Brahmagupta (c. 598 – após 665) foi um matemático e astrônomo indiano. É autor de uma das primeiras exposições conhecidas do zero como número e de regras para calcular com ele e com números negativos. Escreveu duas obras antigas sobre matemática e astronomia: o Brāhmasphuṭasiddhānta (BSS, "doutrina de Brahma corretamente estabelecida"), tratado teórico datado de 628, e o Khandakhadyaka ("porção comestível"), texto de caráter mais prático, datado de 665. Também apresentou uma formulação geral da fórmula quadrática para resolver a equação do segundo grau em sua obra principal.
Vida e carreira Brahmagupta afirmou ter nascido em 598.Na cronologia da era Saka, 550 corresponde a 628, ano em que Brahmagupta disse ter trinta anos. Costuma-se situar seu nascimento em Bhillamāla, em Gurjaradesha, cidade que corresponde à atual Bhinmal, no Rajastão. Ela estava sob o domínio de Vyagrahamukha, da dinastia Chavda, embora uma biografia também mencione Ujaim como possível lugar de nascimento. Albiruni dá a seu pai o nome Jishnu, enquanto o catálogo de manuscritos de David Pingree e outra biografia o chamam Jishnugupta. Brahmagupta seguia o hinduísmo, mais precisamente o xivaísmo.Bhattacharyya (2011), p. 185. Passou boa parte da vida em Bhillamala, e Prithudaka Svamin, que mais tarde comentou suas obras, chamou-o de Bhillamalacharya, "mestre de Bhillamala".Gupta (2008), p. 162.
Capital de Gurjaradesha, Bhillamala ficava num reino que abrangia o sul do atual Rajastão e o norte do atual Guzerate. Era o segundo maior reino do oeste da Índia e tinha escolas de matemática e astronomia. Brahmagupta trabalhou na escola astronômica Brahmapaksha, uma das quatro principais escolas indianas daquele período. Estudou os cinco siddhantas tradicionais da astronomia indiana e obras de Ariabata, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin e Vishnuchandra.
Aos trinta anos, em 628, Brahmagupta compôs o Brāhmasphuṭasiddhānta, cujo título pode ser traduzido como "tratado aperfeiçoado de Brahma". A obra retoma o siddhanta da escola Brahmapaksha e reúne material matemático e astronômico em 1.008 versos escritos na métrica ārya. Costuma ser dividida em 24 capítulos, mas algumas edições contam 25 porque incluem um capítulo adicional de tabelas em verso. A astronomia ocupa boa parte do livro, ao lado de capítulos de álgebra, geometria, trigonometria e algoritmos, nos quais Brahmagupta apresenta regras e exemplos.Bhattacharyya (2011), pp. 185–186.Bose, Sen e Subbarayappa (1971), pp. 95–97.
Brahmagupta mudou-se depois para Ujaim, em Avanti, onde dirigiu o observatório astronômico da cidade, então um centro de estudos dessa área na Índia central.Gupta (2008), p. 163. Aos 67 anos, escreveu o Khaṇḍakhādyaka, manual prático de astronomia indiana destinado a estudantes e pertencente à categoria karaṇa.
Brahmagupta concluiu o Khaṇḍakhādyaka em 665, mas não se conhece a data de sua morte. Algumas cronologias a situam por volta de 670 e apontam Ujaim como o possível lugar em que morreu.
Obras Brahmagupta compôs os seguintes tratados: Brāhmasphuṭasiddhānta, composto em 628. Khaṇḍakhādyaka, composto em 665. Grahaṇārkajñāna, título registrado em um catálogo de manuscritos como possivelmente relacionado ao capítulo 5 do Brāhmasphuṭasiddhānta; sua identificação como obra independente é incerta.
Recepção Na escola matemática de Ujaim, Bhaskara II deu continuidade aos cálculos de Brahmagupta e chamou-o de ganaka-chakra-chudamani, "joia do círculo dos matemáticos". Prithudaka Svamin escreveu comentários às duas obras, reformulando versos difíceis e acrescentando exemplos. Lalla comentou o Khaṇḍakhādyaka no século VIII e Bhattotpala fez o mesmo no século X. Novos comentários ainda eram escritos no século XII. Muito depois, em 1817, Henry Thomas Colebrooke publicou uma tradução inglesa das partes matemáticas de obras de Brahmagupta e Bhaskara II.
A conquista do Sinde pelo califado omíada, em 712, abriu caminho para contatos entre a astronomia indiana e o mundo de língua árabe.Avari (2013), p. 32. Albiruni conta que um estudioso da Índia, integrante de uma embaixada do Sinde, transmitiu cálculos astronômicos à corte do califa Almançor, que reinou de 754 a 775. Outro relato fala de um homem vindo da Índia, mas não menciona a embaixada. Nenhum deles dá o título de um livro que esse homem teria levado.
O califa Almançor encarregou Maomé Alfazari de elaborar em árabe o Kitāb al-Sindhind al-kabīr com base em métodos indianos. Fragmentos dessa obra permitem reconhecer material do Brāhmasphuṭasiddhānta, ao lado de material de outros tratados. Já a suposta tradução completa e independente do Khaṇḍakhādyaka sob o título Arakhand não tem a mesma confirmação documental. Alcuarismi, ativo por volta de 800 a 850, escreveu mais tarde seu próprio Sindhind, aproveitando a obra de al-Fazārī e elementos da astronomia de Ptolemeu. Textos astronômicos indianos circularam em árabe e chegaram também à literatura latina medieval.
Por volta de 825, Alcuarismi escreveu ainda um tratado de aritmética decimal indiana. Embora o texto árabe tenha se perdido, adaptações latinas do século XII difundiram no Ocidente o cálculo com os nove algarismos e o zero. O título árabe original não é conhecido com segurança, e não há base para atribuir diretamente a Brahmagupta todos os procedimentos encontrados nas versões latinas.Plofker (2009), pp. 257–259.
Ao avaliar a obra de Brahmagupta, o historiador da ciência George Sarton chamou-o de "um dos maiores cientistas de seu povo e o maior de sua época".
Matemática Álgebra Ao resolver uma equação linear no capítulo 18 do Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta trabalha com números conhecidos e uma incógnita. Ele chama os números conhecidos de rūpas e enuncia a regra com palavras:
A diferença entre os rūpas, depois de invertida e dividida pela diferença entre os [coeficientes] das [incógnitas], é a incógnita da equação. Os rūpas são [subtraídos do lado] abaixo daquele de que se devem subtrair o quadrado e a incógnita.Plofker (2007), pp. 428–434.
Na escrita algébrica atual, a regra resolve uma equação da forma , em que rūpas são os números e . Reunindo os termos com de um lado e os demais do outro, chega-se a , desde que .
Para uma equação do segundo grau, que contém o quadrado da incógnita, Brahmagupta enuncia duas regras equivalentes:
18.44. Da raiz quadrada dos rūpas multiplicados por quatro vezes o quadrado e aumentados do quadrado do termo médio, subtraia o termo médio; divida o restante por duas vezes o quadrado. [O resultado é] o termo médio.18.45. Tome a raiz quadrada dos rūpas multiplicados pelo quadrado e aumentados do quadrado da metade da incógnita; subtraia dessa raiz a metade da incógnita e divida [o restante] pelo coeficiente do quadrado. [O resultado é] a incógnita.
Se a equação for escrita como , com , as duas regras dão a mesma solução. Em símbolos atuais, elas ficam assim: Tradução de Henry Thomas Colebrooke.
e
Se houver outra raiz real, ela se obtém escolhendo o sinal negativo diante da raiz quadrada, possibilidade que as regras citadas não explicitam. As duas raízes podem coincidir ou ser diferentes, conforme o valor sob a raiz quadrada.
Para resolver equações indeterminadas com mais de uma incógnita, Brahmagupta recomendou isolar a variável procurada e dividir pelo coeficiente que a acompanha. Quando havia muitas incógnitas, recorria ao procedimento chamado "pulverizador":
18.51. Subtraia as cores diferentes da primeira cor. [O restante], dividido pelo [coeficiente] da primeira [cor], é a medida da primeira. Os [termos], tomados dois a dois, [são] considerados [depois de reduzidos a] divisores semelhantes, e assim por diante, repetidamente. Se houver muitas [cores], deve-se usar o pulverizador.
Na escrita algébrica de Brahmagupta, como na de Diofanto, números postos lado a lado indicavam uma soma. Um ponto acima do subtraendo indicava subtração, e o divisor colocado abaixo do dividendo indicava divisão, ainda sem uma barra de fração. Palavras abreviadas serviam para multiplicação, extração de raízes e incógnitas.Boyer (1991), p. 221. Não se sabe se a escrita indiana recebeu alguma influência grega. É possível que as duas formas de abreviação tenham vindo de uma fonte babilônica comum.
Aritmética Ao expor adição, subtração, multiplicação e divisão, Brahmagupta usava métodos baseados no sistema de numeração decimal de origem indiana. Essas operações já eram praticadas por muitos povos antes dele. Para explicar uma maneira de multiplicar, ele compara o número a ser multiplicado a uma corda repetida conforme as partes do multiplicador:
O multiplicando é repetido como uma corda para o gado, tantas vezes quantas forem as partes integrantes do multiplicador, e multiplicado sucessivamente por elas; os produtos são somados. Isso é a multiplicação. Ou o multiplicando é repetido tantas vezes quantas forem as partes que compõem o multiplicador. Tradução de Henry Thomas Colebrooke.
Na Europa medieval, os métodos aritméticos vindos da Índia eram chamados de modus Indorum, "método dos indianos". No Brāhmasphuṭasiddhānta, Brahmagupta expõe quatro modos de multiplicar, entre eles o gomūtrikā, próximo de métodos usados hoje. No capítulo 12, "Cálculo", passa às frações. Parte do princípio de que o leitor já sabe fazer as operações básicas e extrair raízes quadradas, mas ensina a encontrar o cubo e a raiz cúbica de um inteiro e dá regras para calcular quadrados e raízes quadradas com mais facilidade. Também apresenta cinco combinações de frações, desde uma soma com o mesmo denominador até expressões como , , , e .Plofker (2007), p. 422.
Quadrados e cubos Para somar os quadrados ou os cubos dos primeiros números inteiros, Brahmagupta parte da soma desses números e dá a seguinte regra:
12.20. A soma dos quadrados é essa [soma] multiplicada por duas vezes o [número de] passo[s] acrescido de um e dividida por três. A soma dos cubos é o quadrado dessa [soma]. Pilhas com bolas iguais também [podem ser calculadas] assim.Plofker (2007), pp. 421–427.
Enquanto Brahmagupta parte da soma dos primeiros inteiros, a escrita mais comum hoje usa diretamente para indicar quantos termos são somados.Plofker (2007), p. 423.
Com essa notação, os quadrados de 1 até somam , enquanto os cubos de 1 até somam .
Zero Embora o zero já servisse como marcador de posição na escrita de números, entre os babilônios e no manuscrito de Bakhshali, o Brāhmasphuṭasiddhānta dá regras para calcular com ele como um número por si só e também com números negativos.Plofker (2009), pp. 122–123. Brahmagupta compara quantidades positivas a bens e quantidades negativas a dívidas ao enunciar, no capítulo 18, as regras de adição e subtração:
18.30. [A soma] de dois positivos é positiva; a de dois negativos, negativa; a de um positivo e um negativo é a diferença entre eles; se forem iguais, é zero. A soma de um negativo e zero é negativa; a de um positivo e zero, positiva; e a de dois zeros, zero.[...]18.32. Um negativo menos zero é negativo; um positivo [menos zero] é positivo; zero [menos zero] é zero. Quando se subtrai um positivo de um negativo, ou um negativo de um positivo, deve-se somá-lo.
Para multiplicar, ele usa os mesmos sinais positivos e negativos:
18.33. O produto de um negativo por um positivo é negativo; de dois negativos, positivo; e de dois positivos, positivo. O produto de zero por um negativo, de zero por um positivo ou de dois zeros é zero.
Na divisão por zero, as regras enunciadas no tratado deixam de coincidir com as usadas na matemática atual: