Em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.
Algebricamente, o produto escalar de dois vetores é formado pela multiplicação de seus componentes correspondentes e pela soma dos produtos resultantes. Geometricamente, é o produto das magnitudes euclidianas dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles.
O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.
Definição Geométrica thumb|300px|direita|Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção escalar de A em B. O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.
Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.
Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.
Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:
Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.
Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.
Algébrica Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como e
o produto escalar entre A e B é:
Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:
Projeção escalar A projeção escalar de um vetor a em direção a um vetor b é dada por:
,
onde é o ângulo entre a e b.
Em termos da definição geométrica do produto escalar, este pode ser reescrito como
,
onde é o vetor unitário na direção de b.
O produto escalar é, portanto, caracterizado geometricamente por
.
Propriedades
Sejam A e B dois vetores com "n" linhas e 1 coluna, ou seja, de dimensões iguais. O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades: Comutativa: . Distributiva em relação à soma de vetores: . Multiplicação por escalar: Soma de quadrados: ou seja, a multiplicação de um vetor pelo seu transposto é igual à soma de seus elementos ao quadrado. Note que essa soma é um número escalar, ou, o que é equivalente, uma matriz de dimensões 1x1.
Categoria:Álgebra linear Categoria:Cálculo vetorial Categoria:Operações binárias