Na topologia geral, um espaço (também denominado espaço de Fréchet, em homenagem ao matemático francês Maurice Fréchet, ou espaço acessível) é um espaço topológico que satisfaz o axioma de separação .

Intuitivamente, um espaço é quando quaisquer dois pontos distintos podem ser distinguidos topologicamente por vizinhanças abertas que contêm um ponto sem conter o outro. A característica mais marcante e operacional dos espaços é que eles são precisamente os espaços topológicos nos quais todos os pontos individuais (singuletos) são conjuntos fechados, o que implica que qualquer subconjunto finito é também fechado.

O axioma situa-se entre o axioma (espaço de Kolmogorov) e o axioma (espaço de Hausdorff). Todo espaço de Hausdorff é , e todo espaço é Kolmogorov, mas nenhuma das recíprocas é verdadeira em geral.

> Nota de terminologia: O termo espaço de Fréchet na topologia geral não deve ser confundido com o conceito homônimo da análise funcional, no qual um espaço de Fréchet é um espaço vetorial topológico localmente convexo, completo e metrizável. O termo espaço de Tychonoff também foi historicamente utilizado para , embora na literatura moderna refira-se quase exclusivamente a espaços completamente regulares que são (isto é, espaços ).

Definição formal Seja um espaço topológico. Diz-se que é um espaço se, para qualquer par de pontos distintos com , existem conjuntos abertos tais que:

Note-se que a definição não exige que os abertos e sejam disjuntos (isto é, pode ocorrer ). A exigência adicional de disjunção () caracteriza os espaços de Hausdorff ().

Caracterizações equivalentes Para qualquer espaço topológico , as seguintes afirmações são logicamente equivalentes:

é um espaço ; Para todo ponto , o conjunto unitário (singuleto) é um conjunto fechado em ; Todo subconjunto finito de é fechado; Todo subconjunto cofinito de (isto é, cujo complementar é finito) é aberto; O fecho de qualquer singuleto é o próprio singuleto: para todo ; A interseção de todas as vizinhanças abertas de qualquer ponto reduz-se ao próprio ponto:

Para qualquer subconjunto , um ponto é um ponto de acumulação de se, e somente se, toda vizinhança de contém uma infinidade de pontos de ; A ordem de especialização em (definida por ) é a igualdade trivial ().

Demonstração da equivalência com pontos fechados A equivalência entre a condição de separação por abertos e a propriedade de os pontos serem fechados é demonstrada de forma elementar:

( singuletos fechados): Suponha que é e tome . Para demonstrar que é fechado, basta provar que seu complementar é aberto. Para qualquer , temos . Pela propriedade , existe um conjunto aberto tal que e , o que equivale a . Portanto:

Sendo união de abertos, é aberto, donde é fechado.

(Singuletos fechados ): Suponha que é fechado para todo . Sejam com . Então os conjuntos e são abertos. Evidentemente, e , e analogamente e . Logo, é .

Hierarquia de separação O axioma ocupa um papel intermediário fundamental na hierarquia dos axiomas de separação:

Relação com (Kolmogorov) Em um espaço de Kolmogorov (), exige-se apenas que, para quaisquer dois pontos distintos , exista pelo menos um aberto que contenha um dos pontos e não contenha o outro. Em um espaço , essa exigência é simétrica: ambos os pontos devem possuir vizinhanças que excluem o outro. Assim, todo espaço é . A recíproca é falsa: no espaço de Sierpiński, a topologia sobre com abertos é , mas não é (pois não existe aberto que contenha 0 e exclua 1, ou equivalentemente, o singuleto não é fechado).

Relação com (Hausdorff) Em um espaço de Hausdorff (), os abertos separadores devem ser disjuntos (). Todo espaço é . A recíproca é falsa: qualquer conjunto infinito munido da topologia cofinitária é , mas nunca é .

Espaços topológicos finitos Para espaços com uma quantidade finita de pontos, o axioma é extremamente restritivo: Um espaço topológico finito é se, e somente se, possui a topologia discreta (na qual todo subconjunto é aberto e fechado). Isso ocorre porque, em um espaço finito, qualquer subconjunto é finito. Se o espaço for , todo subconjunto é fechado, o que acarreta que todos os complementares são abertos, tornando a topologia necessariamente discreta.

Propriedades e operações

Preservação por subespaços e produtos Subespaços (Hereditariedade): Qualquer subespaço topológico de um espaço é também um espaço sob a topologia induzida. A propriedade é, portanto, uma propriedade hereditária. Produtos arbitrários: Se é uma família qualquer de espaços , o espaço produto munido da topologia produto é também um espaço .

Espaços quocientes A propriedade não é preservada em geral por aplicações contínuas ou por quocientes arbitrários. Se é um espaço e é uma relação de equivalência em , o espaço quociente é um espaço se, e somente se, cada classe de equivalência for um subconjunto fechado em .

Convergência de sequências Em um espaço , sequências constantes possuem limite único: a sequência converge apenas para o próprio ponto . Contudo, sequências gerais em espaços que não sejam Hausdorff não precisam ter limites únicos. Por exemplo, na topologia cofinitária sobre um conjunto infinito não enumerável, qualquer sequência de pontos distintos dois a dois converge para todos os pontos do espaço simultaneamente.

Exemplos e contraexemplos

Exemplos de espaços Espaços métricos: Qualquer espaço métrico (e, de modo geral, qualquer espaço de Hausdorff) é . Se e , as bolas abertas e separam os pontos disjuntamente. Topologia cofinitária (em conjuntos infinitos): Seja um conjunto infinito e defina-se a topologia onde os fechados são os subconjuntos finitos de juntamente com o próprio . Como todo conjunto unitário é finito, todo ponto é fechado, de modo que é . No entanto, quaisquer dois abertos não vazios se intersectam obrigatoriamente (pois a união de seus complementares é finita e não pode cobrir o conjunto infinito ), demonstrando que o espaço não é . Topologia conumerável: Em qualquer conjunto, a topologia cujos fechados são os conjuntos enumeráveis e o espaço inteiro é , pois singuletos são enumeráveis. Topologia de Zariski: Na geometria algébrica, a topologia de Zariski sobre uma variedade algébrica sobre um corpo algebricamente fechado tem como conjuntos fechados os conjuntos de zeros de ideais de polinômios. Os pontos correspondem a ideais maximais e são fechados, fazendo com que a variedade seja um espaço . No entanto, a topologia de Zariski quase nunca é Hausdorff (salvo quando a variedade é discreta/finita).

Exemplos de espaços não Topologia indiscreta (trivial): Em um conjunto com dois ou mais pontos munido apenas dos abertos e , nenhum singuleto é fechado. O espaço não satisfaz sequer o axioma . Espaço de Sierpiński: O conjunto com abertos . É , mas o fecho de é o conjunto total ; portanto, não é . Topologia da ordem em semirretas: A reta real com a topologia cujos abertos não triviais são da forma para . É um espaço , mas não , pois o fecho de qualquer ponto é a semirreta fechada .

Ver também Axioma de separação Espaço de Kolmogorov () Espaço de Hausdorff () Espaço regular () Espaço de Tychonoff () Topologia cofinitária Ordem de especialização

Referências

Bibliografia

Categoria:Topologia geral Categoria:Axiomas de separação