miniaturadaimagem|Ernst Zermelo (1871–1953) propôs a primeira teoria axiomática dos conjuntos Na matemática, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, nomeada em homenagem aos matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel e comumente abreviada como ZFC, é um dos muitos sistemas axiomáticos que foram propostos no início do século XX para promover uma teoria dos conjuntos sem os paradoxos da teoria ingênua dos conjuntos, como o paradoxo de Russell. Especificamente, a ZFC não permite o axioma da compreensão. Atualmente, a ZFC é a forma padrão da teoria axiomática dos conjuntos, sendo o fundamento matemático mais comum.

A ZFC deve formalizar uma única noção primitiva de um conjunto hereditário bem-fundado, para que cada indivíduo no domínio de discurso seja um conjunto. Desta forma, os axiomas da ZFC se referem apenas a conjuntos, e não urelementos (elementos de conjuntos que não são conjuntos) ou classes (coleções de objetos matemáticos definidos por uma propriedade em comum de seus membros). Os axiomas da ZFC previnem seus modelos de possuírem urelementos, e classes próprias só podem ser tratadas indiretamente.

Formalmente, a ZFC é uma teoria de estruturas de lógica de primeira ordem. A assinatura possui igualdade e uma única relação binária primitiva, que é a pertinência, normalmente denotada por ∈. A fórmula a ∈ b significa que o conjunto a é membro do conjunto b (que também é lido como "a é elemento de b" ou "a está em b"). Existem várias formulações equivalentes dos axiomas da ZFC. A maioria de seus axiomas formulam a existência de conjuntos particulares definidos a partir de outros conjuntos. Por exemplo, o axioma do par diz que, dados dois conjuntos quaisquer a e b, existe um novo conjunto {a, b} contendo exatamente a e b. Outros axiomas descrevem propriedades da pertinência de conjuntos. Um dos objetivos dos axiomas da ZFC é que cada axioma deve ser verdade se interpretado como uma afirmação sobre a coleção de todos os conjuntos do universo de von Neumann (também conhecido como a hierarquia cumulativa).

A metamatemática da ZFC foi estudada extensivamente. Resultados marcantes dessa área estabeleceram a independência da hipótese do contínuo da ZFC, e o axioma da escolha dos axiomas restantes da ZFC.

História Em 1908, o lógico e matemático alemão Ernst Zermelo propôs a primeira teoria axiomática dos conjuntos, teoria dos conjuntos de Zermelo. Essa teoria axiomática não permitia a construção de números ordinais grandes. Enquanto a maioria da "matemática ordinária" pode ser desenvolvida sem usar esses ordinais grandes, eles são uma ferramenta essencial na maioria das investigações teóricas relacionadas a conjuntos. Além do mais, um dos axiomas de Zermelo invocou um conceito de propriedade "definida", cujo sentido operacional não era muito claro. Em 1922, Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem propuseram, independentemente, a operacionalização de uma propriedade "definida" como uma que fosse formulada como uma teoria de primeira ordem cujas fórmulas atômicas fossem limitadas a pertinência e identidade de conjuntos. Eles também propuseram, independentemente, a troca do axioma da separação pelo axioma da substituição. Anexando a esse esquema, assim como o axioma da regularidade (proposto primeiramente por Dmitry Mirimanoff em 1917), à teoria dos conjuntos de Zermelo produz uma teoria chamada de ZF. Adicionar à ZF o axioma da escolha (AC) ou uma afirmação similar produz a ZFC.

Os axiomas

Existem diferentes formas de expressar os axiomas de Zermelo-Fraenkel. Abaixo, estão listados os axiomas conforme Kenneth Kunen.

Na lista abaixo , dois axiomas são, na verdade, uma lista infinita de axiomas. Sabe-se que não existe uma forma de apresentar ZFC com um número finito de axiomas. Existe, porém, uma versão alternativa do axioma da substituição que implica o axioma da compreensão; isso permite escrever os axiomas da ZFC com apenas um esquema de axiomas.

Axioma da extensão

Dois conjuntos são iguais se eles têm os mesmos elementos. . A recíproca é consequência da propriedade da substituição na igualdade. Deve-se notar que em ZFC não existem urelementos, ou seja, todo elemento de um conjunto é, também, um conjunto.

Axioma da regularidade

Também chamado de Axioma da fundação, diz que todo conjunto não-vazio x contém algum elemento a tal que x e a são disjuntos, isto é, que não há elementos comuns entre eles.

Nem todas versões da Teoria incluem esse axioma; esse axioma, porém, garante que não existem conjuntos do tipo . E juntamente com o Axioma do Par garante que não existem conjuntos do tipo . Esse axioma também garante que a definição alternativa de par ordenado (a, b) = {a, {a,b}} seja satisfatória.

Axioma da separação

Também chamado de Axioma da compreensão, ou ainda Axioma de Especificação), diz que se z é um conjunto e é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade. A restrição a z é necessária para evitar o paradoxo de Russell e suas variantes. Formalmente: qualquer formula na linguagem da ZFC com variáveis livres entre :

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: cada gera um novo axioma.

Axioma do par

Se x e y são conjuntos (não necessariamente distintos) então existe um conjunto no qual x e y são elementos.

Axioma da união

Para todo conjunto existe um conjunto A tal que todo elemento que pertence a um elemento de é um elemento de A. . Esse axioma fornece a união de uma família de conjuntos.

Axioma da substituição

O objetivo é garantir que se algum esquema f, quando aplicado ao conjunto x, tem a cara de uma função, então existe um conjunto f(x). Formalmente: para toda fórmula na linguagem da ZFC com variáveis livres entre :

O símbolo significa que existe e é único.

Os Axiomas 1 a 6 provam que existe e é único para todo conjunto . Outra consequência dos axiomas precedentes é que o conjunto vazio existe e é único.

Axioma do infinito

Este axioma usa a notação , chamado de sucessor de x.

Existe um conjunto x que tem o conjunto vazio como elemento, e que, para todo elemento y, ele contém seu sucessor S(y).

Para o próximo axioma é conveniente definir como for .

Axioma da potência

Para todo conjunto x existe um conjunto y que tem como elementos todo subconjunto de x.

O próximo axioma é o mais polêmico de todos.

Axioma da escolha

Para todo conjunto X existe uma relação binária R que torna X bem ordenado. Isso significa que R é uma relação de ordem em X e que todo subconjunto não-vazio de X tem um elemento que é mínimo nesta relação R.

Kunen também inclui um axioma redundante que diz que existe pelo menos um conjunto, o que pode ser provado a partir do axioma do infinito. O axioma do par também é redundante, e pode ser deduzido dos axiomas do infinito, separação e substituição. Existem formas alternativas dos primeiros oito axiomas. Por exemplo, o axioma do par (#4) costuma se apresentar na forma seguinte: para todos conjuntos x e y existe um conjunto z cujos elementos são x, y e mais nada: . Analogamente, os axiomas da união, substituição e potência costumam ser escritos de forma que o conjunto por eles definido seja único. Essas variantes dos axiomas podem ser vistas em Jech.Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

O Axioma da escolha pode ser substituído por formas equivalentes (em outras palavras, os primeiros 8 axiomas podem provar que essas formas do axioma da escolha são equivalentes). Dentre essas a mais conhecida, e que dá origem ao nome do axioma, é a que diz que todo conjunto formado por conjuntos não vazios tem uma função escolha.

Motivação pela hierarquia cumulativa Uma motivação a favor dos axiomas da ZFC é a hierarquia cumulativa de conjuntos introduzida por John von Neumann (Shoenfield 1977, sec. 2). Nesse ponto de vista, o universo da teoria dos conjuntos é construído em etapas, sendo uma etapa para cada número ordinal. Na etapa 0 não existem conjuntos. Em cada etapa seguinte, um conjunto é adicionado ao universo se todos os seus elementos foram adicionados em etapas anteriores. Logo, o conjunto vazio é adicionado na fase 1, e o conjunto contendo o conjunto vazio é adicionado na etapa 2. A coleção de todos os conjuntos que são obtidos desta maneira, sobre todas as etapas, é conhecida como V. Os conjuntos em V podem ser organizados numa hierarquia atribuindo à cada conjunto a primeira etapa na qual esse conjunto foi adicionado à V.

É provável (demonstrável) que um conjunto está em V se e somente se o conjunto é puro e bem-fundado; e provável (demonstrável) que V satisfaz todos os axiomas da ZFC, se a classe de ordinais possui propriedades de reflexão apropriadas. Por exemplo, suponha que o conjunto x é adicionado na etapa α, o que significa que cada elemento de x foi adicionado em uma etapa anterior a α. Então cada subconjunto de x também é adicionado na etapa α, pois todos os elementos de qualquer subconjunto de x foram adicionados também antes da etapa α. Isso significa que qualquer subconjunto de x o qual o axioma da separação pode construir é adicionado na etapa α, e que o conjunto das partes de x será adicionado na próxima etapa após α. Para uma explicação completa de que V satisfaz a ZFC, veja Shoenfield (1977).

A descrição do universo de conjuntos estratificados na hierarquia cumulativa é característica da ZFC e teorias axiomáticas de conjuntos relacionadas, como a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (comumente chamada de NBG) e a teoria dos conjuntos de Morse-Kelley. A hierarquia cumulativa não é compatível com outras teorias de conjuntos como Novas Fundações.

É possível alterar a definição de V para que, em cada etapa, ao invés de adicionar todos os subconjuntos da união das etapas anteriores, subconjuntos só são adicionados se eles são definidos em um certo sentido. Isso resulta em uma hierarquia mais "estreita" que dá o universo construível L, que também satisfaz todos os axiomas da ZFC, incluindo o axioma da escolha. A questão se V = L é independente dos axiomas da ZFC. Apesar da estrutura de L ser mais regular e melhor comportada do que a de V, poucos matemáticos argumentam que V = L deva ser adicionado à ZFC como um axioma adicional.

Metamatemática Os esquemas axiomáticos de substituição e separação contém várias instâncias. Em 1961, Montague incluiu um resultado primeiramente provado em sua tese de doutorado em 1957: se a ZFC é consistente, então é impossível axiomatizar a ZFC usando um número finito de axiomas. Por outro lado, a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) pode ser axiomatizada com um número finito de axiomas. A ontologia da NBG inclui classes próprias, assim como conjuntos; um conjunto é qualquer classe que possa ser membro de outra classe. A NBG e a ZFC são teorias de conjuntos equivalentes, num sentido que qualquer teorema que não menciona classes e é provável (demonstrável) em uma teoria, é provável (demonstrável) na outra.