Mediana é o valor que separa a metade maior e a metade menor de uma amostra, uma população ou uma distribuição de probabilidade. Em termos mais simples, mediana pode ser o valor do meio de um conjunto de dados. No conjunto de dados {1, 3, 3, 6, 7, 8, 9}, por exemplo, a mediana é 6. Se houver um número par de observações, não há um único valor do meio. Então, a mediana é definida como a média dos dois valores do meio. No conjunto de dados {3, 5, 7, 9}, a mediana é .

A mediana é uma medida comum das propriedades de conjuntos de dados em estatística e em teoria das probabilidades, com importância central na estatística robusta. A estatística robusta é mais resistente, com ponto de ruptura de 50%. A mediana não fornece resultados arbitrariamente grandes desde que mais da metade dos dados não esteja contaminada.

A vantagem da mediana em relação à média é que a mediana pode dar uma ideia melhor de um valor típico porque não é tão distorcida por valores extremamente altos ou baixos. Em estudos estatísticos sobre renda familiar ou outros ativos voláteis, a média pode ser distorcida por um pequeno número de valores extremamente altos ou baixos.

História thumb|200px|Pierre Simon Laplace A ideia de mediana aparece no século XIII no Talmude e mais tarde no livro Certaine Errors in Navigation, na seção sobre determinação da localização com bússola. O livro foi escrito pelo matemático Edward Wright em 1599, que achou que o valor era o mais provável de ser o correto em uma série de observações.

Em 1757, Ruđer Bošković desenvolve um método de regressão baseado no espaço L1 e implicitamente na mediana. Em 1774, Pierre Simon Laplace sugere o uso da mediana como o estimador padrão do valor da média de uma distribuição posteriori: o critério foi minimizar a magnitude esperada do erro , em que é a estimativa e é o valor real. O método de Laplace foi amplamente rejeitado por 150 anos em favor do método dos mínimos quadrados de Carl Friedrich Gauss e de Adrien-Marie Legendre, o qual minimiza para obter a média. A distribuição, tanto da média da amostra, quanto da mediana da amostra, foi determinada por Laplace no início dos anos 1800.

Em 1843, Antoine Augustin Cournot foi o primeiro matemático a usar o termo mediana para o valor que divide a distribuição de probabilidade em duas metades iguais. Gustav Fechner usou o termo mediana para fenômenos sociológicos e psicológicos. Mediana tinha sido usada anteriormente apenas na astronomia e em áreas correlatas. Embora tenha sido usada anteriormente por Laplace, Fechner popularizou a mediana na análise formal de dados.

Em 1881, Francis Galton usou o termo mediana em Inglês depois de usar os termos middle-most value em 1869 e medium em 1880.

Conceitos básicos thumb|300px|Comparação entre média, mediana e moda de duas distribuições log–normal com diferentes dispersões. A mediana é usada principalmente em distribuições distorcidas, que resumem a tendência central diferentemente da média aritmética. Seja o multiconjunto {1, 2, 2, 2, 3, 14}. Por ser menos susceptível a valores excepcionalmente altos ou baixos, a mediana de valor 2 pode ser uma melhor indicação de tendência central que a média aritmética de valor 4.

Mediana é uma técnica comum na estatística descritiva e representação de dados estatísticos, uma vez que é fácil de calcular e simples de entender e fornece uma medida mais robusta na presença de outliers (valores atípicos) que a média. Entretanto, a relação empírica amplamente citada entre as localizações relativas da média e da mediana para distribuições distorcidas (a média está a direita da mediana para distribuições distorcidas a direita e a média está a esquerda da mediana para distribuições distorcidas a esquerda) geralmente não é verdadeira. No entanto, há várias relações para a diferença absoluta entre elas.

Mediana não identifica um valor específico dentro de um conjunto de dados, uma vez que mais de um valor pode ter o valor da mediana. Com um número par de observações, nenhum valor precisa ter exatamente o valor da mediana. Porém, o valor da mediana é unicamente determinado pela definição usual.

Como é baseada no valor do meio de um conjunto de dados, não é necessário saber os valores dos elementos extremos para calcular a mediana. Seja um teste psicológico que pretende investigar o tempo necessário para resolver um problema. Se um pequeno número de pessoas não conseguir resolver um problema em um determinado tempo, a mediana ainda pode ser calculada.

Cálculos básicos thumb|Em cima: a mediana de um conjunto de dados com número ímpar de elementos. No conjunto de dados 2, 2, 3, 7, 8, 9, 9 a mediana é 7. Embaixo: a mediana de um conjunto de dados com número par de elementos. No conjunto de dados 1, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7 a mediana é A mediana de uma lista finita de números pode ser encontrada organizando os números do menor para o maior. Se houver um número ímpar de elementos, o número do meio é o valor do meio (na amostra de sete elementos {1, 3, 3, 6, 7, 8, 9}, a mediana é 6). Se houver um número par de elementos, não há um único valor do meio. Então, a mediana é definida como a média dos dois valores do meio e (na amostra de oito elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, a mediana é a média ). Em termos mais técnicos, é a interpretação da mediana como mid-range.

A fórmula usada para encontrar a posição de um valor do meio em uma amostra de elementos organizados em ordem crescente é , que fornece tanto o valor médio para um número ímpar de elementos quanto o ponto médio entre dois valores do meio para um número par de elementos. Em uma amostra de quatorze elementos, o resultado da fórmula é 7,5 e a mediana é a média entre o sétimo e o oitavo elemento (também é possível calcular a mediana com o diagrama ramo-e-folha).

Não há uma notação padrão amplamente aceita para a mediana, mas alguns autores representam a mediana de uma variável como , como e às vezes como . Em qualquer um dos casos, o uso dos mesmos ou de outros símbolos para a mediana precisam ser explicitamente definidos quando são introduzidos.

Exemplos thumb|207x207px|Ilustração do cálculo da mediana para uma população com número ímpar de valores. Em uma população com número ímpar de valores, a mediana é o valor que separa a metade maior e a metade menor de uma amostra. Para a população {2, 2, 3, 7, 8, 9, 9}, a mediana é 7.

População com número de elementos ímpar Para a população , a posição do valor médio é:

,

em que é o número de dados ou de elementos da amostra.

Logo, a mediana é o terceiro elemento (5) e é igual a média (5).

Para a população , a posição do valor médio é a mesma

em que é o número de dados ou de elementos da amostra.

Logo, a mediana é o terceiro elemento (4), mas não é igual a média (6).

População com número de elementos par Para a população , não há valor com a posição 3,5. Logo a mediana é calculada por meio da média dos valores centrais, o terceiro e o quarto elemento. O valor da mediana é: . Já o valor da média é 7.

Em um conjunto de dados com números repetitivos , a mediana também é calculada por meio da média dos valores centrais, o nono e o décimo elemento. O valor da mediana é:

.

Mediana para dados ordenados thumb|100px|Visualização geométrica da moda, mediana e média de uma função densidade arbitrária.

Mediana pode ser usada como medida de tendência central, medida de posição ou medida de localização quando a distribuição é distorcida, quando os valores finais não são conhecidos ou quando importâncias reduzidas são anexadas aos outliers (por exemplo, quando podem existir erros de medição). A mediana é definida por dados unidimensionais ordenados e é independente de qualquer distância métrica (por exemplo, a média geométrica é definida por qualquer número de dimensões).

A mediana é uma das alternativas para resumir os valores típicos associados aos elementos da população estatística. Logo, a mediana é um possível parâmetro de localização. A mediana é o 2° quartil, 5° decil e 50° percentil. Ela pode ser calculada para dados ordenados, mas não para dados categóricos (por exemplo, é possível calcular a mediana das notas de estudantes avaliados entre A e F, mas não é possível calcular a mediana entre os sexos ou entre as nacionalidades dos estudantes).

Quando a mediana é usada como parâmetro de localização na estatística descritiva, há várias opções de medidas de dispersão como a amplitude, o intervalo interquartil, o desvio absoluto da média e o desvio absoluto da mediana.

Para objetivos práticos, diferentes medidas de localização e de dispersão são frequentemente comparados com base em o quão bem os valores populacionais correspondentes podem ser estimados a partir da amostra. Inclusive, a mediana tem boas propriedades para tais estimativas. Embora não sejam geralmente ótimas, as propriedades da mediana são razoavelmente boas quando determinada distribuição de população é conhecida.

Por exemplo, a comparação da eficiência de estimadores candidatos mostra que a média amostral é mais eficiente que a mediana amostral quando os dados não estão contaminados por dados de distribuições de cauda pesada ou de misturas de distribuição, mas que a média amostral é menos eficiente que a mediana amostral em caso contrário, o que acontece em uma ampla variação de distribuições. Especificamente, a mediana tem 64% de eficiência em comparação com a variação mínima da média para amostras normais grandes, o que significa que a variância da mediana é aproximadamente 50% maior que a variância da média.

Distribuições de probabilidade thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição simétrica (por exemplo, uma distribuição normal) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral e a linha azul representa a localização da média (azul), da mediana (amarelo) e da moda (verde) do conjunto de dados. thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica negativa quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral, a linha azul (à esquerda) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à direita) representa a moda do conjunto de dados. thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica positiva (por exemplo, uma distribuição qui-quadrado) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul (à direita) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à esquerda) representa a moda do conjunto de dado thumb|200px|Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição bimodal, formada por outras duas distribuições com seus respectivos parâmetros, que transita entre distribuição assimétrica positiva, distribuição assimétrica negativa e distribuição simétrica conforme as dispersões dos dados no espaço amostral são alteradas. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul representa a média, a linha amarela representa a mediana e a linha verde representa a moda do conjunto de dados. Para qualquer distribuição de probabilidade em com função distribuição acumulada , independentemente do tipo de distribuição de probabilidade contínua, em particular, uma distribuição absoluta contínua com função densidade ou uma distribuição discreta, uma mediana é definida como qualquer número real que satisfaz as desigualdades:

ou igualmente as desigualdades:

,

em que a integral de Lebesgue–Stieltjes é usada.

Para uma distribuição de probabilidade absoluta contínua com função densidade , a mediana satisfaz: