Sheffer Teoria de Sturm-Liouville Cálculo umbral Assintótica de Plancherel-Rotach
Referências
Bibliografia
C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, . Herbert Stahl and Vilmos Totik: General Orthogonal Polynomials, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992). G. Sansone: Orthogonal Functions, (Revised English Edition), Dover, ISBN 978-0-486-77730-0 (1991).
Categoria:Artigos contendo provas