thumb|300px|Um triângulo nas geometrias elíptica, hiperbólica e euclidiana.
Uma geometria não euclidiana, na matemática, é aquela baseada num sistema axiomático distinto da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica (não existe nenhuma paralela) e hiperbólica (existem infinitas paralelas). O desenvolvimento dessas geometrias ocorreu com diversos trabalhos ao longo da história, mas teve grande contribuições de matemáticos como Nikolai Lobachevsky, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann, que de forma independente demonstraram a consistência lógica dos sistemas geométricos alternativos.
As geometrias não euclidianas revolucionaram a matemática e a filosofia da ciência, mostrando que o espaço físico não precisa obedecer aos postulados de Euclides. Hoje, além da importância teórica, elas têm aplicações em áreas como cosmologia, relatividade, cartografia, navegação, artes e computação gráfica.
Contexto A diferença essencial entre as geometrias métricas é a natureza das retas paralelas. O quinto postulado de Euclides, o postulado das paralelas, é equivalente ao postulado de Playfair, que afirma que, dentro de um plano bidimensional, para qualquer reta L dada e um ponto A, que não está em L, existe exatamente uma reta passando por A que não intersecta L. Na geometria hiperbólica, em contraste, existem infinitas retas passando por A que não intersectam L, enquanto na geometria elíptica, qualquer reta passando por A intersecta L.
Outra maneira de descrever as diferenças entre essas geometrias é considerar duas retas estendidas indefinidamente em um plano bidimensional que são ambas perpendiculares a uma terceira reta (no mesmo plano):
Na geometria euclidiana, as retas permanecem a uma distância constante uma da outra (o que significa que uma reta traçada perpendicular a uma delas em qualquer ponto intersectará a outra reta e o comprimento do segmento de reta unindo os pontos de interseção permanece constante) e são conhecidas como paralelas. Na geometria hiperbólica, elas se afastam uma da outra, aumentando a distância conforme se move para mais longe dos pontos de interseção com a perpendicular comum; essas retas são frequentemente chamadas de ultra-paralelas. Na geometria elíptica, as retas convergem uma em direção à outra e se intersectam.
História
Antecendentes A geometria euclidiana, nomeada em homenagem ao matemático grego Euclides,inclui algumas das matemáticas mais antigas conhecidas. Geometrias que se desviavam da geometria euclidiana não foram amplamente aceitas como legítimas até o século XIX.
O debate que eventualmente levou à descoberta das geometrias não euclidianas começou quase imediatamente após a escrita de "Os Elementos" por Euclides. Na obra, Euclides parte de um número limitado de suposições (23 definições, cinco noções comuns e cinco postulados) e busca provar todos os outros resultados (proposições) da obra. O mais notório dos postulados é frequentemente chamado de "Quinto Postulado de Euclides" ou simplesmente o postulado das paralelas, que na formulação original de Euclides é:Fique postulado, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retosPor pelo menos mil anos, os geômetras ficaram intrigados com a complexidade desproporcional do quinto postulado, acreditando que ele poderia ser demonstrado como um teorema derivado dos outros quatro. Muitos tentaram encontrar uma prova por contradição, incluindo Alhazém (), Omar Caiame (), Naceradim Atuci (século XIII) e Giovanni Girolamo Saccheri (século XVIII).
Os teoremas de Alhazém, Caiame e Atuci sobre quadriláteros, incluindo o quadrilátero de Lambert e o quadrilátero de Saccheri, foram “os primeiros teoremas das geometrias hiperbólica e elíptica”. Esses teoremas, juntamente com seus postulados, como o axioma de Playfair, desempenharam um papel importante no posterior desenvolvimento da geometria não euclidiana. Essas primeiras tentativas de contestar o quinto postulado tiveram uma influência considerável no seu desenvolvimento desta geometria, especialmente entre geômetras europeus posteriores, incluindo Vitello, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis e Saccheri. Todas essas tentativas iniciais de formular uma geometria não euclidiana, entretanto, forneciam provas falhas do postulado das paralelas, baseadas em suposições que hoje são reconhecidas como essencialmente equivalentes ao próprio postulado das paralelas. Ainda assim, esses esforços iniciais forneceram algumas propriedades preliminares das geometrias hiperbólica e elíptica.
Caiame, por exemplo, tentou derivar o postulado das paralelas a partir de um postulado equivalente que formulou dos “princípios do Filósofo” (Aristóteles): “Duas retas convergentes se encontram, e é impossível que duas retas convergentes se afastem na direção em que convergem.” Caiame então considerou os três casos: ângulos retos, obtusos e agudos, que os ângulos do vértice de um quadrilátero de Saccheri podem assumir e, após demonstrar certo número de teoremas sobre eles, refutou corretamente os casos obtuso e agudo com base em seu postulado, chegando assim ao postulado clássico de Euclides, sem perceber que era equivalente ao seu próprio postulado.
Outro exemplo é o de al-Tusi, cujo filho, Sadr al-Din (às vezes chamado de “Pseudo-Tusi”), escreveu um livro sobre o tema em 1298, baseado nas ideias posteriores de al-Tusi, que apresentavam outra hipótese equivalente ao postulado das paralelas. Ele essencialmente revisou tanto o sistema euclidiano de axiomas e postulados quanto as demonstrações de muitas proposições de Os Elementos. Sua obra foi publicada em Roma em 1594 e estudada por geômetras europeus, incluindo Saccheri, que a criticou, assim como fez com o trabalho de Wallis.
Giordano Vitale, em seu livro Euclide restituto (1680, 1686), utilizou o quadrilátero de Saccheri para provar que, se três pontos são equidistantes na base AB e no topo CD, então AB e CD são equidistantes em toda a sua extensão.
Em uma obra intitulada Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides Livre de Todas as Falhas), publicada em 1733, Saccheri rapidamente descartou a geometria elíptica como possibilidade (alguns outros axiomas de Euclides devem ser modificados para que a geometria elíptica funcione) e passou a demonstrar um grande número de resultados em geometria hiperbólica. Ele finalmente chegou a um ponto em que acreditava que seus resultados demonstravam a impossibilidade da geometria hiperbólica. Sua alegação parece ter se baseado em pressupostos euclidianos, já que nenhuma contradição lógica estava presente. Nessa tentativa de provar a geometria euclidiana, Saccheri, não intencionalmente, acabou descobrindo uma nova geometria viável, mas não chegou nessa conclusão.
Em 1766, Johann Lambert escreveu, mas não publicou, Theorie der Parallellinien, no qual tentou, assim como Saccheri, provar o quinto postulado. Ele trabalhou com uma figura hoje conhecida como quadrilátero de Lambert, um quadrilátero com três ângulos retos (pode ser considerado como “metade” de um quadrilátero de Saccheri). Lambert eliminou rapidamente a possibilidade de que o quarto ângulo fosse obtuso, como já haviam feito Saccheri e Khayyam, e então prosseguiu para provar vários teoremas sob a hipótese de que o ângulo fosse agudo. Diferentemente de Saccheri, Lambert nunca sentiu que tivesse encontrado uma contradição nessa hipótese. Ele demonstrou corretamente o resultado não euclidiano de que a soma dos ângulos internos de um triângulo diminui à medida que a área do triângulo aumenta, o que o levou a especular sobre a possibilidade de um modelo para o caso agudo em uma esfera de raio imaginário. Ele, no entanto, não levou essa ideia adiante.
Naquela época, acreditava-se amplamente que o universo funcionava de acordo com os princípios da geometria euclidiana.
Desenvolvimento da Geometria não Euclidiana O início do século XIX testemunharia finalmente passos decisivos na criação da geometria não euclidiana. Por volta de 1813, Carl Friedrich Gauss e, independentemente, por volta de 1818, o professor alemão de direito Ferdinand Karl Schweikart desenvolveram as primeiras ideias da geometria não euclidiana, mas nenhum deles publicou resultados. O sobrinho de Schweikart, Franz Taurinus, publicou resultados importantes de trigonometria hiperbólica em dois artigos em 1825 e 1826, mas, embora admitisse a consistência interna da geometria hiperbólica, ainda acreditava no papel especial da geometria euclidiana.
Então, em 1829–1830, o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky e, em 1832, o matemático húngaro János Bolyai publicaram, separada e independentemente, tratados sobre geometria hiperbólica. Consequentemente, a geometria hiperbólica é chamada de geometria lobachevskiana ou bolyai-lobachevskiana, já que ambos os matemáticos, independentemente um do outro, são os autores fundamentais da geometria não euclidiana. Gauss mencionou ao pai de Bolyai, ao ser mostrado o trabalho do jovem Bolyai, que havia desenvolvido tal geometria vários anos antes, embora não a tivesse publicado. Enquanto Lobachevsky criou uma geometria não euclidiana negando o postulado das paralelas, Bolyai desenvolveu uma geometria na qual tanto a geometria euclidiana quanto a hiperbólica são possíveis, dependendo de um parâmetro k. Bolyai conclui seu trabalho mencionando que não é possível decidir apenas por meio do raciocínio matemático se a geometria do universo físico é euclidiana ou não euclidiana; essa é uma tarefa para as ciências físicas.
Bernhard Riemann, em uma famosa palestra em 1854, fundou o campo da geometria riemanniana, discutindo em particular as ideias hoje chamadas de variedades, métrica riemanniana e curvatura. Ele construiu uma família infinita de geometrias não euclidianas ao fornecer uma fórmula para uma família de métricas riemannianas na bola unitária do espaço euclidiano. A mais simples delas é chamada de geometria elíptica, e é considerada uma geometria não euclidiana devido à sua ausência de retas paralelas.
Ao formular a geometria em termos de um tensor de curvatura, Riemann permitiu que a geometria não euclidiana fosse aplicada a dimensões superiores. Beltrami (1868) foi o primeiro a aplicar a geometria de Riemann a espaços de curvatura negativa.
Terminologia Foi Gauss quem cunhou o termo “geometria não euclidiana”. Ele estava se referindo ao seu próprio trabalho, que hoje chamamos de geometria hiperbólica ou geometria lobachevskiana. Vários autores modernos ainda utilizam o termo genérico “geometria não euclidiana” para se referir à geometria hiperbólica.
Arthur Cayley observou que a distância entre pontos dentro de uma cônica poderia ser definida em termos de logaritmo e da função de razão cruzada projetiva (também chamada de razão dupla). O método passou a ser chamado de métrica de Cayley–Klein porque Felix Klein o explorou para descrever as geometrias não euclidianas em artigos de 1871 e 1873 e, posteriormente, em forma de livro. As métricas de Cayley–Klein forneceram modelos práticos das geometrias métricas hiperbólica e elíptica, assim como da geometria euclidiana.
Klein é responsável pelos termos “hiperbólica” e “elíptica” (em seu sistema ele chamava a geometria euclidiana de parabólica, termo que em geral caiu em desuso). Sua influência levou ao uso atual do termo “geometria não euclidiana” para significar tanto a geometria “hiperbólica” quanto a “elíptica”.
Há alguns matemáticos que estenderiam a lista de geometrias que deveriam ser chamadas de “não euclidianas” de várias maneiras.