Considerações gerais Estabilidade e linearidade As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de 1⁄2 inclui: Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo, Multiplicação através de um termo-a-termo escalar, "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série. Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente.
Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: soma de Cesàro e soma de Abel.Davis pp.152, 153, 157
Separação de escalas Dado qualquer função φ(x) tal que φ(0) = 1, o limite de φ a +∞ é 0, e a derivada de φ é integral sobre (0, +∞), então a generalizada φ-soma da série de Grandi existe e é igual a 1⁄2:
A soma de Cesàro ou Abel é recuperada por deixar de φ ser uma função triangular ou exponencial, respectivamente. Se φ é assumido adicionalmente ser continuamente diferenciável, então a reivindicação pode ser provada aplicando o teorema do valor médio e convertendo a soma em em integral. Rapidamente:
Saichev pp.260-262
Referências
Categoria:Séries matemáticas