Em matemática, e mais especificamente em álgebra comutativa e geometria algébrica, o espectro primo (ou simplesmente espectro) de um anel comutativo é o conjunto de todos os ideais primos de equipado com uma topologia chamada topologia de Zariski. O espectro de um anel comutativo é naturalmente dotado de um feixe de anéis comutativos, chamado feixe estrutural, que o torna um espaço anelado; isto é, anéis comutativos são associados a cada ponto e a cada conjunto aberto, que satisfazem algumas condições de compatibilidade. A estrutura formada pelo espectro de um anel comutativo e o espaço anelado associado é chamada de esquema afim. O espectro de um anel e o esquema afim associado são ambos denotados por ou .
Os esquemas afins são uma ferramenta básica da geometria algébrica moderna e, especificamente, da teoria dos esquemas. De fato, os esquemas são construídos "colando" esquemas afins de uma maneira muito semelhante à construção de variedades pela colagem de subconjuntos abertos de um espaço euclidiano equipado com o anel das funções contínuas sobre eles. O adjetivo "afim" na expressão "esquema afim" vem do fato de que uma variedade algébrica afim pode ser identificada com o esquema afim construído sobre seu anel de funções regulares.
Motivação histórica A ideia do espectro de um anel foi introduzida com esse nome por Alexander Grothendieck. Ela reuniu várias vertentes históricas paralelas. Uma delas, que motiva o uso da palavra "espectro", vem da álgebra linear e da análise funcional mais geral, nas quais o espectro é usado para denotar os autovalores de uma transformação linear. A outra veio da álgebra comutativa, na qual um espaço topológico (a topologia de Zariski) já era usado para descrever a estrutura dos ideais primos. A síntese final foi a adição de um feixe estrutural, que codifica informações geométricas locais próximas a cada ideal primo.
A primeira motivação vem da álgebra linear. Um endomorfismo de um espaço vetorial complexo de dimensão finita gera o subanel do anel dos endomorfismos de . Este anel é comutativo, e existe um homomorfismo de anéis canônico sobrejetor que mapeia para , onde é o anel de polinômios em uma variável. O núcleo deste homomorfismo é o ideal principal gerado pelo polinômio mínimo de O polinômio se fatora em fatores primos da forma onde os são os autovalores de Isso estabelece uma correspondência bijetiva entre os autovalores de e os ideais primos de Isso permite identificar o espectro de um endomorfismo com o espectro de um anel específico.
Um ingrediente que faltava na noção de espectro é que ele não distingue a multiplicidade dos vários autovalores. Assim, a definição de um espectro de anel inclui não apenas o conjunto simples de ideais primos, mas também informações estruturais, carregadas pelo anel , que permitem a determinação da multiplicidade (e outros tipos de propriedades geométricas). Por exemplo, um operador nilpotente não nulo tem apenas zero como autovalor, e o polinômio mínimo onde , mas o espectro como um conjunto de pontos é o singleton , o ideal primo contendo , independentemente do grau nilpotente .
A noção moderna de espectro inclui, portanto, um feixe estrutural, que consiste em uma prescrição das funções que estão sobre cada um dos ideais primos. No caso de , o conjunto de pontos do espectro é o singleton , mas o grau nilpotente é codificado pelo anel estrutural .
Essa noção de espectro da álgebra linear já era amplamente utilizada no tópico mais amplo da teoria espectral. Em uma álgebra de Banach complexa com unidade , a ideia é estendida definindo o espectro de um elemento como o conjunto de números complexos tais que não é invertível. No caso comutativo, a teoria de anéis normados e álgebras de Banach de Israel Gelfand tornou o espaço dos ideais maximais, ou equivalentemente funcionais lineares multiplicativos, um objeto central de estudo.
O espectro primo de um anel comutativo também tem uma origem separada na álgebra comutativa e na geometria algébrica. Para uma variedade algébrica afim sobre um corpo algebricamente fechado, o Nullstellensatz identifica os pontos comuns com os ideais maximais em seu anel de coordenadas. Mais geralmente, as subvariedades irredutíveis correspondem a ideais primos. Passar de ideais maximais para todos os ideais primos equivale, portanto, a adjungir um ponto genérico para cada subvariedade irredutível.
O trabalho de Wolfgang Krull antecipou o uso de pontos geométricos para descrever ideais primos. Seu artigo de 1928 sobre cadeias de ideais primos fez parte do desenvolvimento da teoria da dimensão em anéis gerais. Um uso topológico relacionado de ideais primos apareceu no trabalho de Marshall Stone sobre álgebras booleanas e reticulados distributivos: Stone introduziu uma topologia sobre ideais primos de um reticulado distributivo, produzindo o que agora é chamado de espectro do reticulado e levando à noção de espaço espectral.
A construção moderna de como um espaço localmente anelado foi introduzida sistematicamente por Alexander Grothendieck na teoria dos esquemas. Nesta forma, o espectro não é apenas um espaço topológico de ideais primos, mas é equipado com um feixe estrutural, permitindo que esquemas afins sejam colados para formar esquemas gerais.
Topologia de Zariski
Como um conjunto, o espectro de um anel comutativo é o conjunto dos ideais primos de . Ele se torna um espaço topológico, com cada ideal primo sendo um ponto neste espaço, equipando-o com a topologia de Zariski, a topologia para a qual um conjunto fechado é o conjunto de todos os ideais primos contendo um dado subconjunto de . Em outras palavras, para cada subconjunto de , sejaO conjunto de todos os forma os conjuntos fechados da topologia de Zariski em Obtém-se exatamente os mesmos conjuntos fechados se restringirmos a definição a subconjuntos que são ideais, pois se , o ideal gerado por . Na verdade, apenas ideais radicais precisam ser considerados, pois para qualquer ideal e seu radical
Dado um conjunto fechado , o ideal é um ideal radical tal que . Isso estabelece uma correspondência biunívoca entre conjuntos fechados e ideais radicais. Isso corresponde, na geometria algébrica, à correspondência entre um conjunto algébrico e o conjunto de todas as equações polinomiais que são satisfeitas nele (veja o Nullstellensatz de Hilbert para detalhes).
Entre os conjuntos abertos, ou seja, os conjuntos da forma alguns são especialmente importantes: aqueles da forma de modo que é tomado como um ideal principal gerado por algum eles são às vezes chamados de conjuntos abertos distinguidos ou conjuntos abertos principais. Tem-se sempreComo todo conjunto aberto é da forma os conjuntos abertos principais formam uma base para a topologia de Zariski. Segue-se que, em geral, não há mal em considerar apenas conjuntos abertos da forma . A importância dos reside principalmente no fato de que, quando um ideal não é principal, o conjunto aberto não é fácil de definir em termos dos geradores do ideal.
é um espaço compacto, mas quase nunca Hausdorff: De fato, os ideais maximais em são precisamente os pontos fechados nesta topologia. Pelo mesmo raciocínio, não é, em geral, um espaço T1. No entanto, é sempre um espaço de Kolmogorov (satisfaz o axioma T0); é também um espaço espectral.
Esquemas afins
Construção do feixe estrutural Para cada anel comutativo , o espaço topológico é naturalmente dotado de um feixe de anéis comutativos, chamado seu feixe estrutural e comumente denotado . Isso torna um espaço anelado, chamado de esquema afim e também denotado .
Um feixe de anéis sobre um espaço topológico consiste em uma família de anéis (notação alternativa: ) indexada pelos conjuntos abertos de . Para cada inclusão de conjuntos abertos, há um canônico homomorfismo de anéis . Esses homomorfismos canônicos devem satisfazer algumas condições de compatibilidade.
A primeira condição de compatibilidade é que os homomorfismos canônicos se comportem conforme o esperado em relação à composição de inclusões. Isso significa que se é a categoria dos conjuntos abertos com inclusões como morfismos, é um functor contravariante de para a categoria dos anéis.
A segunda condição de compatibilidade é que pode ser recuperado unicamente a partir dos se é uma cobertura aberta de . Tecnicamente, isso pode ser expresso comoonde denota um limite inverso.
No caso de um esquema afim , o anel é primeiramente definido para conjuntos abertos principais da forma como a localizaçãoonde é o conjunto das potências inteiras de . Observa-se que de modo que para algum inteiro positivo e , e é invertível em . Isso permite que o homomorfismo canônico seja definido como a localização mapeando
Para os outros conjuntos abertos, é definido comoe os homomorfismos de anéis canônicos são definidos correspondentemente. Essas definições, para conjuntos abertos que possivelmente não são principais, raramente são usadas na prática, exceto para provar que essas definições definem efetivamente um feixe de anéis.
Para um espaço anelado , o fibra em um ponto é o limite diretoonde percorre os conjuntos abertos de contendo . No caso de um esquema afim , o fibra em um ponto é o anel local . Portanto, um esquema afim é um espaço localmente anelado. Os elementos de um fibra são chamados de germes. Um germe em captura o comportamento local infinitesimal de um elemento de em torno de .
Seções do feixe estrutural Os elementos de são conhecidos como seções do feixe estrutural sobre . O anel de seções para um esquema afim pode ser pensado como uma generalização do anel de funções regulares sobre um subconjunto aberto de uma variedade afim ( um corpo algebricamente fechado), e as seções podem ser pensadas como generalizações de funções regulares; ou seja, funções tais que para cada , existe um subconjunto aberto contendo tal que para alguns para todos Aqui, é o anel das funções polinomiais em , conhecido como seu anel de coordenadas; se é o ideal de todos os polinômios que se anulam em , então Os anéis de funções regulares sobre subconjuntos abertos de uma variedade afim, de fato, formam um feixe de -álgebras, que é chamado de feixe estrutural da variedade. O feixe estrutural de esquemas afins generaliza essa construção; para detalhes, veja variedade afim#feixe estrutural.
Dois fatos fundamentais da teoria das variedades afins informam o que o anel de seções globais de um esquema afim deve ser: 1) o anel das funções regulares globais de uma variedade afim é simplesmente o anel de coordenadas ; 2) o Nullstellensatz estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos da variedade afim e os ideais maximais de seu anel de coordenadas . Assim, o anel de coordenadas nos dá todas as funções globais permitidas em , enquanto seu conjunto de ideais maximais pode ser identificado com propriamente dito. Considerando anéis comutativos arbitrários em vez de apenas anéis de coordenadas (ou seja, -álgebras reduzidas finitamente geradas) e tomando todos os ideais primos de um anel, não apenas os maximais, esses fatos motivam a definição do anel de seções globais do esquema afim simplesmente como :
No caso geral, as seções de um feixe estrutural de um esquema afim não podem ser consideradas como "funções" verdadeiras. No entanto, é útil pensar em um elemento como um objeto que se comporta analogamente a uma "função" em definindo seu valor em no corpo de frações como
Para o caso especial com espectro a avaliação de no ideal maximal sob esta definição corresponde à avaliação polinomial em , , como seria de se esperar.
Esta definição nos permite reescrever a definição de conjuntos abertos principais como
estreitamente análoga à sua definição na teoria das variedades afins. Por analogia com funções regulares em subconjuntos abertos principais de variedades afins, elementos da forma em podem ser considerados como "funções" permitidas em motivando como o ponto de partida para a definição abstrata do feixe estrutural dada na seção anterior.