Em matemática, uma equação quártica é aquela que pode ser expressa como uma função quártica igual a zero. A forma geral de uma equação quártica é
miniatura|direita|233px|Gráfico de uma função polinomial de grau 4, com suas 4 raízes e 3 pontos críticos
onde a ≠ 0.
A quártica é a equação polinomial de ordem mais alta que pode ser resolvida por radicais no caso geral.
História Atribui-se a Lodovico Ferrari a descoberta da solução para a quártica em 1540, mas uma vez que essa solução, como todas as soluções algébricas da quártica, exige que seja encontrada a solução de uma cúbica, ela não pôde ser publicada imediatamente. A solução da quártica foi publicada em conjunto com a da cúbica pelo mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, no livro Ars Magna (1545).
A demonstração de que este era o polinômio geral de ordem mais alta para o qual tais soluções poderiam ser encontradas foi dada pela primeira vez no Teorema de Abel-Ruffini em 1824, provando que todas as tentativas de solucionar polinômios de ordem mais alta seriam inúteis. As anotações deixadas por Évariste Galois antes da sua morte em um duelo em 1832 levaram, posteriormente, a uma elegante teoria completa das raízes de polinômios, da qual este teorema foi um dos resultados.Stewart, Ian, Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
Soluções para casos especiais
Considere uma equação quártica expressa na forma :
Existe uma fórmula geral para encontrar as raízes de equações quárticas, desde que o coeficiente do termo dominante seja diferente de zero. No entanto, pelo fato de o método geral ser muito complexo e suscetível a erros de execução, é melhor aplicar um dos casos especiais descritos a seguir, se possível.
Caso degenerado Se o termo constante a4 = 0, então uma das raízes é x = 0, e as demais raízes podem ser encontradas dividindo-se a equação por x e resolvendo a equação cúbica resultante:
Raízes evidentes: 1, −1 e −
Vamos chamar o nosso polinômio quártico de . Como 1 elevado a qualquer potência é 1,
Portanto, se temos e, assim, = 1 é uma raiz de . De maneira semelhante, pode-se demonstrar que se então = −1 é uma raiz.
Em ambos os casos, a quártica completa pode então ser dividida pelo fator ou , respectivamente, produzindo um novo polinômio cúbico, que pode ser resolvido para encontrar as outras raízes da quártica.
Se e então é uma raiz da equação. A quártica completa pode então ser fatorada desta maneira:
Alternativamente, se e então e tornam-se duas raízes conhecidas. A divisão de por resulta em um polinômio quadrático.
Equações biquadráticas Uma equação quártica onde a3 e a1 são iguais a 0 assume a forma
e, portanto, é uma equação biquadrática, que é fácil de resolver: seja , logo nossa equação se torna
que é uma equação quadrática simples, cujas soluções são facilmente encontradas usando a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
Quando a tivermos resolvido (isto é, encontrado esses dois valores de z), podemos extrair o x a partir deles:
Se alguma das soluções de z for um número negativo ou complexo, então algumas das soluções de x serão números complexos.
Equações quase-simétricas
Passos:
Divida por x 2. Use a mudança de variável z = x + m/x. Assim, z 2 = x 2 + (m/x) 2 + 2m.
Isto leva a:
, , (uma equação quadrática em z = x + m/x)
Raízes múltiplas
Se a quártica possuir uma raiz dupla, ela pode ser encontrada calculando o máximo divisor comum do polinômio com a sua derivada. Em seguida, eles podem ser divididos e a equação quadrática resultante solucionada.
Em geral, existem apenas quatro casos possíveis de equações quárticas com raízes múltiplas, os quais estão listados abaixo: Multiplicidade-4 (M4): quando a equação quártica geral puder ser expressa como , para algum número real . Este caso pode sempre ser reduzido a uma equação biquadrática. Multiplicidade-3 (M3): quando a equação quártica geral puder ser expressa como , onde e são dois números reais diferentes. Este é o único caso que nunca pode ser reduzido a uma equação biquadrática. Dupla Multiplicidade-2 (DM2): quando a equação quártica geral puder ser expressa como , onde e são dois números reais diferentes ou um par de números complexos conjugados não reais. Este caso também pode sempre ser reduzido a uma equação biquadrática. Simples Multiplicidade-2 (SM2): quando a equação quártica geral puder ser expressa como , onde , e são três números reais diferentes ou é um número real e e são um par de números complexos conjugados não reais. Este caso é dividido em dois subcasos: os que podem ser reduzidos a uma equação biquadrática e os que não podem.
Considere o caso em que os três coeficientes não mônicos da equação quártica deprimida, , podem ser expressos em termos dos cinco coeficientes da equação quártica geral da seguinte forma:
, Então, os critérios para identificar a priori cada caso de equações quárticas com raízes múltiplas e as suas respectivas soluções são mostrados abaixo. M4. A equação quártica geral corresponde a este caso sempre que , logo as quatro raízes desta equação são dadas como se segue: . M3. A equação quártica geral corresponde a este caso sempre que e , logo as quatro raízes desta equação são dadas a seguir se :
Caso contrário, se :
. DM2. A equação quártica geral corresponde a este caso sempre que , logo as quatro raízes desta equação são dadas como se segue:
. SM2 Biquadrática. A equação quártica geral corresponde a este subcaso das equações SM2 sempre que , logo as quatro raízes desta equação são dadas da seguinte forma:
. SM2 Não-Biquadrática. A equação quártica geral corresponde a este subcaso das equações SM2 sempre que , de modo que as quatro raízes desta equação são dadas pela seguinte fórmula: , onde:
.
O caso geral
miniatura|600px|centro|A fórmula quártica totalmente redigida em termos dos coeficientes da quártica, para o caso mônico. Devido à sua natureza pouco manuseável, geralmente é dada primeiro em termos de variáveis auxiliares calculadas a partir dos coeficientes
Para começar, a quártica deve primeiro ser convertida em uma quártica deprimida.
Convertendo para uma quártica deprimida Seja
a equação quártica geral que se deseja solucionar. Divida ambos os lados por ,
O primeiro passo, se ainda não for zero, deve ser eliminar o termo 3. Para isso, mude a variável de para , de tal modo que
Então
A expansão das potências dos binômios produz
Agrupando as mesmas potências de u, obtém-se
Agora, renomeie os coeficientes de . Seja
A equação resultante é
a qual é uma equação quártica deprimida.
Se então temos o caso especial de uma equação biquadrática, que é facilmente resolvida, conforme explicado acima. Note que a solução geral, dada a seguir, não funcionará para o caso especial A equação deve ser resolvida como uma biquadrática.
Em qualquer dos casos, assim que a quártica deprimida for resolvida para , substituir esses valores em
produz os valores de que resolvem a quártica original.
Resolvendo uma quártica deprimida quando ≠ 0 Após a conversão para uma equação quártica deprimida
e excluindo o caso especial = 0, que é resolvido como uma biquadrática, assumiremos daqui em diante que
Separaremos os termos para a esquerda e para a direita como
e adicionaremos termos em ambos os lados de modo a transformá-los em quadrados perfeitos.
Seja qualquer solução desta equação cúbica:
Então (uma vez que ≠ 0)
de modo que podemos dividir por esse termo, obtendo
Assim,
Subtraindo, obtemos a diferença de dois quadrados, que é o produto da soma e da diferença de suas raízes
a qual pode ser resolvida aplicando-se a fórmula quadrática a cada um dos dois fatores. Portanto, os possíveis valores de são:
ou
Usar um outro dentre as três raízes da cúbica simplesmente faz com que esses mesmos quatro valores de apareçam numa ordem diferente. As soluções da cúbica são:
usando qualquer uma das três possíveis raízes cúbicas. Uma estratégia sensata é escolher o sinal da raiz quadrada que torne o valor absoluto de o maior possível.
Solução de Ferrari De outra maneira, a quártica deprimida pode ser resolvida através de um método descoberto por Lodovico Ferrari. Uma vez obtida a quártica deprimida, o próximo passo é somar a identidade válida
à equação (), gerando
O efeito gerado foi dobrar o termo u4 transformando-o num quadrado perfeito: (u2 + a)2. O segundo termo, au2 não desapareceu, mas seu sinal foi alterado e ele foi movido para o lado direito.
O passo seguinte é inserir uma variável y no quadrado perfeito do lado esquerdo da equação (), e um 2y correspondente no coeficiente de u2 do lado direito. Para realizar estas inserções, as seguintes fórmulas válidas serão adicionadas à equação (),
e
Estas duas fórmulas, somadas, produzem
a qual adicionada à equação () produz
Isso é equivalente a
O objetivo agora é escolher um valor para y tal que o lado direito da equação () se torne um quadrado perfeito. Isso pode ser feito zerando-se o discriminante da função quadrática. Para explicar isto, primeiro expanda um quadrado perfeito de forma que ele se iguale a uma função quadrática:
A função quadrática no lado direito tem três coeficientes. É possível verificar que elevar o segundo coeficiente ao quadrado e depois subtrair quatro vezes o produto do primeiro com o terceiro coeficiente resulta em zero:
Portanto, para fazer com que o lado direito da equação () se torne um quadrado perfeito, a seguinte equação deve ser resolvida:
Multiplique o binômio pelo polinômio,
Divida ambos os lados por −4, e mova o −b2/4 para a direita,
Divida ambos os lados por 2,
Isto é uma equação cúbica em y. Resolva para y usando qualquer método para resolver tais equações (por exemplo, a conversão para uma cúbica deprimida e a aplicação da fórmula de Cardano). Qualquer uma das três raízes possíveis servirá.
Reduzindo o segundo quadrado perfeito Com o valor de escolhido dessa maneira, sabe-se agora que o lado direito da equação () é um quadrado perfeito da forma
(Isso está correto para ambos os sinais da raiz quadrada, desde que o mesmo sinal seja assumido para ambas as raízes quadradas. Um ± é redundante, pois seria absorvido por outro ± algumas equações mais abaixo nesta página.) de forma que ele pode ser faturado (reduzido):
Nota: Se então . Se então esta seria uma equação biquadrática, a qual resolvemos anteriormente. Portanto, a equação () se torna
A equação () possui um par de quadrados perfeitos reduzidos, um em cada lado da equação. Os dois quadrados perfeitos equilibram-se um ao outro.
Se dois quadrados são iguais, então os lados dos dois quadrados também são iguais, como demonstrado por:
Reunir potências semelhantes de resulta em
Nota: O subscrito de e serve para indicar que eles são dependentes. A equação () é uma equação quadrática em . A sua solução é
Simplificando, obtém-se
Esta é a solução da quártica deprimida, portanto as soluções da equação quártica original são
Lembre-se: Os dois provêm do mesmo lugar na equação (), e ambos devem ter o mesmo sinal, enquanto o sinal de é independente.
Resumo do método de Ferrari Dada a equação quártica
a sua solução pode ser encontrada através dos seguintes cálculos:
Se então
Caso contrário, continue com
(qualquer sinal da raiz quadrada servirá)
(existem 3 raízes complexas, qualquer uma delas servirá)
Os dois ±s devem possuir o mesmo sinal, o ±t é independente. Para obter todas as raízes, calcule x para (±s,±t) = (+,+); (+,−); (−,+); (−,−). Esta fórmula lida com raízes repetidas sem nenhum problema.
Ferrari foi o primeiro a descobrir uma destas soluções labirínticas. A equação que ele resolveu foi
que já estava em formato deprimido. Ela possui um par de soluções que pode ser encontrado com o conjunto de fórmulas demonstrado acima.
Solução de Ferrari no caso especial de coeficientes reais
Se os coeficientes da equação quártica são reais, então a equação cúbica deprimida aninhada () também possui coeficientes reais, logo ela tem pelo menos uma raiz real.