thumb|290px|right|A vermelho uma ciclóide gerada por um círculo em movimento Chama-se cicloide a curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma retaCarvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, cap. 13, p. 278.
Uma cicloide invertida é a solução para o problema da braquistócrona.
thumb|370px|Desenho de uma ciclóide gerada por um circunferência de raio r=2
Um cicloide iniciado na origem de um sistema de eixos, criado por uma circunferência de raio r, consiste nos pontos (x,y) com
em que t é um parâmetro real, e corresponde ao centro do círculo que rola.
Se visto como uma função y(x), é diferenciável em toda a sua extensão excepto no ponto em que atinge o eixo do x; a inclinação nesse ponto corresponde a infinito. Satisfaz a equação diferencial:
Histórico Antes da curva ser conhecida propriamente como cicloide, ela começou a ser estudada por Nicholas Cusa(1471 – 1464) e pelo teólogo matemático francês, Charles Bouvalles (1471 – 1553). O estudo de ambos não tratava da Cicloide em si, mas de algo muito similar a ela: a quadratura da circunferência. Em 1564, nasce o italiano Galileu Galilei, cientista, artista, com uma genialidade eminente. Como a história diz, Galileu um dia estava na janela, apenas observando o ambiente, quando começou a reparar no movimento da roda de uma charrete que passava. Interessado em descobrir que curva gerada por esse movimento, Galileu utilizou, primeiramente, chapas metálicas para demonstrá-la. Sem muito sucesso, Galileu sugeriu que a curva poderia formar um belo arco de uma ponte. Ele também concluiu que a área do arco da cicloide é exatamente três vezes a área do círculo que a gera. De fato, ele estava correto, o que foi demonstrado, posteriormente, por Roberval. Portanto, cabe a Galileu o batismo da curva. miniaturadaimagem|Galileu Galilei
A “Helena da matemática” e o “Pomo da discórdia” foram nomes que representaram a Curva Cicloide no século XVI, tamanha era a discussão que ela gerou na época. O frade Marin Mersenne (1588 – 1688), que estudou com René Descartes, é conhecido pela sua famosa fórmula “primos de Mersenne”, também participou dessa história. Por intermédio de um colega da igreja em que trabalhou, conheceu os trabalhos de Galileu e em 1630 propôs um desafio para Descartes, Fermat, Roberval e outros matemáticos da época: sugeriu que a cicloide fosse a curva utilizada para os diferentes testes infinitesimais , gerando assim discussões sobre a curva.
Em 1658, Blaise Pascal, sentiu uma dor de dente fortíssima e não conseguia dormir por isso. Ao meio da dor, resolveu se distrair estudando a Curva Cicloide, e para seu espanto, a dor desapareceu. Tomou isso como um sinal de Deus, mostrando que estudar a matemática não lhe desagradava. Pascal, então, propôs alguns problemas sobre a resolução da Cicloide, propondo premiações aos participantes, o que acabou não acontecendo.
Após esse período, a Cicloide só voltou a ser discutida quando apareceram os problemas da Tautócrona e da Braquistócrona.
Parametrização da curva cicloide alt=|miniaturadaimagem|443x443px|Figura 1 - Movimento da cicloide A parametrização será feita pela decomposição de vetores. Para isso, será utilizado o Software Geogebra© como ferramenta de apoio para verificar o movimento da Cicloide com maior clareza.
O parâmetro é variando entre e a o raio da circunferência. Olhando para o “Passo 2” da Figura 1, os vetores estão indicados:
Iremos escrever o vetor como:
Ao observar a Figura 2, verificamos que quando a circunferência gira um certo ângulo o comprimento do segmento OT é igual ao arco que nada mais é do que isto é:
Portanto, os vetores e são:
= +
(l)
alt=|miniaturadaimagem|369x369px|Figura 2 - Vetores Logo, é:
(ll)
De (I) e (II), temos que:
Ao final, as equações paramétricas da Cicloide são:
Construções da cicloide e de suas retas tangente e normal alt=|miniaturadaimagem|304x304px|Figura 3 - O ponto P gerando a curva cicloide
A construção da cicloide será feita por pontos, pois se trata de uma curva não construível com régua e compasso. Para se compreender tal construção, imagine que ao longo do período em que a circunferência geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movimento em diferentes intervalos de tempo, identificando algumas posições do ponto P gerador. Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento é igual ao comprimento da circunferência geradora. Além disso, tanto quanto a circunferência estão divididos em oito partes iguais.
alt=|miniaturadaimagem|301x301px|Figura 4 - O ponto P gerando a curva cicloide Com raio P7 (ou P1) e centros em 1’ e 7’, traça-se arcos que determinam em s1 dois pontos da cicloide. Com raio P6 (ou P2) e centros em 2’ e 6’, traça-se arcos que determinam em s2 mais dois pontos. Com raio P5 (ou P3) e centros em 3’ e 5’, traça-se arcos que determinam em s3 mais dois pontos.
alt=|miniaturadaimagem|291x291px|Figura 5 - A curva cicloide Por fim, determina-se em s4 mais um ponto da cicloide, traçando-se por 4’ uma perpendicular a diretriz. Unindo-se de modo conveniente os pontos determinados obtém-se a cicloide.
Agora, passaremos à construção da tangente e da normal a uma cicloide por um ponto S. Por S traça-se uma paralela à diretriz determinando o ponto S′ em C. Seja T o ponto de tangência de C com a diretriz. Traça-se por S a reta n paralela à reta S′T. Por S traça-se a reta t perpendicular a n . As retas t e n são, respectivamente, a tangente e a normal à cicloide no ponto S.
alt=|miniaturadaimagem|328x328px|Figura 6 - Retas normal e tangente
Encurtada o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011..
Alongada Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.
Bibliografia HOUAISS, Antônio, Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa Tomo II, Lisboa:Círculo dos Leitores, 2003, ISBN 972-42-2809-8 Cornell University Library-Tratado sobre ciclóides-Secção I O que é a Curva Cicloide: Ideias Centrais no Ensino da Matemática (em inglês) The University of Georgia-Parametric equations for cycloid (em inglês) The cycloid
Ver também Lista de construções do desenho geométrico
Ligações externas Weisstein, Eric W., Cycloid, em MathWorld Demonstração prática dos ciclóides Uma abordagem geométrica ao problema da braquistócrona Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide. Página acessada em 24 de julho de 2011.
Categoria:Curvas Categoria:Geometria Categoria:Desenho técnico Categoria:Desenho geométrico