thumb|Regra de comutação canônica para variáveis de posição q e momento p de uma partícula, 1927. pq − qp = h/(2πi). Princípio da incerteza de Heisenberg, 1927 O princípio da incerteza, também conhecido como princípio da indeterminação de Heisenberg, é um conceito fundamental na mecânica quântica. Ele afirma que há um limite para a precisão com que certos pares de propriedades físicas, como posição e momento, podem ser conhecidos simultaneamente. Em outras palavras, quanto mais precisamente uma propriedade é medida, menos precisamente a outra propriedade pode ser conhecida.
Mais formalmente, o princípio da incerteza é qualquer uma de uma variedade de desigualdades matemáticas que afirmam um limite fundamental para o produto da precisão de certos pares relacionados de medições em um sistema quântico, como posição, x, e momento, p. Essas variáveis pareadas são conhecidas como variáveis complementares ou variáveis canonicamente conjugadas.
Introduzida pela primeira vez em 1927 pelo físico alemão Werner Heisenberg,Werner Heisenberg (1989), Encounters with Einstein and Other Essays on People, Places and Particles, Princeton University Press, p. 53. <ref>Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality. 1st American ed., 2008. Chap. 10, Note 37'. </ref> a desigualdade formal que relaciona o desvio padrão da posição σ<sub>x</sub> e o desvio padrão do momento σp foi derivada por Earle Hesse Kennard mais tarde naquele ano e por Hermann Weyl em 1928:
onde é a constante de Planck reduzida.
O princípio da incerteza essencialmente mecânica quântica vem em muitas formas além de posição-momento. A relação energia-tempo é amplamente usada para relacionar o tempo de vida do estado quântico a larguras de energia medidas, mas sua derivação formal é repleta de questões confusas sobre a natureza do tempo. O princípio básico foi estendido em várias direções; ele deve ser considerado em muitos tipos de medições físicas fundamentais.
Posição e momento
360px|right|thumb|A sobreposição de diversas ondas planas para formar um pacote de ondas. Este pacote de ondas se torna cada vez mais localizado com a adição de muitas ondas. A transformada de Fourier é uma operação matemática que separa um pacote de ondas em suas ondas planas individuais. As ondas mostradas aqui são reais apenas para fins ilustrativos; na mecânica quântica, a função de onda é geralmente complexa. É vital ilustrar como o princípio se aplica a situações físicas relativamente inteligíveis, uma vez que é indiscernível nas escalas macroscópicas que os humanos vivenciam. Duas estruturas alternativas para a física quântica oferecem explicações diferentes para o princípio da incerteza. A imagem da mecânica ondulatória do princípio da incerteza é mais intuitiva visualmente, mas a imagem mais abstrata da mecânica matricial o formula de uma forma que generaliza mais facilmente.
Matematicamente, na mecânica ondulatória, a relação de incerteza entre posição e momento surge porque as expressões da função de onda nas duas bases ortonormais correspondentes no espaço de Hilbert são transformadas de Fourier uma da outra (ou seja, posição e momento são variáveis conjugadas). Uma função diferente de zero e sua transformada de Fourier não podem ser nitidamente localizadas ao mesmo tempo.Ver Appendix B em Uma compensação semelhante entre as variâncias dos conjugados de Fourier surge em todos os sistemas subjacentes à análise de Fourier, por exemplo em ondas sonoras: um tom puro é um pico agudo em uma única frequência, enquanto sua transformada de Fourier dá a forma da onda sonora no domínio do tempo, que é uma onda senoidal completamente deslocalizada. Na mecânica quântica, os dois pontos-chave são que a posição da partícula assume a forma de uma onda de matéria, e o momento é seu conjugado de Fourier, assegurado pela relação de Broglie , onde é o número de onda.
Na mecânica matricial, a formulação matemática da mecânica quântica, qualquer par de operadores autoadjuntos não comutativos representando observáveis estão sujeitos a limites de incerteza semelhantes. Um autoestado de um observável representa o estado da função de onda para um certo valor de medição (o autovalor). Por exemplo, se uma medição de um observável for realizada, então o sistema está em um autoestado particular daquele observável. Entretanto, o autoestado particular do observável não precisa ser um autoestado de outro observável : Se for, então ele não tem uma medição única associada a ele, pois o sistema não está em um autoestado daquele observável.
Visualização O princípio da incerteza pode ser visualizado usando as funções de onda de posição-espaço e de momento-espaço para uma partícula sem spin com massa em uma dimensão.
Quanto mais localizada a função de onda de posição-espaço, mais provável é que a partícula seja encontrada com as coordenadas de posição naquela região e, correspondentemente, a função de onda de momento-espaço é menos localizada, de modo que os possíveis componentes de momento que a partícula poderia ter são mais difundidos. Por outro lado, quanto mais localizada a função de onda de momento-espaço, mais provável é que a partícula seja encontrada com aqueles valores de componentes de momento naquela região e, correspondentemente, menos localizada a função de onda de posição-espaço, de modo que as coordenadas de posição que a partícula poderia ocupar são mais difundidas. Essas funções de onda são transformadas de Fourier uma da outra: matematicamente, o princípio da incerteza expressa a relação entre variáveis conjugadas na transformada.
center|thumb|502px|Funções de onda de posição x e momento p correspondentes a partículas quânticas. A opacidade da cor das partículas corresponde à densidade de probabilidade de encontrar a partícula com posição x ou componente de momento p.
Topo: Se o comprimento de onda λ for desconhecido, o momento p, o vetor de onda k e a energia E também o são (relações de Broglie). Como a partícula é mais localizada no espaço de posição, Δx é menor do que para Δpx.
Embaixo: Se λ for conhecido, p, k e E também o são. Como a partícula é mais localizada no espaço de momento, Δp é menor do que para Δx.
Interpretação da mecânica ondulatória
De acordo com a hipótese de de Broglie, todo objeto no universo está associado a uma onda. Assim, todo objeto, de uma partícula elementar a átomos, moléculas e planetas e além, está sujeito ao princípio da incerteza.
A função de onda independente do tempo de uma onda plana monomodo de número de onda k0 ou momento p0 é:
A regra de Born afirma que isso deve ser interpretado como uma função de amplitude de densidade de probabilidade no sentido de que a probabilidade de encontrar a partícula entre a e b é:
No caso da onda plana monomodo, é 1 se e 0 caso contrário. Em outras palavras, a posição da partícula é extremamente incerta no sentido de que ela poderia estar essencialmente em qualquer lugar ao longo do pacote de ondas.
Por outro lado, considere uma função de onda que é uma soma de muitas ondas, que podemos escrever como:
onde An representa a contribuição relativa do modo pn para o total geral. As figuras à direita mostram como com a adição de muitas ondas planas, o pacote de ondas pode se tornar mais localizado. Podemos levar isso um passo adiante para o limite do contínuo, onde a função de onda é uma integral sobre todos os modos possíveis:
com representando a amplitude desses modos e é chamada de função de onda no espaço de momento. Em termos matemáticos, dizemos que é a transformada de Fourier de e que x e p são variáveis conjugadas. Adicionar todas essas ondas planas tem um custo, ou seja, o momento se tornou menos preciso, tendo se tornado uma mistura de ondas de muitos momentos diferentes.
Uma maneira de quantificar a precisão da posição e do momento é o desvio padrão σ. Como é uma função de densidade de probabilidade para posição, calculamos seu desvio padrão.
A precisão da posição é melhorada, ou seja, σx reduzido, usando muitas ondas planas, enfraquecendo assim a precisão do momento, ou seja, σp aumentado. Outra maneira de afirmar isso é que σx e σp têm uma relação inversa ou são pelo menos limitados por baixo. Este é o princípio da incerteza, cujo limite exato é o limite de Kennard.
Prova da desigualdade de Kennard usando mecânica ondulatória Estamos interessados nas variâncias de posição e momento, definidas como:
Sem perda de generalidade, assumiremos que as médias desaparecem, o que equivale apenas a uma mudança da origem de nossas coordenadas. (Uma prova mais geral que não faz essa suposição é dada abaixo.) Isso nos dá a forma mais simples:
A função pode ser interpretada como um vetor em um espaço de funções. Podemos definir um produto interno para um par de funçõesu(x) e v(x) neste espaço vetorial:
onde o asterisco denota o conjugado complexo.
Com este produto interno definido, notamos que a variância para a posição pode ser escrita como:
Podemos repetir isso para momento interpretando a função como um vetor, mas também podemos tirar vantagem do fato de que e são transformadas de Fourier uma da outra. Avaliamos a transformada de Fourier inversa por meio da integração por partes:
onde na integração por partes, o termo cancelado desaparece porque a função de onda desaparece em ambos os infinitos e , e então usa a função delta de Dirac que é válida porque não depende de p.
O termo é chamado de operador de momento no espaço de posição. Aplicando o teorema de Plancherel e então o teorema de Parseval, vemos que a variância para momento pode ser escrita como:
A desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que:
O módulo ao quadrado de qualquer número complexo z pode ser expresso como:
deixamos e e substituímos estes na equação acima para obter:
Só resta avaliar esses produtos internos.
Conectando isso às desigualdades acima, obtemos:
e calculando a raiz quadrada:
com igualdade se e somente se p e x são linearmente dependentes. Note que a única física envolvida nesta prova foi que e são funções de onda para posição e momento, que são transformadas de Fourier uma da outra. Um resultado similar seria válido para qualquer par de variáveis conjugadas.
Interpretação da mecânica matricial
Na mecânica matricial, observáveis como posição e momento são representados por operadores autoadjuntos. Ao considerar pares de observáveis, uma quantidade importante é o comutador. Para um par de operadores e , define-se seu comutador como:
No caso de posição e momento, o comutador é a relação de comutação canônica:
O significado físico da não comutatividade pode ser compreendido considerando o efeito do comutador nos autoestados de posição e momento. Seja um autoestado reto de posição com um autovalor constante . Por definição, isso significa que . Aplicando o comutador produz:
onde é o operador identidade.
Suponha, para fins de prova por contradição, que também é um autoestado reto de momento, com autovalor constante . Se isso fosse verdade, então poderíamos escrever:
Por outro lado, a relação de comutação canônica acima requer que:
Isso implica que nenhum estado quântico pode ser simultaneamente um autoestado de posição e momento.
Quando um estado é medido, ele é projetado em um autoestado na base do observável relevante. Por exemplo, se a posição de uma partícula é medida, então o estado equivale a um autoestado de posição. Isso significa que o estado não é um autoestado de momento, no entanto, mas pode ser representado como uma soma de vários autoestados de base de momento. Em outras palavras, o momento deve ser menos preciso. Essa precisão pode ser quantificada pelos desvios-padrão:
Assim como na interpretação da mecânica ondulatória acima, observa-se uma compensação entre as respectivas precisões dos dois, quantificadas pelo princípio da incerteza.
Estados estacionários do oscilador harmônico quântico