Em teoria microeconômica e, em particular, na teoria do consumidor, a função de demanda hicksiana (também denominada função de demanda compensada) é uma função matemática que estabelece a quantidade demandada de bens em função de seus preços de mercado e de um determinado nível (mínimo) de utilidade que se pretende alcançar.
A função de demanda deve o seu nome ao economista John Richard Hicks, que formalizou o conceito de demanda compensada pela primeira vez em 1939.Cf. Jehle e Reny (2011), p. 35.
Definição e significado Representação formal Parte-se inicialmente de um problema de minimização de dispêndio (ou minimização de gastos), dado por:
sujeito a
em que a função de utilidade é contínua, estritamente crescente, diferenciável e estritamente quase-côncava. O vetor representa as quantidades demandadas dos bens e é o respectivo vetor de preços.
No problema formulado, minimiza-se o gasto total despendido nos bens da cesta de consumo, garantindo-se, contudo, a obtenção de ao menos um determinado nível de utilidade fixado. A solução de tal problema de minimização de dispêndio é, por definição, uma função que indica a quantidade de cada bem que deve ser demandada para alcançar o nível de utilidade fixado ao menor custo financeiro possível. Consequentemente, é uma função do vetor de preços e do nível de utilidade estipulado .
Denomina-se esse resultado como demanda hicksiana, denotando-se formalmente .
Representação simplificada no caso de dois bens No caso clássico de dois bens, o problema de minimização de dispêndio reduz-se a:
sujeito a .
Minimizam-se, portanto, os gastos totais com os dois bens e aos seus respectivos preços e . A solução do problema de minimização consiste em duas funções, e , que expressam, em função dos preços de todos os bens e do nível mínimo de utilidade desejado, a quantidade ótima que deve ser consumida do bem 1 e do bem 2. Tais funções são denominadas demandas hicksianas e denotadas por e .
Exemplo Neste exemplo, suponha-se que o preço do bem 1 seja e o do bem 2 seja . O consumidor obtém utilidade exclusivamente a partir desses dois bens, sendo sua função de utilidade descrita por . Para simplificar, formula-se o problema de otimização a seguir com a restrição em igualdade (), o que se justifica pelas propriedades de monotonicidade estrita da função de utilidade. O problema de minimização é:
sujeito a
A função lagrangiana correspondente é . As condições de primeira ordem para a otimização são:
Das equações (1) e (2) obtém-se e . Substituindo em (3), resultam finalmente as demandas hicksianas:
e .
Observe-se que as demandas hicksianas por ambos os bens tornam-se idênticas quando o preço do bem 2 for exatamente o dobro do preço do bem 1.
Propriedades da função de demanda hicksiana É possível demonstrar que, sob as condições estabelecidas, apresenta, entre outras, as seguintes propriedades:
Homogeneidade de grau zero em .Cf. Mas-Colell, Whinston e Green (1995), p. 61. Para qualquer escalar , tem-se . Conjunto convexo.Cf. Mas-Colell, Whinston e Green (1995), p. 61. Caso as preferências não sejam estritamente quase-côncavas, o conjunto de cestas minimizadoras de dispêndio constitui um conjunto convexo. Monotonicidade não crescente no próprio preço (efeito-preço próprio não positivo)Cf. Jehle e Reny (2011), p. 54.: A derivada parcial da demanda hicksiana do bem em relação ao seu próprio preço, , é não positiva:
Essa propriedade decorre diretamente do Lema de Shephard: como , tem-se que . Sendo a função dispêndio côncava em relação aos preços, essa derivada parcial de segunda ordem é necessariamente .
Relação com a demanda marshalliana Embora as funções de demanda hicksianas desempenhem papel fundamental em diversas áreas da teoria do consumidor, elas não são diretamente observáveis empiricamente no mercado, configurando uma construção teórica. Enquanto as funções de demanda marshallianas são passíveis de observação e estimação empírica direta — verificando-se, por exemplo, como a quantidade demandada por um indivíduo varia quando sua renda ou os preços de mercado sofrem alterações —, o mesmo não ocorre com as demandas compensadas, uma vez que o nível de utilidade subjacente não é diretamente mensurável de forma externa. Contudo, existe uma estreita relação funcional entre a demanda hicksiana e sua contraparte marshalliana, a qual permite, por exemplo, calcular a derivada da demanda hicksiana de um bem em relação ao seu próprio preço ou ao preço de outro bem — isto é, — por meio de derivadas parciais da função de demanda marshalliana (decomposição de Slutsky).
Existe, ademais, uma relação direta de dualidade funcional entre ambas as demandas:
Dualidade entre as funções de demanda marshalliana e hicksianaCf. Jehle e Reny (2011), p. 45. Seja a relação de preferência do consumidor representável por uma função de utilidade real , contínua em , estritamente crescente e estritamente quase-côncava. Sejam, ademais, a demanda marshalliana pelo bem , a função dispêndio e a função de utilidade indireta correspondente ao nível de renda . Então:
Ver também Lema de Shephard Função de demanda marshalliana Função de utilidade indireta Função dispêndio Equação de Slutsky Problema de minimização do dispêndio
Referências
Bibliografia
Categoria:Teoria do consumidor Categoria:Microeconomia