miniaturadaimagem|Charles Hermite Em matemática, sobretudo na álgebra linear, uma matriz auto-adjunta, é uma matriz quadrada complexa que é igual à sua própria transposta conjugada - ou seja, o elemento na -ésima linha e -ésima coluna é igual ao conjugado complexo do elemento na -ésima linha e -ésima coluna, para todos os índices e :

ou em forma de matriz:

Matrizes hermitianas podem ser entendidas como a extensão complexa das matrizes simétricas reais.

Se a conjugada transposta de uma matriz for indicada por a propriedade hermitiana pode ser escrita de forma concisa como

As matrizes hermitianas recebem este nome em homenagem a Charles Hermite, que demonstrou em 1855 que matrizes desse tipo compartilham uma propriedade com matrizes simétricas reais de sempre ter autovalores reais. Outras notações equivalentes de uso comum são no entanto observe que na mecânica quântica, tipicamente significa apenas a conjugada complexa, e não a transposta da conjugada .

Caracterizações alternativas As matrizes hermitianas podem ser caracterizadas de várias maneiras equivalentes, algumas das quais estão listadas abaixo:

Igualdade com a adjunta Uma matriz quadrada é hermitiana se, e somente se, for igual à sua adjunta, ou seja, satisfizer para qualquer par de vetores em que denota a operação de produto interno .

Também é assim que o conceito mais geral de operador autoadjunto é definido.

Realidade de formas quadráticas Uma matriz quadrada é hermitiana se, e somente se, for tal que

Propriedades espectrais Uma matriz quadrada é hermitiana se, e somente se, for unitariamente diagonalizável com autovalores reais.

Aplicações As matrizes hermitianas são fundamentais para a teoria quântica da mecânica matricial criada por Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan em 1925.

Na área de processamento digital de sinais, matrizes hermitianas surgem naturalmente na análise estatística de sinais. Para um processo estocástico complexo , pode-se formar o vetor de amostras

constituído por amostras consecutivas do processo. Sua matriz de autocorrelação, , satisfaz e, portanto, é hermitiana. Essa propriedade é utilizada em diversas técnicas de estimação, filtragem e análise espectral.

Exemplos Nesta seção, a transposta conjugada da matriz é indicada por a transposta da matriz é indicada por e a conjugada da matriz é indicada por

Considere o seguinte exemplo:

Os elementos diagonais devem ser reais, pois precisam coincidir com seus próprios conjugados complexos.

Entre as famílias bem conhecidas de matrizes hermitianas estão as matrizes de Pauli, as matrizes de Gell-Mann e suas generalizações. Na física teórica, tais matrizes hermitianas são frequentemente multiplicadas por coeficientes imaginários, Physics 125 Course Notes at California Institute of Technology resultando em matrizes skew-hermitianas.

Aqui, é oferecida outra matriz hermitiana útil usando um exemplo abstrato. Se uma matriz quadrada é igual ao produto de uma matriz por sua transposta conjugada, ou seja, então é uma matriz semi-definida positiva hermitiana. Além disso, se tem posto completo por linhas, então é definida positiva.

Propriedades

As entradas na diagonal principal (do canto superior esquerdo para o inferior direito) de qualquer matriz hermitiana são reais . Prova: pela definição de matriz hermitiana, Assim, para segue-se a afirmação anterior. Somente as principais entradas diagonais são necessariamente reais; As matrizes hermitianas podem ter entradas complexas arbitrárias em seus elementos fora da diagonal, desde que as entradas diagonalmente opostas sejam conjugadas complexas. Uma matriz que possui apenas entradas reais é hermitiana se e somente se é simétrica. Uma matriz real e simétrica é simplesmente um caso especial de uma matriz hermitiana. Prova: por definição. Portanto, (simetria da matriz) se e somente se ( é real). Toda matriz hermitiana é uma matriz normal. Isto significa que Prova: então O teorema espectral em dimensão finita diz que qualquer matriz hermitiana pode ser diagonalizada por uma matriz unitária e que a matriz diagonal resultante tem apenas entradas reais. Isso implica que todos os autovalores de uma matriz hermitiana com dimensão são reais e que possui autovetores linearmente independentes. Além disso, uma matriz hermitiana tem autovetores ortogonais para autovalores distintos. Mesmo que existam autovalores degenerados, sempre é possível encontrar uma base ortogonal de consistindo em autovetores de . A soma de quaisquer duas matrizes hermitianas é hermitiana. Prova: como afirmado. A inversa de uma matriz hermitiana invertível também é hermitiana. Prova: Se então de modo que como afirmado. O produto de duas matrizes hermitianas e é hermitiano se, e somente se, . Prova: Observe que portanto se e somente se Consequentemente, é hermitiana se é hermitiana e é um número inteiro. Para um vetor a valores complexos arbitrário , o produto é real, dado que Isso é especialmente importante em física quântica, onde as matrizes hermitianas representam operadores que medem propriedades de um sistema, por exemplo, rotação total, que precisam ser reais. As matrizes hermitianas complexas por não formam um espaço vectorial sobre os números complexos, , uma vez que a matriz identidade é hermitiana, mas não é. No entanto as matrizes hermitianas complexas formam um espaço vetorial sobre os números reais, . No espaço vectorial de dimensão das matrizes complexas sobre , as matrizes complexas hermitianas formam um subespaço de dimensão . Se indica a matriz por com um na posição e zeros nas demais entradas, uma base (ortonormal em relação ao produto interno de Frobenius) pode ser descrita como se segue: juntamente com o conjunto de matrizes da forma e as matrizes em que denota o número complexo chamado de unidade imaginária . Se autovetores ortonormais de uma matriz hermitiana forem escolhidos e escritos como as colunas da matriz , então uma decomposição em autovalores de será em que e portanto em que são os autovalores na diagonal da matriz diagonal O determinante de uma matriz hermitiana é real: Prova: Portanto, se (Alternativamente, o determinante é o produto dos autovalores da matriz e, como mencionado anteriormente, os autovalores de uma matriz hermitiana são reais.)

Decomposição em hermitiana e skew-hermitiana Fatos adicionais relacionados às matrizes hermitianas incluem:

A soma de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada é hermetiana. A diferença de uma matriz quadrada e sua transposta conjugada é skew-hermitiana (também chamada de anti-hermitiana). Isso implica que o comutador de duas matrizes hermitianas é skew-hermitiano. Uma matriz quadrada arbitrária pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana e de uma matriz skew-hermitiana . Isso é conhecido como a decomposição de Toeplitz de

Quociente de Rayleigh Em matemática, para uma dada matriz complexa hermitiana M e um vetor não nulo x, o quociente de RayleighAlso known as the Rayleigh–Ritz ratio; named after Walther Ritz and Lord Rayleigh. é definido como: Parlet B. N. The symmetric eigenvalue problem, SIAM, Classics in Applied Mathematics,1998

Para matrizes e vetores reais, a condição de ser hermitiana reduz-se à de ser simétrica, e a conjugada transposta à transposição usual Observe que para qualquer escalar real diferente de zero Lembre-se também de que uma matriz hermitiana (ou simétrica real) tem autovalores reais.

Pode ser mostrado que, para uma dada matriz, o quociente de Rayleigh assume o seu valor mínimo (o menor autovalor de M) quando é (o autovetor correspondente). Similarmente, e

O quociente de Rayleigh é usado no teorema min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Também é usado em algoritmos de autovalores para obter uma aproximação de um autovalor a partir de uma aproximação de um autovetor. Especificamente, essa é a base para a iteração de quociente de Rayleigh.

A imagem do quociente de Rayleigh (para uma matriz que não é necessariamente hermitiana) é chamado de imagem numérica (ou espectro em análise funcional). Quando a matriz é hermitiana, a imagem numérica é igual à norma espectral. Ainda em análise funcional, é conhecido como raio espectral. No contexto de C*-álgebras ou de mecânica quântica algébrica, a função que associa ao quociente de Rayleigh para um fixo e variando pela álgebra seria chamada de "estado vetorial" da álgebra.

Ver também

Espaço vetorial Matriz skew-hermitiana (matriz anti-hermitiana) Fórmula de aditividade de inércia de Haynsworth Forma hermitiana Operador autoadjunto Matriz unitária

Referências

Ligações externas

Visualizar a matriz hermitiana como uma elipse com o Dr. Geo, de Chao-Kuei Hung da Universidade de Chaoyang, fornece uma explicação mais geométrica. "Hermitian Matrices" . MathPages.com . Categoria:Matrizes