miniaturadaimagem|"The Gherkin", 30 St Mary Axe, Londres, completado em 2003, é um sólido de revolução Matemática e arquitetura são relacionadas fortemente, uma vez que a arquitetura, como outras artes, utiliza a matemática por diversas razões. Além do uso da matemática como base para a engenharia, arquitetos utilizam a arquitetura para definir proporções, construir formas harmoniosas e utilizar tesselações para decorar os edifícios. Muias vezes, a arquitetura se encontra com a matemática para se alinhar a princípios religiosos, estratégias de defesa e práticas ambientais.
Por exemplo, no Egito Antigo, Grécia Antiga, Índia e no mundo islâmico, pirâmides, templos, mesquitas, palácios e mausoléus apresentavam proporções e relações com proporções guiadas pela religião. Na China e na Europa medieval, a arquitetura de defesa surge como necessidade para proteção e para a estratégia militar.
Áreas conectadas miniaturadaimagem|302x302px|Na Renascença, esperava-se que arquitetos como Leon Battista Alberti tinham conhecimento em aritmética e geometria Os arquitetos Michael Ostwald e Kim Williams, ao considerarem as relações entre a arquitetura e a matemática, perceberam que a conexão entre essas áreas é comumente vista como um elo fraco, uma vez que a arquitetura é trabalhada por profissionais que se concentram na prática de construir e desenhar prédios, ao passo que os matemáticos se preocupam com o estudo dos números e outras abordagens abstratas. Ambos arquitetos, porém, defendem que a relação entre os dois é forte e permeia desde a antiguidade. Na Roma Antiga, Vitrúvio descreveu um arquiteto como um homem que dominava o bastante sobre diversas outras disciplinas, em especial a geometria, para o permitir a supervisionar artesãos, pedreiros e carpinteiros. O mesmo ocorre nas Idade Média, quando estudantes aprendiam aritmética, geometria e estética com gramática, lógica e retórica em salões elegantes erguidos por habilidosos construtores. Esses mestres construtores recebiam o título de engenheiro ou de arquiteto. No Renascimento, o quadrívio da aritmética, geometria, música e astronomia serviram de base para o considerado arquiteto Leon Battista Alberti. De forma similar na Inglaterra dois séculos após Alberti, Sir Christopher Wren, atualmente reconhecido como arquiteto, foi inicialmente considerado como um astrônomo.
De acordo com o sociólogo alemão Theodor W. Adorno, Williams e Ostwald, ao considerar as interações entre a matemática e a arquitetura desde o século XV, identificaram três principais tendências entre os arquitetos: revolucionários, que introduzem novas ideias; reacionários, que vão contra essas novas ideias; e revitalistas, que buscam resgatar tradições do passado.
Eles argumentam que, nos períodos de revivalismo, os arquitetos se distanciavam da matemática. Essa teoria justificaria o porquê de nesses períodos, como revivalismo gótico na Inglaterra do século XIX, a arquitetura parecia ter pouca conexão com a matemática. De forma similar, eles notam que os períodos reacionários, tal qual o maneirismo italiano entre 1520 e 1580 e os movimentos barroco e palladianismo do século XVII, a matemática mal foi consultada. Em contraste, os movimentos revolucionários do início do século XX, como o futurismo e construtivismo, rejeitavam ativamente propostas antigas, incorporando a matemática e se direcionando para a arquitetura modernista. No final desse século, a geometria fractal foi introduzida e utilizada intensamente pelos arquitetos, conferindo uma cobertura com padrão interessante para suas construções.
Arquitetos usam a matemática por diversas razões além do uso necessário da área na engenharia de construção. Em primeiro lugar, a geometria é aplicada sobre a disposição do edifício. Em segundo plano, a matemática é utilizada no desenho de formas consideradas belas e/ou harmoniosas. Desde o tempo de Pitágoras com sua religiosa filosofia dos números, arquitetos da Grécia Antiga, da Roma Antiga, do mundo islâmico e da Itália renascentista escolhiam proporções para as construções e seus respectivos designs de acordo com a estética, matemática e, por vezes, princípios religiosos. Em terceiro lugar, eles podem utilizar de objetos e técnicas como tesselações para a decoração. Por último, a arquitetura também pode se relacionar com a matemática sob a forma de modelagem computacional para encontrar e atingir objetivos de desenvolvimento, avaliando, por exemplo, a circulação do ar e a base necessária para torres altas.
A relação através da história miniaturadaimagem|Plano de uma casa grega por Vitrúvio
Roma Antiga
Vitrúvio
O arquiteto da Roma Antiga Vitrúvio defendia que o design de edifícios como templos depende de duas qualidades: proporção e simetria. A proporção garante que cada parte da construção crie uma conexão harmoniosa com as outras. A simetria, sob a perspectiva de Vitrúvio, é similar ao conceito moderno de simetria de reflexão e se relaciona com as partes de todo o edifício. Em sua basílica, em Fano, ele usa proporções de pequenas integrais, em especial os números triangulares (1, 3, 6, 10), utilizados para fornecer a proporção nas estruturas dos módulos.
Em seu livro De architectura, Vitrúvio destaca três qualidades requeridas pela arquitetura na estabilidade, comodidade e utilitarismo. A estabilidade denota o uso da matemática para oferecer uma estrutura que permita o edifício a permanecer em pé, além de destacar o emprego das técnicas matemáticas no design e no suporte às construções. Sua comodidade é um atributo do resultado final da construção: é a harmonia da matemática com a arquitetura e inclui as qualidades estéticas, sensuais e intelectuais. Por fim, sua utilidade deriva da aplicação efetiva da matemática, analisando o resultado das relações espaciais entre os elementos. esquerda|miniaturadaimagem|262x262px|Planejamento do chão do Panteão
Panteão
O Panteão em Roma sobreviveu e continua intacto. A construção ilustra a clássica estrutura, proporção e decoração romana. A parte principal da estrutura é o domo, cuja lateral esquerda apresenta um óculo que permite a entrada de luz, e apresenta uma colunata curta com decoração triangular. A altura do óculo e o diâmetro do círculo interior são o mesmo: 43,3 metros, então todo o interior encaixaria perfeitamente em um cubo, e o interior poderia comportar uma esfera de mesmo diâmetro. Contudo, essas medições e proporções fazem mais sentido utilizando as unidades de medida da Roma Antiga: o domo possui comprimento de 150 pés romanos — aproximadamente, cada pé equivale a 296 milímetros —, o óculo possui 30 pés romanos de diâmetro e o portão tem 40 pés romanos de altura. O Panteão permanece como a maior cúpula de concreto não armado na atualidade.
Renascença
O primeiro tratado arquitetônico do Renascimento foi De re ædificatoria, de Leon Battista Alberti, publicado em 1450, e tornou-se o primeiro livro impresso de arquitetura em 1485. A obra foi baseada parcialmente em De architectura de Vitrúvius e, através de Nicomachus, da aritmética de Pitágoras. Em seus estudos, Alberti estabelece um cubo e, a partir dele, estabelece diversas proporções derivas. Com isso, verificou que a razão entre o lado e a diagonal é de 1:, enquanto o diâmetro da esfera que circunscreve o cubo é 1:. Alberti também documentou a descoberta de Filippo Brunelleschi acerca da perspectiva linear; descoberta que possibilitou o desenvolvimento de construções com belas proporções se vistas de uma distância conveniente.
Em 1570, Andrea Palladio publicou I quattro libri dell'architettura em Veneza. A obra foi impressa em grandes quantidades e foi fortemente responsável pela disseminação das ideias da Renascença italiana para o resto da Europa, com apoio das propostas do inglês diplomata Henry Wotton em 1624 com seu livro The Elements of Architecture. Comumente, as proporções de cada cômodo eram calculadas com base em proporções de 3:4 ou 3:5. Arquitetos antigos usavam essas proporções para estabelecer um visual simétrico.
Em 1615, Vincenzo Scamozzi publicou o último tratado renascentista L'idea dell'architettura universale, em que tentou descrever a estética e o design das cidades e construções a partir das ideias de Vitrúvius, Pitágoras e Palladio.
Século XIX Estruturas hiperboloides começaram a ser utilizadas no final do século XIX por Vladimir Shukhov em mastros, faróis e torres. Sua forma marcante, ao mesmo tempo que é esteticamente interessante e forte, usa os materiais de forma econômica. A primeira torre hiperboloide de Shukhov foi a Torre Shukhov em Polibino foi exibida na cidade russa Nijni Novgorod em 1896. miniaturadaimagem|Casa Rietveld Schröder em Utreque apresenta os elementos verticais e horizontais se sobrepondo no estilo De Stijl
Século XX
Durante o início do século XX, o movimento da arquitetura moderna, cujo pioneiro foi o movimento russo do construtivismo, usava geometria retilínea euclidiana — também chamada de cartesiana. Por outro lado, no movimento De Stijl, o horizontal e o vertical eram considerados os elementos constituintes do universo. As formas arquitetônicas consistiam na união entre essas duas tendências, utilizando tetos planos, paredes retas e varandas, que poderiam cruzar entre si, como na Casa Rietveld Schröder de Gerrit Rietveld construída em 1924.
Contudo, os arquitetos modernos eram livres para utilizar curvas, assim como planos. A estação de metrô de Londres Arnos Grove de Charles Holden, construída em 1933, possui uma bilheteria circular feita de tijolos com um teto reto de concreto. Em 1938, o pintor húngaro da escola Bauhaus László Moholy-Nagy adotou os sete elementos biomiméticos de Raoul Heinrich Francé — cristal, esfera, cone, plano, listras, hastes (cilíndricas) e a espiral — e as considerou como os blocos básicos da arquitetura inspirada pela natureza.
Le Corbusier propôs uma escala de proporções baseada na antropometria denominada modulor, utilizando da altura de um homem imaginário. Sua obra Capela de Notre-Dame-du-Haut usa curvas livres não descritas em fórmulas matemáticas. As formas foram evocadas de forma a lembrar a proa de um navio ou a duas mãos juntas rezando. O design se concentra na grande escala: não há hierarquias de detalhes de menos escalas e não há dimensões fractais. Esse tipo de design também é encontrado em outras construções famosas do século XX: a Ópera de Sydney, o Aeroporto Internacional de Denver e o Museu Guggenheim Bilbao. Essa última, construção de Frank Gehry foi considerada como a melhor da arquitetura contemporânea de acordo com a opinião de 90 arquitetos que responderam a Pesquisa Mundial de Arquitetura () de 2020. Nessa mesma pesquisa, a arquitetura contemporânea é descrita como extremamente diversa. miniaturadaimagem|528x528px|As superfícies mínimas do telhado do Aeroporto Internacional de Denver remetem às montanhas cobertas por neve e às tendas tipi dos nativos O terminal do Aeroporto Internacional de Denver, completado em 1995, apresenta um teto de tecido moldado como uma superfície mínima — isto é, sua curvatura média é zero — apoiado por cabos de aço. Essa forma remete às montanhas cobertas de neve em Colorado e as tendas tipi dos povos nativos dos Estados Unidos.
O arquiteto Richard Buckminster Fuller é famoso por desenhar estruturas com cúpulas geodésicas. Por exemplo, o domo da Biosfera de Montreal apresenta 61 metros de altura e diâmetro de 76 metros. Seguindo com essa técnica, a Casa de Ópera de Sidney possui um teto dramático de válvulas brancas crescentes, lembrando velas de navios, e, para sua construção, essas válvulas são compostas por seções triangulares de cascas esféricas de mesmo raio, apresentando curvaturas uniformes em todas as direções.