Os teoremas do matemático De Morgan são propostas de simplificação de expressões em álgebra booleana de grande contribuição. Definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa.
Sendo e as operações em sendo e assim definidas: Operação lógica Símbolo Exemplos OU + E Não
As leis Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}. Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis:
Lógica proposicional
Lógica booleana
Lógica booleana na eletrônica digital
O complemento, ou negação de um produto (AND) de variáveis é igual a soma(OR) dos complementos das variáveis.FLOYD, Thomas L.; Sistemas digitais: Fundamentos e aplicação, 9ª ed, página 250, Bookman, 2007, Porto Alegre O complemento, ou negação de uma soma (OR) de variáveis é igual ao produto (AND) dos complementos das variáveis.
A figura 1.1 mostra o circuito que representa o 1. Teorema e a tabela abaixo representa sua respectiva tabela verdade. frame|esquerda|100px|1.1 Teorema X Y 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0
A figura 1.2 mostra o circuito que representa o 1. Teorema e a tabela abaixo representa sua respectiva tabela verdade. 1.2 Teorema|frame|esquerda|100px|1.2 Teorema
X Y 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Observada a equivalência na saída das tabelas, isto prova o mesmo comportamento lógico.
Considere a seguinte expressão:TOCCI, Ronald; Sistemas digitais: princípios e aplicações, Ronald J. Tocci, Neal S. Widmer, Gregory L. Moss, página 65, Pearson Education, São Paulo-SP, 2007.
Aplicando os teoremas de De Morgan:
Textual Não (X E Y) = Não (X) Ou Não (Y) Não (X Ou Y) = Não (X) E Não (Y)
Generalização A ideia é que ao "aplicar" a barra (operador Não) sobre uma outra operação, esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação. Exemplos:
No caso geral, dado X um conjunto qualquer, temos MUJICA, Jorge; Notas de Topologia Geral:
Prova Se de fato então:
a)
primeiro usamos a propriedade distributiva do operador depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares
b)
Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares
Os teoremas de De Morgan são usados para provar que toda lógica booleana pode ser criada somente com portas lógicas NAND ou NOR.
Ligações externas O Teorema de De Morgan
De Morgan Categoria:Lógica Categoria:Álgebra Categoria:Probabilidade e estatística