Em matemática, especificamente topologia algébrica, um espaço de Eilenberg–MacLaneSaunders Mac Lane originalmente escrevia seu nome "MacLane" (sem espaço), e co-publicou os artigos que estabeleceram a noção de espaços de Eilenberg–MacLane sob este nome. (Veja, e.g., ) Neste contexto, é portanto convencional escrever o nome sem espaço. é um espaço topológico com um único grupo de homotopia não trivial.

Seja G um grupo e n um número inteiro positivo. Um espaço topológico conexo X é chamado de espaço de Eilenberg–MacLane do tipo , se ele tem o n-ésimo grupo de homotopia isomorfo a G e todos os outros grupos de homotopia triviais. Supondo que G seja abeliano no caso em que , espaços de Eilenberg–MacLane do tipo sempre existem e são todos fracamente homotopicamente equivalentes. Assim, pode-se considerar como referindo-se a uma classe de equivalência fraca de homotopia de espaços. É comum referir-se a qualquer representante como "um " ou como "um modelo de ". Além disso, é comum assumir que este espaço é um CW-complexo (o que é sempre possível via aproximação CW).

O nome é derivado de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, que introduziram tais espaços no final da década de 1940.

Como tal, um espaço de Eilenberg–MacLane é um tipo especial de espaço topológico que na teoria da homotopia pode ser considerado como um bloco de construção para CW-complexos via fibrações em um sistema de Postnikov. Esses espaços são importantes em muitos contextos na topologia algébrica, incluindo cálculos de grupos de homotopia de esferas, definição de operações de cohomologia e por ter uma forte conexão com a cohomologia singular.

Um espaço de Eilenberg–MacLane generalizado é um espaço que tem o tipo de homotopia de um produto de espaços de Eilenberg–MacLane .

Exemplos O círculo unitário é um . O espaço projetivo complexo de dimensão infinita é um modelo de . O espaço projetivo real de dimensão infinita é um . A soma wedge de k círculos unitários é um , onde é o grupo livre em k geradores. O complemento de qualquer nó ou grafo conexo em uma 3-esfera é do tipo ; isso é chamado de "asfericidade dos nós", e é um teorema de 1957 de Christos Papakyriakopoulos. Qualquer compacto, conexo, não positivamente curvo variedade M é um , onde é o grupo fundamental de M. Isso é uma consequência do teorema de Cartan–Hadamard. Um espaço lenticular infinito dado pelo quociente de pela ação livre para é um . Isso pode ser mostrado usando a teoria dos espaços de recobrimento e o fato de que a esfera de dimensão infinita é contrátil. Note que isso inclui como um . O espaço de configuração de pontos no plano é um , onde é o grupo de tranças puras em fios. Correspondentemente, o -ésimo espaço de configuração não ordenado de é um , onde denota o grupo de tranças de fios.Lucas Williams "Configuration spaces for the working undergraduate", arXiv, 5 de novembro de 2019. Recuperado em 2021-06-14 O produto simétrico infinito de uma n-esfera é um . Mais geralmente, é um para todos os espaços de Moore .

Alguns exemplos elementares adicionais podem ser construídos a partir destes usando o fato de que o produto é . Por exemplo, o -toro é um .

Construindo espaços de Eilenberg–MacLane Para e um grupo arbitrário, a construção de é idêntica à do espaço classificante do grupo . Note que se G tem um elemento de torção, então todo CW-complexo do tipo K(G,1) tem que ser de dimensão infinita.

Existem várias técnicas para construir espaços de Eilenberg–MacLane superiores. Uma delas é construir um espaço de Moore para um grupo abeliano : Tome a soma wedge de n-esferas, uma para cada gerador do grupo A e realize as relações entre esses geradores anexando células (n+1) através de mapas correspondentes em da dita soma wedge. Note que os grupos de homotopia inferiores já são triviais por construção. Agora mate iterativamente todos os grupos de homotopia superiores anexando sucessivamente células de dimensão maior que , e defina como o limite direto sob inclusão desta iteração.

Outra técnica útil é usar a realização geométrica de grupos abelianos simpliciais. Isso dá uma apresentação explícita de grupos abelianos simpliciais que representam espaços de Eilenberg–MacLane.

Outra construção simplicial, em termos de espaços classificantes e fibrados universais, é dada no livro de J. Peter May.

Como tomar o espaço de laços reduz os grupos de homotopia em uma posição, temos uma equivalência de homotopia canônica , portanto há uma sequência de fibração . Note que esta não é uma sequência de cofibração ― o espaço não é a cofibra homotópica de .

Esta sequência de fibração pode ser usada para estudar a cohomologia de a partir de usando a sequência espectral de Leray. Isso foi explorado por Jean-Pierre Serre enquanto ele estudava os grupos de homotopia de esferas usando o sistema de Postnikov e sequências espectrais.

Propriedades dos espaços de Eilenberg–MacLane

Bijeção entre classes de homotopia de aplicações e cohomologia Uma propriedade importante dos é que, para qualquer grupo abeliano G e qualquer CW-complexo baseado X, o conjunto de classes de homotopia baseadas de aplicações baseadas de X para está em bijeção natural com o n-ésimo grupo de cohomologia singular do espaço X. Assim, diz-se que os são espaços representantes para a cohomologia singular com coeficientes em G. Como

há um elemento distinto correspondente à identidade. A bijeção acima é dada pelo pullback desse elemento . Isso é semelhante ao lema de Yoneda da teoria das categorias.

Uma prova construtiva deste teorema pode ser encontrada aqui,Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces" , Recuperado em 2021-06-14 outra fazendo uso da relação entre omega-espectros e teorias de cohomologia reduzida generalizada pode ser encontrada aqui,Allen Hatcher "Algebraic Topology", Cambridge University Press, 2001. Recuperado em 2021-06-14 e a ideia principal também é esboçada posteriormente.

Espaços de laços e espectros Omega O espaço de laços de um espaço de Eilenberg–MacLane é novamente um espaço de Eilenberg–MacLane: . Além disso, há uma relação adjunta entre o espaço de laços e a suspensão reduzida: , o que dá a a estrutura de um grupo abeliano, onde a operação é a concatenação de laços. Isso torna a bijeção mencionada acima um isomorfismo de grupos.

Além disso, esta propriedade implica que espaços de Eilenberg–MacLane com vários n formam um omega-espectro, chamado de "espectro de Eilenberg–MacLane". Este espectro define via uma teoria de cohomologia reduzida em CW-complexos baseados e para qualquer teoria de cohomologia reduzida em CW-complexos com para há um isomorfismo natural , onde denota cohomologia singular reduzida. Portanto, essas duas teorias de cohomologia coincidem.

Em um contexto mais geral, o teorema de Brown diz que toda teoria de cohomologia reduzida em CW-complexos baseados vem de um omega-espectro.

Relação com a homologia Para um grupo abeliano fixo há aplicações nos grupos de homotopia estáveis

induzidas pela aplicação . Tomando o limite direto sobre essas aplicações, pode-se verificar que isso define uma teoria de homologia reduzida

em CW-complexos. Como se anula para , concorda com a homologia singular reduzida com coeficientes em G em CW-complexos.

Funcionalidade Segue do teorema do coeficiente universal para cohomologia que o espaço de Eilenberg–MacLane é um quase-functor do grupo; isto é, para cada inteiro positivo , se é qualquer homomorfismo de grupos abelianos, então há um conjunto não vazio

satisfazendo onde denota a classe de homotopia de uma aplicação contínua e

Relação com torres de Postnikov/Whitehead Todo CW-complexo conexo possui uma torre de Postnikov, isto é, um sistema inverso de espaços:

tal que para todo : existem aplicações comutativas , que induzem isomorfismo em para , para , as aplicações são fibrações com fibra .

Dualmente, existe uma torre de Whitehead, que é uma sequência de CW-complexos:

tal que para todo : as aplicações induzem isomorfismo em para , é n-conexo, as aplicações são fibrações com fibra .

Com a ajuda de sequências espectrais de Serre, podem ser feitos cálculos de grupos de homotopia superiores de esferas. Por exemplo, e usando uma torre de Whitehead de podem ser encontrados aqui,Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces" , Recuperado em 2021-06-14 mais geralmente aqueles de usando sistemas de Postnikov podem ser encontrados aqui.Allen Hatcher Spectral Sequences, Recuperado em 2021-04-25

Operações de cohomologia Para números naturais fixos m,n e grupos abelianos G,H, existe uma bijeção entre o conjunto de todas as operações de cohomologia e definida por , onde é a classe fundamental como definida em #Bijeção entre classes de homotopia de aplicações e cohomologia.

Como resultado, operações de cohomologia não podem diminuir o grau dos grupos de cohomologia e operações de cohomologia que preservam o grau correspondem a homomorfismos de coeficientes . Isso segue do teorema do coeficiente universal para cohomologia e da (m-1)-conexidade de .

Alguns exemplos interessantes de operações de cohomologia são os Quadrados e Potências de Steenrod, quando são grupos cíclicos finitos. Ao estudá-los, a importância da cohomologia de com coeficientes em torna-se rapidamente aparente;Cary Malkiewich "The Steenrod algebra", Recuperado em 2021-06-14 algumas tabelas extensas desses grupos podem ser encontradas aqui.Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers

(Co)homologia de grupos Pode-se definir a (co)homologia de grupos de G com coeficientes no grupo A como a (co)homologia singular do espaço de Eilenberg–MacLane com coeficientes em A.

Outras aplicações A construção do espaço de laços descrita acima é usada na teoria das cordas para obter, por exemplo, o grupo string, o grupo fivebrane e assim por diante, como a torre de Whitehead que surge da sequência exata curta

com o grupo string, e o grupo spin. A relevância de está no fato de que há as equivalências de homotopia

para o espaço classificante , e o fato de que . Observe que, como o grupo spin complexo é uma extensão de grupo , o grupo String pode ser pensado como uma extensão de grupo spin complexa "superior", no sentido da teoria de grupos superiores, uma vez que o espaço é um exemplo de um grupo superior. Pode ser pensado como a realização topológica do grupóide cujo objeto é um único ponto e cujos morfismos são o grupo . Devido a essas propriedades homotópicas, a construção se generaliza: qualquer espaço dado pode ser usado para iniciar uma sequência exata curta que mata o grupo de homotopia em um grupo topológico.

Ver também Espaço classificante, para o caso Teorema da representabilidade de Brown, sobre espaços de representação Espaço de Moore, o análogo da homologia Teorema de Hopf–Whitney, aplicação para calcular classes de homotopia Cohomologia de De rham

Notas

Referências

Bibliografia

Artigos fundacionais

Seminário de Cartan e aplicações O seminário de Cartan contém muitos resultados fundamentais sobre espaços de Eilenberg–MacLane, incluindo sua homologia e cohomologia, e aplicações para calcular os grupos de homotopia de esferas.

http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Cálculo de anéis de cohomologia integral

Derived functors of the divided power functors Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n)

Outras referências enciclopédicas Encyclopedia of Mathematics

Categoria:Teoria da homotopia