Volume é uma medida de regiões do espaço tridimensional. A unidade derivada do Sistema Internacional usada para expressá-lo é o metro cúbico, de símbolo m3. O litro, equivalente a um decímetro cúbico, é uma unidade não pertencente ao SI. Também se utilizam unidades imperiais e unidades usuais nos Estados Unidos, como o galão, o quarto e a polegada cúbica. O volume tem dimensão física igual ao cubo do comprimento. O volume interno de um recipiente corresponde à sua capacidade, isto é, à quantidade de fluido, gasoso ou líquido, que pode conter. Essa capacidade não deve ser confundida com o volume ocupado pelo material do recipiente. Por metonímia, o termo "volume" também pode designar a própria região tridimensional, como em volume delimitador.
O volume de formas tridimensionais simples pode ser calculado por fórmulas aritméticas. Para outras regiões, o cálculo pode exigir integração. Pontos, de dimensão zero, segmentos de reta, de uma dimensão, e regiões planas, de duas dimensões, têm volume tridimensional nulo. Os segmentos e as regiões planas podem ter comprimento e área não nulos, respectivamente. Em quatro dimensões ou mais, a generalização recebe o nome de hipervolume.
História Antiguidade miniatura|Seis recipientes de vidro usados como medidas de capacidade em Pompeia.
No Antigo Egito, problemas matemáticos abordavam o cálculo de volumes. O problema 14 do Papiro de Moscou apresenta um procedimento correto para obter o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada. O Papiro Reisner contém uma tabela com comprimento, largura, profundidade e volume de blocos de material.
Os egípcios usavam suas unidades de comprimento, o côvado, a palma e o dedo, para estabelecer unidades de volume. O côvado de volume correspondia a 1 côvado × 1 côvado × 1 côvado. A palma de volume equivalia a 1 côvado × 1 côvado × 1 palma, e o dedo de volume, a 1 côvado × 1 côvado × 1 dedo. A palma de volume não era, portanto, uma palma cúbica.
O livro XII de Os Elementos, de Euclides, apresenta relações entre os volumes de prismas, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Entre elas estão a igualdade entre o volume de uma pirâmide e um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura, a relação equivalente entre cone e cilindro e a proporcionalidade entre os volumes de esferas e os cubos de seus diâmetros. Arquimedes, que viveu aproximadamente de 287 a 212 a.C., empregou o método da exaustão para demonstrar resultados exatos sobre volumes. Em Sobre a esfera e o cilindro, demonstrou que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro que a circunscreve, com o mesmo raio e altura igual ao diâmetro da esfera.
Na China, os trabalhos de Liu Hui, no século III, e de Zu Geng, filho de Zu Chongzhi, empregaram decomposições de sólidos e comparações de seções transversais. Zu Geng utilizou essas ideias para justificar uma regra de cálculo do volume da esfera.
A história de Arquimedes e da coroa de ouro foi narrada por Vitrúvio no século I a.C., cerca de dois séculos depois da morte do matemático. Nessa narrativa, Arquimedes compara a água deslocada pela coroa com a deslocada por massas iguais de ouro e prata. O procedimento permite, em princípio, comparar as densidades, mas a precisão necessária suscita dúvidas sobre a realização do teste tal como narrado. Em La bilancetta, escrito em 1586, Galileu Galilei propôs uma explicação alternativa baseada na pesagem hidrostática. Sua proposta não comprova que Arquimedes tenha usado esse método. A comparação hidrostática utiliza a diferença entre o peso de um objeto fora do líquido e seu peso aparente quando submerso, relacionada ao empuxo.
Cálculo e padronização das unidades
alt=Líquido sendo despejado em um recipiente graduado|esquerda|miniatura|Diagrama de 1926 sobre a medição de volume com um recipiente graduado em dracmas fluidas.
Na Idade Média, empregavam-se unidades de capacidade como o sester, o amber, o coomb e o seam. Na Inglaterra, os regulamentos reunidos sob o nome Assize of Bread and Ale fixavam relações entre os preços dos cereais, o peso do pão e o preço de determinadas quantidades de cerveja. Esses regulamentos circularam em versões diferentes, separados ou reunidos em um mesmo texto.
Em 1618, a London Pharmacopoeia, um catálogo de preparações medicinais, adotou o galão romano como medida básica para líquidos e apresentou uma tabela de conversão entre medidas de capacidade e pesos dos boticários. O galão romano também recebia o nome de côngio.
No século XVII, Bonaventura Cavalieri desenvolveu o método dos indivisíveis para estudar áreas e volumes. O princípio de Cavalieri estabelece que dois sólidos têm o mesmo volume se suas seções por planos paralelos, tomadas em alturas correspondentes ao longo de toda a extensão dos sólidos, têm áreas iguais. Os trabalhos de Pierre de Fermat, Isaac Barrow, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz levaram ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. John Wallis estudou quadraturas por métodos aritméticos, e James Gregory trabalhou na relação entre quadraturas e tangentes. No século XVIII, Maria Gaetana Agnesi reuniu métodos de cálculo em Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana.
Adoção do sistema métrico e redefinições
Em 7 de abril de 1795, a legislação francesa estabeleceu unidades do sistema métrico, entre elas o estere, equivalente a 1 m3, para lenha, e o litro, equivalente a 1 dm3, para líquidos e materiais secos. O grama foi definido a partir da massa de um centímetro cúbico de água pura à temperatura de fusão do gelo. Em 1824, o galão imperial foi definido a partir do volume ocupado por aproximadamente 4,536 kg de água a 16,7 °C. A Lei de Pesos e Medidas de 1985, do Reino Unido, expressa seu valor como exatamente 4,54609 litros.
Em 1901, a definição internacional do litro passou a ser o volume ocupado por 1 kg de água pura em sua densidade máxima e sob pressão atmosférica padrão. Essa definição não coincidia exatamente com o decímetro cúbico. Em 1964, foi revogada, e o litro voltou a ser um nome especial para o decímetro cúbico.
A redefinição do metro em 1960 substituiu o protótipo internacional do metro por uma definição baseada em uma linha de emissão do criptônio-86. O metro e o metro cúbico deixaram, assim, de depender desse padrão material. Em 1983, o metro foi redefinido a partir da distância percorrida pela luz no vácuo durante uma fração especificada do segundo, cuja definição se baseia no padrão de césio. A formulação da definição do metro foi modificada em 2018, como parte da revisão do Sistema Internacional de Unidades que entrou em vigor em 2019.
Propriedades
Como medida de regiões do espaço euclidiano, o volume é não negativo. É também monótono, pois uma região contida em outra não pode ter volume maior que ela. Os volumes de regiões mensuráveis disjuntas podem ser somados para obter o volume de sua união. Essa aditividade permite decompor sólidos em partes menores e calcular seus volumes separadamente. No cálculo integral, o elemento de volume, geralmente escrito como , expressa a contribuição infinitesimal utilizada na integração. Sua expressão depende do sistema de coordenadas.
Na teoria da medida, o volume de conjuntos limitados do espaço euclidiano pode ser formalizado pela medida de Jordan quando o conjunto é mensurável nesse sentido. A medida de Lebesgue estende a noção a uma classe maior de conjuntos e coincide com a medida de Jordan nos conjuntos mensuráveis de Jordan. Em uma variedade riemanniana orientada, a métrica e a orientação determinam uma forma de volume, que permite definir a medida correspondente na variedade.
Se todas as dimensões lineares de um sólido forem multiplicadas por um mesmo fator positivo k, seu volume será multiplicado por k3. Uma ampliação de dez vezes em cada dimensão linear, por exemplo, multiplica o volume por mil.
Medição miniatura|Um copo medidor permite medir volumes de líquidos. Este exemplar tem escalas em xícaras, onças líquidas e mililitros.
O volume pode ser determinado pelas dimensões de um objeto, pelo preenchimento de um recipiente de capacidade conhecida ou por instrumentos graduados. Na medição por recipientes, a quantidade é expressa como um múltiplo ou uma fração de sua capacidade. Para materiais granulares, é necessário distinguir o volume dos grãos do volume ocupado pelo conjunto, que também contém espaços vazios. O modo de preencher e compactar o recipiente pode alterar esse último volume.
miniatura|O volume de um sólido irregular pode ser obtido pela diferença entre as leituras do recipiente antes e depois da imersão do objeto.
O volume de um sólido irregular pequeno pode ser medido por deslocamento de líquido, desde que o objeto possa ser totalmente imerso, sem dissolução, reação ou absorção que altere a medição. Mede-se primeiro o volume do líquido, submerge-se o objeto e faz-se uma nova leitura. A diferença entre as duas leituras corresponde ao volume deslocado pelo objeto.
A pipeta de deslocamento de ar é utilizada em biologia e bioquímica para medir e transferir pequenos volumes de líquidos, frequentemente expressos em microlitros. Copos medidores e colheres medidoras são usados na culinária. Em laboratórios, empregam-se instrumentos como provetas, pipetas, buretas e balões volumétricos, escolhidos em função do volume e da incerteza de medição aceitável. A ISO 4787 estabelece métodos de teste, calibração e uso de instrumentos volumétricos de vidro e plástico.
Na calibração, distingue-se entre instrumentos "para conter", indicados pela sigla TC, do inglês to contain, e instrumentos "para entregar", indicados por TD, de to deliver. No primeiro caso, o valor corresponde ao líquido necessário para encher o recipiente até a marca de referência. No segundo, corresponde ao líquido que sai do instrumento nas condições de escoamento especificadas. A distinção leva em conta o líquido que permanece aderido às paredes após o escoamento.
Em tanques de armazenamento, a calibração estabelece a relação entre o nível do líquido e seu volume, apresentada em uma tabela. A medição precisa também exige considerar alterações na geometria do tanque e os efeitos da pressão e da temperatura. Conhecer apenas a densidade e a temperatura do líquido não substitui a medição do nível e a calibração do tanque. Para reservatórios de geometria irregular, o cálculo pode utilizar dados de batimetria e topografia para representar o fundo e as margens e estimar o volume até determinado nível da água.
Unidades
miniatura|Unidades métricas de volume representadas em escala e massas aproximadas de água correspondentes.
Uma unidade de volume pode ser definida pelo volume de um cubo unitário, cujas arestas têm comprimento igual a uma unidade. Quando se escolhe o metro como unidade de comprimento, a unidade de volume correspondente é o metro cúbico, m3. A dimensão física do volume é L3.
As unidades métricas de volume utilizam prefixos métricos, que correspondem a potências de dez. Em unidades de comprimento elevadas ao cubo, a potenciação abrange também o prefixo. Por exemplo, 2,3 cm3 = 2,3 × (0,01 m)3 = 0,0000023 m3.
Entre as unidades usadas estão o milímetro cúbico, mm3, o centímetro cúbico, cm3, o decímetro cúbico, dm3, o metro cúbico, m3, e o quilômetro cúbico, km3. As conversões incluem 1.000 mm3 = 1 cm3, 1.000 cm3 = 1 dm3 e 1.000 dm3 = 1 m3. O litro equivale exatamente a 1 dm3 = 1.000 cm3 = 0,001 m3. Seus submúltiplos incluem o mililitro, mL, o centilitro, cL, e o decilitro, dL. Assim, 1.000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL e 10 dL = 1 L.
Também são utilizadas unidades imperiais e unidades usuais nos Estados Unidos, entre elas: polegada cúbica, pé cúbico, jarda cúbica, acre-pé e milha cúbica. minim, dracma fluida, onça líquida e pinto. colher de chá e colher de sopa. gill, quarto, galão e barril. cord, peck, bushel e hogshead.
Capacidade e volume